0:00:00.000,0:00:00.330
-

0:00:00.330,0:00:03.110
หนึ่งในแนวคิดที่พื้นฐานที่สุดอย่างนึงในฟิสิกส์

0:00:03.110,0:00:05.385
คือ แนวคิดเรื่องงาน

0:00:05.385,0:00:08.450
ทีนี้, ตอนคุณเรียนเรื่องงานครั้งแรก, คุณอาจบอกว่า, โอ้

0:00:08.450,0:00:10.120
นั่นก็แค่แรงคูณระยะทาง

0:00:10.120,0:00:12.200
แต่แล้วต่อมา, ตอนคุณเรียนอีกหน่อยเรื่อง

0:00:12.200,0:00:14.770
เวกเตอร์, คุณก็รู้ว่าแรงไม่จำเป็นต้อง

0:00:14.770,0:00:17.610
มีทิศทางเดียวกับการกระจัด

0:00:17.610,0:00:21.450
คุณก็เลยรู้ว่า งาน มีแค่ขนาด, ขอผมเขียนลงไป

0:00:21.450,0:00:33.070
ตรงนี้นะ, ขนาดของแรง, ในทิศ,

0:00:33.070,0:00:39.460
หรือองค์ประกอบของแรงในทิศ

0:00:39.460,0:00:41.740
ของการกระจัด

0:00:41.740,0:00:44.206
การกระจัดก็คือระยะทางที่มีทิศด้วย

0:00:44.206,0:00:49.970
-

0:00:49.970,0:00:55.290
คูณขนาดของการกระจัด, หรือคุณบอกว่า

0:00:55.290,0:00:56.695
คูณระยะที่มันเลื่อนไป

0:00:56.695,0:01:00.810
-

0:01:00.810,0:01:02.330
และตัวอย่างคลาสสิค

0:01:02.330,0:01:06.250
บางทีคุณอาจมีก้อนน้ำแข็ง, หรือก้อนหินสักอย่าง

0:01:06.250,0:01:08.740
เป็นน้ำแข็งจะได้ไม่มีแรงเสียดทานมากนัก

0:01:08.740,0:01:12.510
บางทีมันอาจอยู่บนทะเลสาบที่ใหญ่กว่า หรือน้ำแข็งอะไรสักอย่าง

