WEBVTT 00:00:00.330 --> 00:00:03.110 Одно из фундаментальных понятий в физике 00:00:03.110 --> 00:00:05.385 это понятие работы. 00:00:05.385 --> 00:00:08.450 Когда вы впервые изучаете понятие работы, вы говорите, 00:00:08.450 --> 00:00:10.120 это просто сила умножить на расстояние. 00:00:10.120 --> 00:00:12.200 Но позже, когда вы узнаёте чуть побольше о 00:00:12.200 --> 00:00:14.770 векторах, вы понимаете, что сила не всегда имеет 00:00:14.770 --> 00:00:17.610 то же направление что и ваше перемещение. 00:00:17.610 --> 00:00:21.450 Вы узнаёте, что работа - это на самом деле величина-- 00:00:21.450 --> 00:00:33.070 давайте я запишу это-- величина силы в направлении, 00:00:33.070 --> 00:00:39.460 или составляющая силы в направлении 00:00:39.460 --> 00:00:41.740 перемещения. 00:00:41.740 --> 00:00:44.206 Перемещение - это расстояние в некотором направлении. 00:00:49.970 --> 00:00:55.290 Умножить на величину перемещения или, вы могли бы сказать, 00:00:55.290 --> 00:00:56.695 умножить на расстояние. 00:01:00.810 --> 00:01:02.330 И классический пример. 00:01:02.330 --> 00:01:06.250 Может быть у вас есть куб льда или просто какой-то блок. 00:01:06.250 --> 00:01:08.740 Я взял куб льда, чтобы трение было невелико. 00:01:08.740 --> 00:01:12.510 Допустим, он стоит на какой-то поверхности, на листке или на льду. 00:01:12.510 --> 00:01:15.030 И вы тянете этот куб льда под углом. 00:01:15.030 --> 00:01:17.610 Скажем, вы тянете под таким углом. 00:01:17.610 --> 00:01:20.820 Это моя сила, вот здесь. 00:01:20.820 --> 00:01:24.080 Допустим, сила равна-- это 00:01:24.080 --> 00:01:25.160 вектор силы-- 00:01:25.160 --> 00:01:33.870 величина моего вектора силы-- поставлю двойные прямые скобки-- величина моего вектора силы 00:01:33.870 --> 00:01:35.310 равна 10 ньютонам. 00:01:35.310 --> 00:01:37.650 И пусть направление вектора силы-- 00:01:37.650 --> 00:01:41.080 любой вектор должен иметь величину и направление-- 00:01:41.080 --> 00:01:44.920 и направление, пусть это угол 30 градусов, пусть 00:01:44.920 --> 00:01:47.770 угол 60 градусов от горизонтали. 00:01:47.770 --> 00:01:49.560 Это направление, в котором я тяну. 00:01:49.560 --> 00:01:52.600 И допустим, я переместил его. 00:01:52.600 --> 00:01:55.930 Надеюсь, вы с этим уже знакомы. 00:01:55.930 --> 00:01:59.225 Если вы перемещаете его, допустим, на пять ньютонов. 00:01:59.225 --> 00:02:02.570 Допустим, что перемещение, это вектор перемещения, 00:02:02.570 --> 00:02:10.290 и его величина равна-- извините, не пяти ньютонам-- пяти метрам. 00:02:10.290 --> 00:02:13.460 Вы знаете, что по определению работы, вы не можете 00:02:13.460 --> 00:02:16.940 просто сказать, о, я тяну с силой пять ньютонов 00:02:16.940 --> 00:02:18.360 и перемещаю его на пять метров, 00:02:18.360 --> 00:02:22.560 вы не можете просто умножить 10 ньютонов на пять метров. 00:02:22.560 --> 00:02:25.660 Вы должны найти величину составляющей 00:02:25.660 --> 00:02:29.050 в направлении моего перемещения. 00:02:29.050 --> 00:02:31.860 Что мне надо сделать - длина, если вы 00:02:31.860 --> 00:02:34.930 представите, что длина этого вектора равна 10, это 00:02:34.930 --> 00:02:37.750 полная сила, но вам нужно найти длину 00:02:37.750 --> 00:02:40.770 вектора, длину составляющей силы, 00:02:40.770 --> 00:02:43.460 в направлении моего перемещения. 