-
หนึ่งในแนวคิดที่พื้นฐานที่สุดอย่างนึงในฟิสิกส์
คือ แนวคิดเรื่องงาน
ทีนี้, ตอนคุณเรียนเรื่องงานครั้งแรก, คุณอาจบอกว่า, โอ้
นั่นก็แค่แรงคูณระยะทาง
แต่แล้วต่อมา, ตอนคุณเรียนอีกหน่อยเรื่อง
เวกเตอร์, คุณก็รู้ว่าแรงไม่จำเป็นต้อง
มีทิศทางเดียวกับการกระจัด
คุณก็เลยรู้ว่า งาน มีแค่ขนาด, ขอผมเขียนลงไป
ตรงนี้นะ, ขนาดของแรง, ในทิศ,
หรือองค์ประกอบของแรงในทิศ
ของการกระจัด
การกระจัดก็คือระยะทางที่มีทิศด้วย
-
คูณขนาดของการกระจัด, หรือคุณบอกว่า
คูณระยะที่มันเลื่อนไป
-
และตัวอย่างคลาสสิค
บางทีคุณอาจมีก้อนน้ำแข็ง, หรือก้อนหินสักอย่าง
เป็นน้ำแข็งจะได้ไม่มีแรงเสียดทานมากนัก
บางทีมันอาจอยู่บนทะเลสาบที่ใหญ่กว่า หรือน้ำแข็งอะไรสักอย่าง
บางทีคุณอาจดึงก้อนน้ำแข็งนั่นเป็นมุมค่านึง
สมมุติว่า คุณกำลังดึงมันเป็นมุมแบบนั้น
นั่นคือแรงของผม, ตรงนี้
สมมุติว่าแรงผมเท่ากับ -- ทีนี้, นั่นคือ
เวกเตอร์แรงผม
สมมุติว่าขนาดของเวกเตอร์แรง, สมมุติว่า
มันคือ 10 นิวตัน
สมมุติว่าทิศของเวกเตอร์แรง, ตรงนี้,
เวกเตอร์ใด ๆ ต้องมีทั้งขนาดและทิศ, และทิศ
สมมุติมันทำมุม 30 องศา, สมมุติว่า
มุม, 60 องศา, เหนือแกนนอน
ดังนั้นนั่นคือทิศที่ผมกำลังดึง
สมมุติว่าผมเลื่อนมันไป
หวังว่านี่เป็นการทบทวนนะ
หากคุณเลื่อนมัน, สมมุติว่าคุณเลื่อนมันไป 5 นิวตัน
สมมุติว่าการกระจัด, นั่นคือเวกเตอร์การกระจัด
ตรงนี้, และขนาดของมันเท่ากับ 5 เมตร
คุณก็รู้จากนิยามของแรงแล้ว, คุณไม่อาจ
บอกว่า, โอ้, ผมกำลังดึงด้วยแรง 10 นิวตัน และ
ผมกำลังเคลื่อนไป 5 เมตร
คุณไม่สามารถคูณ 10 นิวตันด้วยระยะ 5 เมตรได้
คุณต้องหาขนาดขององค์ประกอบ
ที่อยู่ในทิศเดียวกับการกระจัด
ดังนั้นสิ่งที่ผมจำเป็นต้องทำคือ, ความยาว, หากคุณ
นึกถึงความยาวของเวกเตอร์นี้เป็น 10, นั่นก็คือ
แรงลัพธ์, แต่คุณต้องหาความยาว
ของเวกเตอร์, นั่นคือองค์ประกอบของแรง, จะได้มีทิศ
เดียวกับการกระจัดผม
และด้วยตรีโกณมิติง่าย ๆ, คุณก็รู้ว่า
นี่คือ 10 คูณโคไซน์ของ 60 องศา, หรือนั่นเท่ากับ
โคไซน์ของ 60 องศา คือ 1/2, นั่นจะเท่ากับ 5
ดังนั้นขนาดนี่, ขนาดของแรง
ไปในทิศเดียวกับการกระจัดในกรณีนี้
คือ 5 นิวตัน
-
แล้วคุณก็หางานได้แล้ว
คุณอาจบอกว่า งานเท่ากับ 5 นิวตัน คูณ, ผมจะ
เขียนจุดแทนการคูณนะ
ผมไม่อยากให้คุณคิดว่ามันคือ ครอสโปรดัก
คูณ 5 เมตร, ซึ่งก็คือ 25 นิวตันเมตร, หรือคุณอาจ
บอกว่า 25 จูล เป็นงานที่ทำไป
และนี่คือการทบทวนฟิสิกส์พื้นฐานทั่วไป
แต่ลองคิดว่าเกิดอะไรขึ้นบ้างตรงนี้
งานคืออะไร?