0:01:12.510,0:01:15.030
บางทีคุณอาจดึงก้อนน้ำแข็งนั่นเป็นมุมค่านึง

0:01:15.030,0:01:17.610
สมมุติว่า คุณกำลังดึงมันเป็นมุมแบบนั้น

0:01:17.610,0:01:20.820
นั่นคือแรงของผม, ตรงนี้

0:01:20.820,0:01:24.080
สมมุติว่าแรงผมเท่ากับ -- ทีนี้, นั่นคือ

0:01:24.080,0:01:25.160
เวกเตอร์แรงผม

0:01:25.160,0:01:33.870
สมมุติว่าขนาดของเวกเตอร์แรง, สมมุติว่า

0:01:33.870,0:01:35.310
มันคือ 10 นิวตัน

0:01:35.310,0:01:37.650
สมมุติว่าทิศของเวกเตอร์แรง, ตรงนี้,

0:01:37.650,0:01:41.080
เวกเตอร์ใด ๆ ต้องมีทั้งขนาดและทิศ, และทิศ

0:01:41.080,0:01:44.920
สมมุติมันทำมุม 30 องศา, สมมุติว่า

0:01:44.920,0:01:47.770
มุม, 60 องศา, เหนือแกนนอน

0:01:47.770,0:01:49.560
ดังนั้นนั่นคือทิศที่ผมกำลังดึง

0:01:49.560,0:01:52.600
สมมุติว่าผมเลื่อนมันไป

0:01:52.600,0:01:55.930
หวังว่านี่เป็นการทบทวนนะ

0:01:55.930,0:01:59.225
หากคุณเลื่อนมัน, สมมุติว่าคุณเลื่อนมันไป 5 นิวตัน

0:01:59.225,0:02:02.570
สมมุติว่าการกระจัด, นั่นคือเวกเตอร์การกระจัด

0:02:02.570,0:02:10.290
ตรงนี้, และขนาดของมันเท่ากับ 5 เมตร

0:02:10.290,0:02:13.460
คุณก็รู้จากนิยามของแรงแล้ว, คุณไม่อาจ

0:02:13.460,0:02:16.940
บอกว่า, โอ้, ผมกำลังดึงด้วยแรง 10 นิวตัน และ

0:02:16.940,0:02:18.360
ผมกำลังเคลื่อนไป 5 เมตร

0:02:18.360,0:02:22.560
คุณไม่สามารถคูณ 10 นิวตันด้วยระยะ 5 เมตรได้

0:02:22.560,0:02:25.660
คุณต้องหาขนาดขององค์ประกอบ

0:02:25.660,0:02:29.050
ที่อยู่ในทิศเดียวกับการกระจัด

0:02:29.050,0:02:31.860
ดังนั้นสิ่งที่ผมจำเป็นต้องทำคือ, ความยาว, หากคุณ

0:02:31.860,0:02:34.930
นึกถึงความยาวของเวกเตอร์นี้เป็น 10, นั่นก็คือ

0:02:34.930,0:02:37.750
แรงลัพธ์, แต่คุณต้องหาความยาว

0:02:37.750,0:02:40.770
ของเวกเตอร์, นั่นคือองค์ประกอบของแรง, จะได้มีทิศ

0:02:40.770,0:02:43.460
เดียวกับการกระจัดผม

0:02:43.460,0:02:45.570
และด้วยตรีโกณมิติง่าย ๆ, คุณก็รู้ว่า

0:02:45.570,0:02:53.120
นี่คือ 10 คูณโคไซน์ของ 60 องศา, หรือนั่นเท่ากับ

0:02:53.120,0:02:58.010
โคไซน์ของ 60 องศา คือ 1/2, นั่นจะเท่ากับ 5

0:02:58.010,0:03:00.380
ดังนั้นขนาดนี่, ขนาดของแรง

0:03:00.380,0:03:02.410
ไปในทิศเดียวกับการกระจัดในกรณีนี้

0:03:02.410,0:03:04.810
คือ 5 นิวตัน

0:03:04.810,0:03:07.500
-

0:03:07.500,0:03:09.850
แล้วคุณก็หางานได้แล้ว

0:03:09.850,0:03:19.560
คุณอาจบอกว่า งานเท่ากับ 5 นิวตัน คูณ, ผมจะ

0:03:19.560,0:03:20.630
เขียนจุดแทนการคูณนะ

0:03:20.630,0:03:22.290
ผมไม่อยากให้คุณคิดว่ามันคือ ครอสโปรดัก

0:03:22.290,0:03:26.680
คูณ 5 เมตร, ซึ่งก็คือ 25 นิวตันเมตร, หรือคุณอาจ

0:03:26.680,0:03:31.250
บอกว่า 25 จูล เป็นงานที่ทำไป

0:03:31.250,0:03:35.280
และนี่คือการทบทวนฟิสิกส์พื้นฐานทั่วไป

0:03:35.280,0:03:36.720
แต่ลองคิดว่าเกิดอะไรขึ้นบ้างตรงนี้

0:03:36.720,0:03:37.430
งานคืออะไร?

0:03:37.430,0:03:39.190
หากผมเขียนในรูปนามธรรม

0:03:39.190,0:03:42.550
งานเท่ากับ 5 นิวตัน

0:03:42.550,0:03:46.700
นั่นคือขนาดของเวกเตอร์แรง, ดังนั้นมัน

0:03:46.700,0:03:52.630
คือขนาดของเวกเตอร์แรงผม, คูณโคไซน์ของมุมนี้

0:03:52.630,0:03:53.860
คุณก็รู้, เรียกมันว่าเทต้าแล้วกัน

0:03:53.860,0:03:55.010
สมมุติว่ามันทั่ว ๆ ไปแล้วกัน

0:03:55.010,0:03:58.150
คูณกับโคไซน์ของมุม

0:03:58.150,0:04:01.740
นี่คือปริมาณของแรงในทิศของ

0:04:01.740,0:04:04.960
การกระจัด, โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน, คูณ

0:04:04.960,0:04:06.800
ขนาดของการกระจัด

0:04:06.800,0:04:12.260
งั้นคูณขนาดของการกระจัด

0:04:12.260,0:04:15.560
หรือหากผมอยากเขียนมันใหม่, ผมก็เขียนมันเป็น,

0:04:15.560,0:04:18.940
ขนาดของการกระจัด คูณ ขนาดของแรง

0:04:18.940,0:04:23.400
คูณโคไซน์ของเทต้า

0:04:23.400,0:04:26.760
และผมทำวิดีโอหลายอันเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว, ในรายการพีชคณิตเชิงเส้น