00:02:43.460 --> 00:02:45.570 И немного простой тригонометрии, вы знаете, 00:02:45.570 --> 00:02:53.120 что это 10 умножить на косинус 60 градусов, или это равно, 00:02:53.120 --> 00:02:58.010 косинус 60 градусов равен 1/2, так что это равно пяти. 00:02:58.010 --> 00:03:00.380 Так что эта величина, величина силы 00:03:00.380 --> 00:03:02.410 в направлении перемещения, в этом 00:03:02.410 --> 00:03:04.810 случае равна пяти ньютонам. 00:03:07.500 --> 00:03:09.850 И теперь вы можете найти работу. 00:03:09.850 --> 00:03:19.560 Вы можете сказать, что работа - это пять ньютонов умножить-- 00:03:19.560 --> 00:03:20.630 я обозначу умножение точкой, 00:03:20.630 --> 00:03:22.290 не хочу, чтобы вы подумали, что это векторное произведение-- 00:03:22.290 --> 00:03:26.680 умножить на пять метров, что равно 25 ньютон метров 00:03:26.680 --> 00:03:31.250 или вы можете сказать 25 джоулей проделанной работы. 00:03:31.250 --> 00:03:35.280 Это все повторение основ физики. 00:03:35.280 --> 00:03:36.720 Но подумайте, что произошло здесь. 00:03:36.720 --> 00:03:37.430 Чему равна работа? 00:03:37.430 --> 00:03:39.190 Если я запишу в общем виде. 00:03:39.190 --> 00:03:42.550 Работа равна пяти ньютонам-- 00:03:42.550 --> 00:03:46.700 это была величина моего вектора силы-- 00:03:46.700 --> 00:03:52.630 величина моего вектора силы умножить на косинус этого угла, 00:03:52.630 --> 00:03:53.860 обозначим его тета. 00:03:53.860 --> 00:03:55.010 это немного в общем виде, 00:03:55.010 --> 00:03:58.150 умножить на косинус этого угла. 00:03:58.150 --> 00:04:01.740 Это величина моей силы в направлении 00:04:01.740 --> 00:04:04.960 перемещения, косинус угла между ними, умножить 00:04:04.960 --> 00:04:06.800 на величину перемещения, 00:04:06.800 --> 00:04:12.260 умножить на величину перемещения. 00:04:12.260 --> 00:04:15.560 Или я мог бы записать это в виде 00:04:15.560 --> 00:04:18.940 величина перемещения умножить на величину вектора 00:04:18.940 --> 00:04:23.400 силы умножить на косинус тета. 00:04:23.400 --> 00:04:26.760 И я это делал уже много раз, в видео по линейной алгебре, 00:04:26.760 --> 00:04:28.880 в видео по физике, где я говорил 00:04:28.880 --> 00:04:31.580 о скалярном произведении и о векторном произведении и т.п., 00:04:31.580 --> 00:04:40.470 это скалярное произведение d и F, векторов d и F. 00:04:40.470 --> 00:04:43.700 В общем случае, если вы хотите найти работу при заданном 00:04:43.700 --> 00:04:46.730 перемещении, и сила постоянна, вы просто берете 00:04:46.730 --> 00:04:48.530 скалярное произведение этих двух векторов. 00:04:48.530 --> 00:04:51.330 И если скалярное произведение для вас совсем не знакомое понятие, 00:04:51.330 --> 00:04:53.770 вы можете посмотреть, я думаю, я сделал несколько, четыре или пять 00:04:53.770 --> 00:04:56.380 видео про скалярное произведение и его смысл 00:04:56.380 --> 00:04:57.420 и как оно соотносится. 00:04:57.420 --> 00:04:59.280 Но просто чтобы напомнить вам немного смысл, 00:04:59.280 --> 00:05:03.920 скалярное произведение, когда я беру F умножить на d, или d на F, 00:05:03.920 --> 00:05:08.440 это дает мне произведение величины-- 00:05:08.440 --> 00:05:10.130 я могу это просто прочитать. 