0:04:26.760,0:04:28.880
ในรายการฟิสิกส์, โดยผมพูดถึง

0:04:28.880,0:04:31.580
ดอทโปรดัคและครอสโปรดัค อะไรพวกนั้น, แต่

0:04:31.580,0:04:40.470
นี่คือดอทโปรดัคของเวกเตอร์ d กับ f

0:04:40.470,0:04:43.700
งั้นโดยทั่วไป, หากคุณพยายามหางานของการกระจัด

0:04:43.700,0:04:46.730
คงที่, และคุณมีแรงคงที่, คุณก็แค่

0:04:46.730,0:04:48.530
หาดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวนั้น

0:04:48.530,0:04:51.330
และหากดอทโปรดัคเป็นเรื่องไม่คุ้นเคยสำหรับ

0:04:51.330,0:04:53.770
คุณ, คุณอาจอยากไปดู, ผมว่าผมทำไว้หลายอัน, วิดีโอ

0:04:53.770,0:04:56.380
4 หรือ 5 อันเกี่ยวกับดอทโปรดัค, และสัญชาตญาณ,

0:04:56.380,0:04:57.420
ว่ามันต่างกันยังไง

0:04:57.420,0:04:59.280
แต่เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณนิดหน่อยตอนนี้

0:04:59.280,0:05:03.920
ดอทโปรดัค, ตอนผมเอา f ดอท d, หรือ d ดอท f,

0:05:03.920,0:05:08.440
สิ่งที่มันให้ผมคือ, ผมกำลังคูณขนาด,

0:05:08.440,0:05:10.130
อันนั้นผมแค่อ่านนี่ออกมา

0:05:10.130,0:05:13.590
แต่แนวคิดของดอทโปรดัคคือ, เอาปริมาณ

0:05:13.590,0:05:16.800
ของเวกเตอร์ในทิศเดียวกับเวกเตอร์นี้ออกมา,

0:05:16.800,0:05:18.500
ในกรณีนี้, ก็คือเท่านี้

0:05:18.500,0:05:21.110
แล้วคูณด้วยขนาดทั้งสอง

0:05:21.110,0:05:22.410
และนั่นคือสิ่งที่เราทำไปตรงนี้

0:05:22.410,0:05:26.230
ดังนั้นงานจะเท่ากับเวกเตอร์แรง, ดอท, เอา

0:05:26.230,0:05:28.980
ส่วนดอทของเวกเตอร์แรง กับเวกเตอร์การกระจัด,

0:05:28.980,0:05:30.840
และนี่, แน่นอน, มีค่าเป็นสเกลาร์

0:05:30.840,0:05:33.040
และเราจะทำตัวอย่างในอนาคต

0:05:33.040,0:05:34.360
ให้คุณเห็นว่ามันเป็นจริง

0:05:34.360,0:05:39.000
ดังนั้นนี่คือการทบทวนฟิสิกส์เบื้องต้นจริง ๆ

0:05:39.000,0:05:42.500
ทีนี้ ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น, แต่มันยัง

0:05:42.500,0:05:43.670
คิดเหมือนเดิม

0:05:43.670,0:05:45.873
ลองนิยามสนามเวกเตอร์ขึ้นมา

0:05:45.873,0:05:48.660
-

0:05:48.660,0:05:51.371
งั้นสมมุติว่าผมมีสนามเวกเตอร์ f, และเรา

0:05:51.371,0:05:54.050
จะคิดว่ามันหมายถึงอะไรในไม่ช้า

0:05:54.050,0:05:58.890
มันคือฟังก์ชันของ x กับ y, และมันเท่ากับสเกลาร์ฟังก์ชัน

0:05:58.890,0:06:04.490
ของ x กับ y คูณเวกเตอร์หน่วย i, หรือ

0:06:04.490,0:06:08.760
เวกเตอร์หน่วยตามแนวราบ, บวกฟังก์ชันอีกอัน, ฟังก์ชัน

0:06:08.760,0:06:14.250
สเกลาร์ของ x กับ y, คูณเวกเตอร์หน่วยตามแนวดิ่ง

0:06:14.250,0:06:15.580
แล้วของแบบนี้จะเป็นยังไง?

0:06:15.580,0:06:17.460
นี่คือสนามเวกเตอร์

0:06:17.460,0:06:20.210
นี่คือสนามเวกเตอร์ในสเปซ 2 มิติ

0:06:20.210,0:06:21.330
เราอยู่ในระนาบ x-y

0:06:21.330,0:06:31.190
-

0:06:31.190,0:06:35.840
หรือคุณอาจเรียกมันว่า R2

0:06:35.840,0:06:37.690
ไม่ว่ายังไง, ผมไม่อยากพูดถึง

0:06:37.690,0:06:39.230
คณิตศาสตร์ในนั้นเกินไป

0:06:39.230,0:06:40.590
แต่นี่จะทำอะไร?

0:06:40.590,0:06:47.270
เอาล่ะ, หากผมวาดระนาบ x-y, โดยที่นั่นคือ,

0:06:47.270,0:06:49.070
ผมมีปัญหาเรื่องวาดเส้นตรงอีกแล้ว

0:06:49.070,0:06:50.610
เอาล่ะ, ได้แล้ว

0:06:50.610,0:06:54.050
นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน x ผม

0:06:54.050,0:06:56.360
ผมแค่วาดจตุภาคแรก, แต่คุณอาจวาด

0:06:56.360,0:06:59.450
ไปเป็นลบในอีกทางนึงก็ได้ถ้าต้องการ

0:06:59.450,0:07:01.260
แล้วสิ่งนี้จะทำอะไร?

0:07:01.260,0:07:02.350
มันกำลังบอกว่า, ลองดู

0:07:02.350,0:07:06.800
คุณบอกค่า x กับ y ใด ๆ กับผม คุณบอกค่า x,y ใด ๆ บนระนาบ x-y

0:07:06.800,0:07:09.970
และพวกนี้จะออกมาเป็นตัวเลข, จริงไหม?

0:07:09.970,0:07:12.655
เมื่อคุณใส่ x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง,

0:07:12.655,0:07:14.310
ตอนคุณแทน x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง

0:07:14.310,0:07:16.980
คุณจะได้ส่วนผสมของเวกเตอร์หน่วย

0:07:16.980,0:07:18.070
i กับ j

0:07:18.070,0:07:19.770
งั้นคุณจะได้เวกเตอร์สักตัว

0:07:19.770,0:07:23.020
และสิ่งที่นี่ทำ, มันจะนิยามเวกเตอร์ที่คู่

0:07:23.020,0:07:24.810
กับจุดทุกจัดบนระนาบ x-y

0:07:24.810,0:07:28.780
ผมอาจบอกได้ว่า, หากผมเอาจุดนี้บนระนาบ x-y มา,

0:07:28.780,0:07:32.480
และผมเลือกมันมาไว้นี่, ผมจะได้บางสิ่งคูณ i บวก

0:07:32.480,0:07:34.730
บางสิ่งคูณ j, และเมื่อคุณบวกสองอย่างเข้า, เราจะได้

0:07:34.730,0:07:37.130
เวกเตอร์ที่ออกมาเป็นแบบนี้

0:07:37.130,0:07:38.100
และคุณทำได้กับทุกจุด

0:07:38.100,0:07:39.190
ผมแค่เลือกตัวอย่างขึ้นมามั่ว ๆ

0:07:39.190,0:07:41.420
บางทีตอนผมมาตรงนี้, เวกเตอร์ดู

0:07:41.420,0:07:42.280
หน้าตาแบบนี้

0:07:42.280,0:07:44.910
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์หน้าตาเป็นแบบนี้

0:07:44.910,0:07:47.560
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์เป็นแบบนี้

0:07:47.560,0:07:50.350
และบางทีตอนผมไปถึงตรงนี้, เวกเตอร์ไปแบบนั้น

0:07:50.350,0:07:52.320
ผมแค่เลือกจุดขึ้นมาสุ่ม ๆ

0:07:52.320,0:07:57.090
มันจะตั้งเวกเตอร์บนพิกัด x, y ทั้งหมด โดย

0:07:57.090,0:08:00.920
ฟังก์ชันสเกลาร์พวกนี้ถูกนิยามไว้ชัดเจน

0:08:00.920,0:08:02.370
และนั่นคือสาเหตุที่มันถูกเรียกว่า สนามเวกเตอร์

0:08:02.370,0:08:06.580
มันนิ่ยามสิ่งที่ แรงศักย์ จะเป็น,

0:08:06.580,0:08:11.430
หรือแรงประเภทอื่น ๆ, ณ จุดใด ๆ

0:08:11.430,0:08:14.350
ที่จุดใด ๆ, หากคุณมีอะไรสักอย่างตรงนั้น

0:08:14.350,0:08:15.900
บางทีนั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชันเป็น