00:05:10.130 --> 00:05:13.590 Но идея скалярного произведения - это какая часть 00:05:13.590 --> 00:05:16.800 этого вектора идет в том же направлении что и этот вектор, 00:05:16.800 --> 00:05:18.500 в этом случае, вот столько, 00:05:18.500 --> 00:05:21.110 и затем перемножить две величины, 00:05:21.110 --> 00:05:22.410 и это то, что мы делали здесь. 00:05:22.410 --> 00:05:26.230 Работа будет равна скалярному произведению вектора силы, 00:05:26.230 --> 00:05:28.980 берем проекцию вектора силы, на вектор перемещения, 00:05:28.980 --> 00:05:30.840 и это конечно, скалярная величина. 00:05:30.840 --> 00:05:33.040 И мы рассмотрим потом несколько примеров, 00:05:33.040 --> 00:05:34.360 где вы увидите, что это верно. 00:05:34.360 --> 00:05:39.000 Это все повторение довольно элементарной физики. 00:05:39.000 --> 00:05:42.500 Теперь давайте рассмотрим более сложный пример, 00:05:42.500 --> 00:05:43.670 но это на самом деле та же идея. 00:05:43.670 --> 00:05:45.873 Давайте определим векторное поле. 00:05:48.660 --> 00:05:51.371 Допустим у меня есть векторное поле f, и мы 00:05:51.371 --> 00:05:54.050 сейчас подумаем, что это значит. 00:05:54.050 --> 00:05:58.890 Это функция от x и y, и она равна некоторой скалярной 00:05:58.890 --> 00:06:04.490 функции от x и y умножить на i - единичный вектор, 00:06:04.490 --> 00:06:08.760 горизонтальный единичный вектор, плюс некоторая другая функция, скалярная 00:06:08.760 --> 00:06:14.250 функция x и y, умножить на вертикальный единичный вектор. 00:06:14.250 --> 00:06:15.580 Что же это будет такое? 00:06:15.580 --> 00:06:17.460 Это будет векторное поле. 00:06:17.460 --> 00:06:20.210 Это векторное поле в двумерном пространстве. 00:06:20.210 --> 00:06:21.330 Мы находимся в плоскости x-y. 00:06:21.330 --> 00:06:31.190 Это векторное поле в плоскости x-y, 00:06:31.190 --> 00:06:35.840 или можно сказать в R2. 00:06:35.840 --> 00:06:37.690 Так или так, я не хочу вдаваться 00:06:37.690 --> 00:06:39.230 в математические подробности. 00:06:39.230 --> 00:06:40.590 Но что оно делает? 00:06:40.590 --> 00:06:47.270 Если я нарисую плоскость x-y, 00:06:47.270 --> 00:06:49.070 у меня сложности с рисованием прямых линий, 00:06:49.070 --> 00:06:50.610 хорошо, вот она. 00:06:50.610 --> 00:06:54.050 Это моя ось y, а это моя ось x. 00:06:54.050 --> 00:06:56.360 Я рисую только первый квадрант, но вы можете 00:06:56.360 --> 00:06:59.450 продолжить его в отрицательную сторону по любой оси, если хотите. 00:06:59.450 --> 00:07:01.260 Что эта вещь делает? 00:07:01.260 --> 00:07:02.350 Она говорит, что 00:07:02.350 --> 00:07:06.800 дайте мне любой x и любой y, дайте мне любую пару x,y на плоскости x-y, 00:07:06.800 --> 00:07:09.970 и это будут некоторые числа, верно? 00:07:09.970 --> 00:07:12.655 Когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число, 00:07:12.655 --> 00:07:14.310 когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число. 00:07:14.310 --> 00:07:16.980 Так что вы получите некоторую комбинацию 00:07:16.980 --> 00:07:18.070 единичных векторов i и j. 00:07:18.070 --> 00:07:19.770 Вы получите некоторый вектор. 