0:08:15.900,0:08:17.750
ผมสามารถทำแบบนี้ไปตลอด,

0:08:17.750,0:08:18.790
และเติมเต็มที่ว่างทั้งหมด

0:08:18.790,0:08:19.660
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว

0:08:19.660,0:08:24.790
มันจับคู่เวกเตอร์เข้ากับทุกจุดบนระนาบ x-y

0:08:24.790,0:08:29.010
ทีนี้, นี่เรียกว่าสนามเวกเตอร์, ดังนั้นก็เข้าใจได้

0:08:29.010,0:08:30.950
ว่านี่สามารถใช้บรรยาย

0:08:30.950,0:08:31.870
สนามได้ทุกประเภท

0:08:31.870,0:08:33.410
มันอาจเป็นสนามโน้มถ่วงก็ได้

0:08:33.410,0:08:36.840
มันอาจเป็นสนามไฟฟ้า, อาจเป็นสนามเหล็ก

0:08:36.840,0:08:39.630
และนี่อาจบอกคุณว่ามีแรง

0:08:39.630,0:08:43.190
กระทำต่ออนุภาคในสนามนั้นเท่าไหร่

0:08:43.190,0:08:44.660
นั่นคือสิ่งนี้กำลังบรรยายอยู่

0:08:44.660,0:08:48.950
ตอนนี้, สมมุติว่าในสนามนี้, ผมมีอนุภาค

0:08:48.950,0:08:51.610
เคลื่อนที่ไปในระนาบ x-y

0:08:51.610,0:08:58.620
สมมุติว่ามันเริ่มตรงนี้, และเนื่องจากแรงเพี้ยน ๆ พวกนี้

0:08:58.620,0:09:03.850
กระทำต่อมัน, หรือบางทีมันอยู่ในราง

0:09:03.850,0:09:06.900
หรืออะไรสักอย่าง, มันไม่ต้องเคลื่อนที่ไป

0:09:06.900,0:09:09.360
ตามทิศของสนามที่กระทำต่อมันเสมอไป

0:09:09.360,0:09:14.030
สมมุติว่ามันเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่เคลื่อนไปแบบนี้

0:09:14.030,0:09:17.710
สมมุติว่าเส้นทางนี้, หรือเส้นโค้งนี้, บรรยายได้

0:09:17.710,0:09:22.010
ด้วยฟังก์ชันเวกเตอร์ตำแหน่ง

0:09:22.010,0:09:25.150
งั้นสมมุติว่านั่นนิยามด้วย r ของ t, หรือก็

0:09:25.150,0:09:33.780
คือ x ของ t คูณ i บวก y ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

0:09:33.780,0:09:35.130
นั่นคือ r ของ t ตรงนี้

0:09:35.130,0:09:37.730
ทีนี้, ในการทำให้นี่เป็นเส้นทางจำกัด, มันจะเป็น

0:09:37.730,0:09:42.370
เช่นนั้นก่อน t มากกว่าเท่ากับ a, และน้อยกว่า

0:09:42.370,0:09:45.640
เท่ากับ b

0:09:45.640,0:09:47.830
นี่คือเส้นทางที่อนุภาคจะ

0:09:47.830,0:09:50.370
เคลื่อนไป, เนื่องจากแรงพวกนี้

0:09:50.370,0:09:54.270
เมื่ออนุภาคอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์

0:09:54.270,0:09:56.960
ที่กระทำต่อมัน, บางทีมันอาจให้แรงแบบนั้น

0:09:56.960,0:09:59.520
แต่เนื่องจากสิ่งนี้อยู่บนรางสักอย่าง, มันจะ

0:09:59.520,0:10:00.400
เคลื่อนที่ไปในทิศนั้น

0:10:00.400,0:10:03.830
แล้วเมื่อมันอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์เป็นแบบนั้น,

0:10:03.830,0:10:05.740
แต่มันเคลื่อนที่ไปอีกทิศนึง, เพราะมันอยู่

0:10:05.740,0:10:06.940
บนรางสักอย่าง

0:10:06.940,0:10:09.500
ตอนนี้, ทุกอย่างที่ผมทำมาในวิดีโอนี้ เพื่อตั้ง

0:10:09.500,0:10:11.180
คำถามพื้น ๆ ข้อนึง

0:10:11.180,0:10:13.910
นั่นคือ งานที่กระทำต่ออนุภาคโดยสนามนั้นเป็นเท่าไหร่?

0:10:13.910,0:10:24.960
-

0:10:24.960,0:10:28.620
เพื่อตอบคำถามนั้น, เราลองขยายเข้าไปหน่อย

0:10:28.620,0:10:31.100
ผมจะขยายเข้าไปตรงส่วนเล็ก ๆ

0:10:31.100,0:10:34.710
ของเส้นทางเรา

0:10:34.710,0:10:38.010
และลองหาว่างานที่กระทำใน

0:10:38.010,0:10:40.470
ช่วงเล็ก ๆ ของเส้นทาง, เพราะมันเปลี่ยนไปสม่ำเสมอ

0:10:40.470,0:10:42.190
สนามมีทิศเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ

0:10:42.190,0:10:43.630
วัตถุก็เปลี่ยนทิศไปเรื่อย ๆ

0:10:43.630,0:10:47.780
งั้นสมมุติว่าตอนผมอยู่ตรงนี้, สมมุติว่าผมเคลื่อนที่

0:10:47.780,0:10:49.740
ไปได้นิดเดียวตามทาง

0:10:49.740,0:10:55.860
สมมุติว่าผมเคลื่อนที่, นี่เป็น dr

0:10:55.860,0:10:58.500
เล็กจิ๋ว, จริงไหม?

0:10:58.500,0:11:00.810
ผมมีดิฟเฟอเรนเชียล, มันคือเวกเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียล, การ

0:11:00.810,0:11:02.630
กระจัดเล็กจิ๋ว

0:11:02.630,0:11:06.800
และสมมุติว่าตลอดช่วงนั้น, สนามเวกเตอร์

0:11:06.800,0:11:08.840
กำลังกระทำกับพื้นที่ท้องถิ่นนี้, สมมุติว่ามัน

0:11:08.840,0:11:10.480
หน้าตาแบบนั้น

0:11:10.480,0:11:13.490
มันกำลังให้แรงที่ดูเป็นแบบนั้น

0:11:13.490,0:11:16.640
ดังนั้นนั่นคือเวกเตอร์สนามในพื้นที่นั้น, หรือแรง

0:11:16.640,0:11:18.750
ชี้ไปยังอนุภาคตรงนี้มันอยู่ ณ จุดนั้น

0:11:18.750,0:11:18.870
จริงไหม?

0:11:18.870,0:11:22.420
มันคือช่วงเล็กจิ๋วในสเปซ

0:11:22.420,0:11:24.440
คุณอาจบอกว่า, โอเค, ตลอดช่วงเล็กจิ๋วนั่น, เรา

0:11:24.440,0:11:26.600
บอกว่านี่เป็นแรงคงที่

0:11:26.600,0:11:29.790
งานที่ทำตลอดช่วงเวลาสั้น ๆ นี้เป็นเท่าไหร่?

0:11:29.790,0:11:32.330
คุณก็บอกว่า, งานช่วงเล็ก ๆ คืออะไร?