00:07:19.770 --> 00:07:23.020 Что делает поле, оно задает вектор 00:07:23.020 --> 00:07:24.810 в каждой точке плоскости x-y. 00:07:24.810 --> 00:07:28.780 Так что вы могли бы сказать, если я возьму эту точку на плоскости x-y, 00:07:28.780 --> 00:07:32.480 и я подставлю ее сюда, я получу что-то умножить на i плюс 00:07:32.480 --> 00:07:34.730 что-то умножить на j, и когда я сложу из оба, может быть, я получу 00:07:34.730 --> 00:07:37.130 вектор, который выглядит например так. 00:07:37.130 --> 00:07:38.100 И вы можете сделать это в каждой точке. 00:07:38.100 --> 00:07:39.190 Я просто беру произвольные примеры. 00:07:39.190 --> 00:07:41.420 Может быть, когда я пойду сюда, вектор будет 00:07:41.420 --> 00:07:42.280 примерно такой. 00:07:42.280 --> 00:07:44.910 Когда я иду сюда, вектор будет такой. 00:07:44.910 --> 00:07:47.560 Вот здесь вектор будет такой. 00:07:47.560 --> 00:07:50.350 И когда я пойду вот сюда наверх, вектор будет такой. 00:07:50.350 --> 00:07:52.320 Я просто произвольно беру точки. 00:07:52.320 --> 00:07:57.090 Оно определяет вектор в каждой точке x,y, 00:07:57.090 --> 00:08:00.920 где определены эти скалярные функции. 00:08:00.920 --> 00:08:02.370 И поэтому это называется векторным полем. 00:08:02.370 --> 00:08:06.580 Оно определяет какая потенциальная сила была бы, 00:08:06.580 --> 00:08:11.430 или любая другая сила, в любой точке. 00:08:11.430 --> 00:08:14.350 В любой точке. Если окажется, что там что-то есть 00:08:14.350 --> 00:08:15.900 может быть такое там значение функции. 00:08:15.900 --> 00:08:17.750 И я могу продолжать это бесконечно 00:08:17.750 --> 00:08:18.790 заполняя все промежутки. 00:08:18.790 --> 00:08:19.660 Но я думаю, вы поняли идею. 00:08:19.660 --> 00:08:24.790 Оно задает некоторый вектор в каждой точке плоскости x-y. 00:08:24.790 --> 00:08:29.010 Теперь, это называется векторным полем, поэтому вероятно будет 00:08:29.010 --> 00:08:30.950 разумно, что оно может быть использовано для описания 00:08:30.950 --> 00:08:31.870 поля любого типа. 00:08:31.870 --> 00:08:33.410 Это может быть гравитационное поле. 00:08:33.410 --> 00:08:36.840 Это может быть электрическое поле, это может быть магнитное поле. 00:08:36.840 --> 00:08:39.630 И оно могло бы по сути говорить вам, какая сила 00:08:39.630 --> 00:08:43.190 будет действовать на некоторую частицу в этом поле. 00:08:43.190 --> 00:08:44.660 Это ровно то, что будет описывать это выражение. 00:08:44.660 --> 00:08:48.950 Теперь, допустим, что в этом поле, у меня есть некоторая частица, 00:08:48.950 --> 00:08:51.610 движущаяся в плоскости x-y. 00:08:51.610 --> 00:08:58.620 Допустим, она начинает движение здесь, и под действием всех этих сумасшедших 00:08:58.620 --> 00:09:03.850 сил, которые действуют на нее, и может быть она на каких-то рельсах, 00:09:03.850 --> 00:09:06.900 так что она не всегда движется точно в том 00:09:06.900 --> 00:09:09.360 направлении, в котором поле пытается ее передвинуть. 00:09:09.360 --> 00:09:14.030 Пусть она движется по примерно такой траектории. 00:09:14.030 --> 00:09:17.710 И допустим, что эта траектория, или эта кривая, задается 00:09:17.710 --> 00:09:22.010 векторной функцией положения. 