0:11:32.330,0:11:36.120
คุณอาจบอกว่า d งาน, หรือดิฟเฟอเรนเชียลของงาน

0:11:36.120,0:11:38.940
ด้วยตรรกะเดียวกันที่เราทำกับโจทย์ง่าย ๆ

0:11:38.940,0:11:43.810
มันคือขนาดของแรงในทิศของ

0:11:43.810,0:11:48.550
การกระจัดคูณขนาดของการกระจัด

0:11:48.550,0:11:52.800
และเรารู้ว่ามันคืออะไร, จากตัวอย่างข้างบนนี้

0:11:52.800,0:11:54.810
นั่นคือดอทโปรดัค

0:11:54.810,0:11:58.340
มันคือดอทโปรดัคของแรงกับการกระจัดเล็กจิ๋ว

0:11:58.340,0:11:59.480
ของเรา

0:11:59.480,0:12:07.860
ดังนั้นมันเท่ากับดอทโปรดัคของแรงเรากับ

0:12:07.860,0:12:09.870
การกระจัดเล็กจิ๋ว

0:12:09.870,0:12:13.240
ทีนี้, ด้วยการทำเช่นนี้, เราเพิ่งหาได้ว่างาน

0:12:13.240,0:12:16.440
ตลอดช่วง dr ที่เล็กสุด ๆๆๆ ไป แต่

0:12:16.440,0:12:18.820
ที่เราอยากทำคือ เราอยากรวมพวกมันเข้า

0:12:18.820,0:12:21.870
เราอยากรวม dr ทั้งหมดเพื่อหา f ดอท

0:12:21.870,0:12:25.090
dr ทั้งหมด เพื่อหางานลัพธ์

0:12:25.090,0:12:27.510
และนั่นคือที่ที่อินทิกรัลเข้ามา

0:12:27.510,0:12:32.570
เราจะหาอินทิกรัลเส้นตลอด -- ผมหมายถึง, คุณอาจ

0:12:32.570,0:12:33.910
คิดได้สองแบบ

0:12:33.910,0:12:37.440
คุณอาจเขียน d ดอท w ตรงนี้, แต่เราอาจบอกว่า, เราจะ

0:12:37.440,0:12:42.700
หาอินทิกรัลเส้นตลอดเส้นโค้ง c นี่, เรียกมันว่า c

0:12:42.700,0:12:46.410
หรือตาม r, อะไรก็ได้ที่คุณอยากเรียก, ของ dw

0:12:46.410,0:12:47.800
นั่นจะให้งานรวมกับเรา

0:12:47.800,0:12:49.500
งั้นสมมุติว่า, งานเท่ากับอันนั้น

0:12:49.500,0:12:54.040
หรือเราอาจเขียนมันตลอดอินทิกรัล, ตลอด

0:12:54.040,0:13:00.500
เส้นโค้งของ f ของ f ดอท dr

0:13:00.500,0:13:03.580
และนี่อาจดู, คุณก็รู้, นี่มัน

0:13:03.580,0:13:05.120
ดูนามธรรมมากเลยนะ ซาล

0:13:05.120,0:13:09.220
เราจะคำนวณอะไรแบบนี้จริง ๆ ได้ไง?

0:13:09.220,0:13:13.130
ได้สิ เพราะเรามีทุกอย่างเขียนได้

0:13:13.130,0:13:14.030
ในรูปของ t

0:13:14.030,0:13:16.130
แล้วเราจะได้นี่ในรูปของ t ได้อย่างไร?

0:13:16.130,0:13:19.710
และหากคุณคิดดูดี ๆ, f ดอท r คืออะไร?

0:13:19.710,0:13:21.030
หรือ f ดอท dr คืออะไร?

0:13:21.030,0:13:23.300
ที่จริง, ในการตอบคำถามนั้น, ลองนึกดูว่า

0:13:23.300,0:13:25.830
dr เป็นอย่างไร

0:13:25.830,0:13:36.200
หากคุณจำได้, dr/dt เท่ากับ x ไพรม์ของ t, ผมจะเขียน

0:13:36.200,0:13:39.120
มันเเป็น, ผมสามารถเขียน dx dt หากผมต้องการ, คูณ

0:13:39.120,0:13:45.180
เวกเตอร์หน่วย i, บวก y ไพรม์ของ t, คูณเวกเตอร์หน่วย j

0:13:45.180,0:13:49.320
และหากเราอยากได้ dr, เราก็คูณทั้งสองข้าง

0:13:49.320,0:13:51.850
หากเราเล่นกลสักหน่อยกับ

0:13:51.850,0:13:53.470
ดิฟเฟอเรนเชียล, ไม่เข้มงวดเกินไป

0:13:53.470,0:13:58.480
เราจะได้ dr เท่ากับ x ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย

0:13:58.480,0:14:05.070
i บวก y ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

0:14:05.070,0:14:07.280
คุณดิฟเฟอเรนเชียล dt

0:14:07.280,0:14:09.070
งั้นนี่คือ dr ตรงนี้

0:14:09.070,0:14:12.110
-

0:14:12.110,0:14:16.280
และจำไว้ว่าสนามเวกเตอร์เราคืออะไร

0:14:16.280,0:14:17.440
มันคือสิ่งนี้บนนี้

0:14:17.440,0:14:19.590
ขอผมลอกและแปะไว้ตรงนี้นะ

0:14:19.590,0:14:21.030
เราจะเห็นเองว่าดอทโปรดัค

0:14:21.030,0:14:23.360
ไม่ได้แย่นัก

0:14:23.360,0:14:26.710
งั้นลอก, และขอผมแปะมันข้างล่างตรงนี้นะ

0:14:26.710,0:14:31.130
-

0:14:31.130,0:14:33.820
แล้วอินทิกรัลนี้จะออกมาเป็นอย่างไร?

0:14:33.820,0:14:37.600
อินทิกรัลนี่ตรงนี้, นั่นบอกงานรวมที่ทำโดย

0:14:37.600,0:14:40.790
สนาม, ต่ออนุภาค, เมื่อมันเคลื่อนที่ตามเส้นทางนั่น

0:14:40.790,0:14:44.090
แค่หลักพื้นฐานถึงฟิสิกส์จริง ๆ

0:14:44.090,0:14:47.170
ที่คุณอาจต้องทำในที่สุด

0:14:47.170,0:14:48.170
คุณอาจบอกว่า, โอ้

0:14:48.170,0:14:52.420
มันจะต้องเป็นอินทิกรัล, สมมุติว่าจาก t เท่ากับ

0:14:52.420,0:14:55.320
a ถึง t เท่ากับ b

0:14:55.320,0:14:58.310
จริงไหม? a คือตอนที่เราเริ่มต้น, t เท่ากับ

0:14:58.310,0:14:59.790
a ถึง t เท่ากับ b

0:14:59.790,0:15:01.760
คุณอาจนึกว่ามันคือเวลา, เมื่ออนุภาค

0:15:01.760,0:15:03.610
เคลื่อนที่, เวลาก็เริ่มเดิน

0:15:03.610,0:15:07.000
แล้ว f ดอท dr คืออะไร?

0:15:07.000,0:15:10.640
ทีนี้, หากคุณจำไว้ว่าดอทโปรดัคคืออะไร, คุณก็

0:15:10.640,0:15:15.310
แค่หาผลคูณระหว่างองค์ประกอบ

0:15:15.310,0:15:17.740
คู่กันของเวกเตอร์ แล้วจับมันรวมกัน

0:15:17.740,0:15:20.070
ดังนั้น นี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก t เท่ากับ a ถึง t

0:15:20.070,0:15:27.246
เท่ากับ b, ของ p ของ p ของ x, ที่จริง แทนที่จะเขียน x,

0:15:27.246,0:15:30.740
y, มันคือ x ของ t, จริงไหม? x เป็นฟังก์ชันของ t, y เป็น

0:15:30.740,0:15:32.350
ฟังก์ชันของ t

0:15:32.350,0:15:33.690
เลยเป็นแบบนั้น

0:15:33.690,0:15:37.600
คูณด้วยสิ่งนี่ตรงนี้, คูณองค์ประกอบนี้, จริงไหม?

0:15:37.600,0:15:39.300
เรากำลังคูณองค์ประกอบ i อยู่

0:15:39.300,0:15:50.650
งั้นคูณ x ไพรม์ของ t d t, แล้วก็บวก, เราจะ

0:15:50.650,0:15:52.370
ทำเหมือนกันกับฟังก์ชัน q

0:15:52.370,0:15:56.060
ดังนั้นนี่คือ q บวก, ผมจะไปอีกบรรทัดนึงนะ

0:15:56.060,0:15:57.760
หวังว่าคุณคงรู้ว่าผมยังเขียนต่ออยู่

0:15:57.760,0:15:59.020
แต่ผมไม่มีที่แล้ว

0:15:59.020,0:16:09.960
บวก q ของ x ของ t, y ของ t, คูณองค์ประกอบของ dr เรา

0:16:09.960,0:16:11.900
คูณองค์ประกอบ y, หรือ องค์ประกอบ j

0:16:11.900,0:16:15.530
y ไพรม์ของ t dt

0:16:15.530,0:16:16.620
แล้วก็เสร็จ!

0:16:16.620,0:16:17.480
เสร็จแล้ว

0:16:17.480,0:16:19.300
นี่อาจดูนามธรรมไปหน่อย, แต่เราจะ

0:16:19.300,0:16:23.020
เห็นในวิดีโอหน้า, ว่าทุกอย่างตอนนี้อยู่ในรูปของ

0:16:23.020,0:16:25.480
t, นี่ก็จะเป็นการอินทิเกรตตรง ๆ

0:16:25.480,0:16:27.170
เทียบกับ dt

0:16:27.170,0:16:30.150
หากเราต้องการ, เราสามารถเอา dt ออกจากสมการ

0:16:30.150,0:16:32.270
และมันจะอยู่ปกติกว่าเดิม

0:16:32.270,0:16:34.640
แต่ที่สุดแล้วนี่คือทั้งหมดที่เราต้องทำ

0:16:34.640,0:16:38.080
และเราจะดูตัวอย่างจริง ๆ ในการหา

0:16:38.080,0:16:43.230
อินทิกรัลเส้นตามสนามเวกเตอร์, หรือใช้ฟังก์ชัน

0:16:43.230,0:16:45.790
เวกเตอร์นี้, ในวิดีโอหน้า

0:16:45.790,0:16:46.000
-