00:09:22.010 --> 00:09:25.150 Пусть это задается r от t, которое есть 00:09:25.150 --> 00:09:33.780 x от t умножить на i плюс y от t умножить на единичный вектор j. 00:09:33.780 --> 00:09:35.130 Это наше r от t. 00:09:35.130 --> 00:09:37.730 Для того чтобы эта траектория была конечной, 00:09:37.730 --> 00:09:42.370 это верно при t больше или равно a и меньше 00:09:42.370 --> 00:09:45.640 или равно b. 00:09:45.640 --> 00:09:47.830 Это траектория, по которой 00:09:47.830 --> 00:09:50.370 движется частица под действием всех этих странных сил. 00:09:50.370 --> 00:09:54.270 Когда частица находится вот здесь, может быть, векторное поле 00:09:54.270 --> 00:09:56.960 действует на нее, может быть, прилагая вот такую силу. 00:09:56.960 --> 00:09:59.520 Но поскольку частица на рельсах, она движется 00:09:59.520 --> 00:10:00.400 в этом направлении. 00:10:00.400 --> 00:10:03.830 И потом, когда она здесь, может быть, векторное поле такое, 00:10:03.830 --> 00:10:05.740 но она движется в том направлении, потому что она 00:10:05.740 --> 00:10:06.940 на каких-то рельсах. 00:10:06.940 --> 00:10:09.500 Теперь, всё, что я сделал в этом видео, это для того чтобы задать 00:10:09.500 --> 00:10:11.180 фундаментальный вопрос. 00:10:11.180 --> 00:10:13.910 Чему была равна работа, совершенная полем над частицей? 00:10:13.910 --> 00:10:24.960 Работа, совершенная над частицей. Чему была равна работа, совершенная полем над частицей? 00:10:24.960 --> 00:10:28.620 Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем немного увеличить -- 00:10:28.620 --> 00:10:31.100 я увеличу маленький 00:10:31.100 --> 00:10:34.710 отрезок нашей траектории. 00:10:34.710 --> 00:10:38.010 И давайте попытаемся посчитать работу, выполненную на очень 00:10:38.010 --> 00:10:40.470 маленьком отрезке нашей траектории, потому что она постоянно меняется: 00:10:40.470 --> 00:10:42.190 поле меняет направление, 00:10:42.190 --> 00:10:43.630 мой объект меняет направление. 00:10:43.630 --> 00:10:47.780 Скажем, когда я здесь, и когда я проделываю 00:10:47.780 --> 00:10:49.740 небольшой отрезок моего пути. 00:10:49.740 --> 00:10:55.860 Скажем, я передвигаюсь, это бесконечно 00:10:55.860 --> 00:10:58.500 малый dr. Верно? 00:10:58.500 --> 00:11:00.810 У меня есть дифференциал, это дифференциальный вектор, бесконечно 00:11:00.810 --> 00:11:02.630 малое перемещение, 00:11:02.630 --> 00:11:06.800 и пусть при движении по этому отрезку, векторное поле, 00:11:06.800 --> 00:11:08.840 действующее в этой области, пусть оно выглядит 00:11:08.840 --> 00:11:10.480 примерно так. 00:11:10.480 --> 00:11:13.490 Оно действует вот с такой силой. 00:11:13.490 --> 00:11:16.640 Так что это векторное поле в этой области, или сила, 00:11:16.640 --> 00:11:18.750 направленная на частицу, когда она ровно вот в этой точке. 00:11:18.750 --> 00:11:18.870 Верно? 00:11:18.870 --> 00:11:22.420 Это бесконечно малый отрезок во времени и в пространстве. 00:11:22.420 --> 00:11:24.440 Так что вы можете сказать, в этой маленькой точке 00:11:24.440 --> 00:11:26.600 у нас сила постоянна. 00:11:26.600 --> 00:11:29.790 Чему равна работа, выполненная за этот малый отрезок времени? 00:11:29.790 --> 00:11:32.330 Вы можете сказать, чему равно это малое приращение работы? 00:11:32.330 --> 00:11:36.120 Вы можете сказать, dW или дифференциал работы. 00:11:36.120 --> 00:11:38.940 По той же самой логике, как мы решали простую 00:11:38.940 --> 00:11:43.810 задачу, это величина силы в направлении 00:11:43.810 --> 00:11:48.550 нашего перемещения умножить на величину перемещения. 00:11:48.550 --> 00:11:52.800 И мы знаем чему это равно, просто по вот этому образцу. 00:11:52.800 --> 00:11:54.810 Это скалярное произведение. 00:11:54.810 --> 00:11:58.340 Это скалярное произведение силы и нашего бесконечно малого 00:11:58.340 --> 00:11:59.480 перемещения. 00:11:59.480 --> 00:12:07.860 Это равно скалярному произведению нашей силы и нашего 00:12:07.860 --> 00:12:09.870 бесконечно малого перемещения. 00:12:09.870 --> 00:12:13.240 Теперь, просто посчитав это, мы получим работу 00:12:13.240 --> 00:12:16.440 на очень маленьком, бесконечно малом dr. 00:12:16.440 --> 00:12:18.820 Но что мы хотим сделать, мы хотим сложить их всех. 00:12:18.820 --> 00:12:21.870 Мы хотим сложить вместе все dr, чтобы найти сумму, 00:12:21.870 --> 00:12:25.090 все скалярные произведения f на dr, чтобы найти полную выполненную работу. 00:12:25.090 --> 00:12:27.510 И вот где появляется интеграл. 00:12:27.510 --> 00:12:32.570 Мы посчитаем криволинейный интеграл по-- то есть, вы можете 00:12:32.570 --> 00:12:33.910 представлять это двумя способами. 00:12:33.910 --> 00:12:37.440 Вы можете просто написать dW, но мы можем сказать, что мы 00:12:37.440 --> 00:12:42.700 возьмем криволинейный интеграл вдоль этой кривой c, назовем ее c 00:12:42.700 --> 00:12:46.410 или вдоль r, как вы ее назовете, от dW. 00:12:46.410 --> 00:12:47.800 Это даст нам полную работу. 00:12:47.800 --> 00:12:49.500 Скажем, работа равна этому. 00:12:49.500 --> 00:12:54.040 Или мы также можем записать это через интеграл, по той же 00:12:54.040 --> 00:13:00.500 кривой от скалярного произведения f на dr. 00:13:00.500 --> 00:13:03.580 И это может показаться, знаете, боже мой, 00:13:03.580 --> 00:13:05.120 это совсем абстрактно, Сэл. 00:13:05.120 --> 00:13:09.220 Как мы на самом деле вычисляем что-то такое? 00:13:09.220 --> 00:13:13.130 Особенно поскольку у нас все параметризовано 00:13:13.130 --> 00:13:14.030 через t. 00:13:14.030 --> 00:13:16.130 Как мы выразим это через t? 00:13:16.130 --> 00:13:19.710 И если вы подумаете об этом, чему равно скалярное произведение f на r? 00:13:19.710 --> 00:13:21.030 Или чему равно f на dr? 00:13:21.030 --> 00:13:23.300 Чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним 00:13:23.300 --> 00:13:25.830 как выглядел dr. 00:13:25.830 --> 00:13:36.200 Если вы помните, dr dt равно x штрих от t, 00:13:36.200 --> 00:13:39.120 я мог бы написать dx dt, умножить 00:13:39.120 --> 00:13:45.180 на единичный вектор i, плюс y штрих от t умножить на единичный вектор j. 00:13:45.180 --> 00:13:49.320 Если мы хотим получить dr, мы можем умножить обе стороны 00:13:49.320 --> 00:13:51.850 если мы будем не очень аккуратны 00:13:51.850 --> 00:13:53.470 с дифференциалами, не очень строго. 00:13:53.470 --> 00:13:58.480 Мы получим, dr равно x штрих от t dt умножить 00:13:58.480 --> 00:14:05.070 на единичный вектор i плюс y штрих от t умножить на дифференциал dt 00:14:05.070 --> 00:14:07.280 умножить на единичный вектор j. 00:14:07.280 --> 00:14:09.070 Вот это наш dr. 00:14:09.070 --> 00:14:12.110 Это наш dr. 00:14:12.110 --> 00:14:16.280 И помните, чему было равна наша сила, наше векторное поле? 00:14:16.280 --> 00:14:17.440 Оно было равно вот этому выражению. 00:14:17.440 --> 00:14:19.590 Давайте я скопирую это. 00:14:19.590 --> 00:14:21.030 И мы увидим, что скалярное произведение 00:14:21.030 --> 00:14:23.360 на самом деле не такое ужасное. 00:14:23.360 --> 00:14:26.710 Давайте я скопирую это сюда. 00:14:31.130 --> 00:14:33.820 Как будет выглядеть этот интеграл? 00:14:33.820 --> 00:14:37.600 Вот этот интеграл, который дает нам полную работу, совершенную 00:14:37.600 --> 00:14:40.790 полем над частицей, когда она движется по той траектории. 00:14:40.790 --> 00:14:44.090 Это основа основ практически любой серьезной области физики, 00:14:44.090 --> 00:14:47.170 которой вам когда-нибудь придется заниматься. 00:14:47.170 --> 00:14:48.170 Вы можете сказать, 00:14:48.170 --> 00:14:52.420 это будет интеграл, скажем от t равного a 00:14:52.420 --> 00:14:55.320 до t равного b. 00:14:55.320 --> 00:14:58.310 Верно? a - это где мы начали движение по траектории, t равно а, 00:14:58.310 --> 00:14:59.790 до t равно b. 00:14:59.790 --> 00:15:01.760 Вы можете представить это как время, частица перемещается 00:15:01.760 --> 00:15:03.610 с течением времени. 00:15:03.610 --> 00:15:07.000 И что такое скалярное произведение f на dr? 00:15:07.000 --> 00:15:10.640 Если вы помните, что такое скалярное произведение, 00:15:10.640 --> 00:15:15.310 вы можете просто взять произведения соответствующих 00:15:15.310 --> 00:15:17.740 компонент вашего вектора и сложить их. 00:15:17.740 --> 00:15:20.070 Это будет интеграл от t равного a до t 00:15:20.070 --> 00:15:27.246 равного b от P от x, на самом деле, вместо x,y 00:15:27.246 --> 00:15:30.740 это x от t, верно? x как функция от t, y как 00:15:30.740 --> 00:15:32.350 функция от t, 00:15:32.350 --> 00:15:33.690 это эта компонента, 00:15:33.690 --> 00:15:37.600 умножить на вот эту компоненту, верно? 00:15:37.600 --> 00:15:39.300 Мы перемножаем компоненты при векторе i. 00:15:39.300 --> 00:15:50.650 Умножить на x штрих от t dt, и затем это плюс, мы 00:15:50.650 --> 00:15:52.370 сделаем то же самое для функции Q. 00:15:52.370 --> 00:15:56.060 Это Q, прибавить, я перейду на другую строчку. 00:15:56.060 --> 00:15:57.760 Надеюсь, вы понимаете, что я мог мы продолжать писать, 00:15:57.760 --> 00:15:59.020 но мне просто не хватило места. 00:15:59.020 --> 00:16:09.960 Плюс Q от x от t, y от t, умножить на компоненту нашего dr, умножить 00:16:09.960 --> 00:16:11.900 на y-компоненту, или j-компоненту. 00:16:11.900 --> 00:16:15.530 у штрих от t dt. 00:16:15.530 --> 00:16:16.620 И мы закончили! 00:16:16.620 --> 00:16:17.480 И мы закончили! 00:16:17.480 --> 00:16:19.300 Это по-прежнему может казаться немного абстрактным, но мы 00:16:19.300 --> 00:16:23.020 увидим в следующем видео, что все теперь выражено как 00:16:23.020 --> 00:16:25.480 функция от t, так что это просто интегрирование 00:16:25.480 --> 00:16:27.170 по dt. 00:16:27.170 --> 00:16:30.150 Если хотим, мы можем вынести dt за скобки, 00:16:30.150 --> 00:16:32.270 и это будет выглядеть немного более привычно для вас. 00:16:32.270 --> 00:16:34.640 Но это ровно все, что нам нужно сделать. 00:16:34.640 --> 00:16:38.080 И мы увидим несколько конкретных примеров вычисления 00:16:38.080 --> 00:16:43.230 криволинейного интеграла от векторного поля, или использования 00:16:43.230 --> 00:16:45.790 векторных функций, в следующем видео.