หากผมเขียนในรูปนามธรรม
งานเท่ากับ 5 นิวตัน
นั่นคือขนาดของเวกเตอร์แรง, ดังนั้นมัน
คือขนาดของเวกเตอร์แรงผม, คูณโคไซน์ของมุมนี้
คุณก็รู้, เรียกมันว่าเทต้าแล้วกัน
สมมุติว่ามันทั่ว ๆ ไปแล้วกัน
คูณกับโคไซน์ของมุม
นี่คือปริมาณของแรงในทิศของ
การกระจัด, โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน, คูณ
ขนาดของการกระจัด
งั้นคูณขนาดของการกระจัด
หรือหากผมอยากเขียนมันใหม่, ผมก็เขียนมันเป็น,
ขนาดของการกระจัด คูณ ขนาดของแรง
คูณโคไซน์ของเทต้า
และผมทำวิดีโอหลายอันเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว, ในรายการพีชคณิตเชิงเส้น
ในรายการฟิสิกส์, โดยผมพูดถึง
ดอทโปรดัคและครอสโปรดัค อะไรพวกนั้น, แต่
นี่คือดอทโปรดัคของเวกเตอร์ d กับ f
งั้นโดยทั่วไป, หากคุณพยายามหางานของการกระจัด
คงที่, และคุณมีแรงคงที่, คุณก็แค่
หาดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวนั้น
และหากดอทโปรดัคเป็นเรื่องไม่คุ้นเคยสำหรับ
คุณ, คุณอาจอยากไปดู, ผมว่าผมทำไว้หลายอัน, วิดีโอ
4 หรือ 5 อันเกี่ยวกับดอทโปรดัค, และสัญชาตญาณ,
ว่ามันต่างกันยังไง
แต่เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณนิดหน่อยตอนนี้
ดอทโปรดัค, ตอนผมเอา f ดอท d, หรือ d ดอท f,
สิ่งที่มันให้ผมคือ, ผมกำลังคูณขนาด,
อันนั้นผมแค่อ่านนี่ออกมา
แต่แนวคิดของดอทโปรดัคคือ, เอาปริมาณ
ของเวกเตอร์ในทิศเดียวกับเวกเตอร์นี้ออกมา,
ในกรณีนี้, ก็คือเท่านี้
แล้วคูณด้วยขนาดทั้งสอง
และนั่นคือสิ่งที่เราทำไปตรงนี้
ดังนั้นงานจะเท่ากับเวกเตอร์แรง, ดอท, เอา
ส่วนดอทของเวกเตอร์แรง กับเวกเตอร์การกระจัด,
และนี่, แน่นอน, มีค่าเป็นสเกลาร์
และเราจะทำตัวอย่างในอนาคต
ให้คุณเห็นว่ามันเป็นจริง
ดังนั้นนี่คือการทบทวนฟิสิกส์เบื้องต้นจริง ๆ
ทีนี้ ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น, แต่มันยัง
คิดเหมือนเดิม
ลองนิยามสนามเวกเตอร์ขึ้นมา
-
งั้นสมมุติว่าผมมีสนามเวกเตอร์ f, และเรา
จะคิดว่ามันหมายถึงอะไรในไม่ช้า
มันคือฟังก์ชันของ x กับ y, และมันเท่ากับสเกลาร์ฟังก์ชัน
ของ x กับ y คูณเวกเตอร์หน่วย i, หรือ
เวกเตอร์หน่วยตามแนวราบ, บวกฟังก์ชันอีกอัน, ฟังก์ชัน
สเกลาร์ของ x กับ y, คูณเวกเตอร์หน่วยตามแนวดิ่ง
แล้วของแบบนี้จะเป็นยังไง?
นี่คือสนามเวกเตอร์
นี่คือสนามเวกเตอร์ในสเปซ 2 มิติ
เราอยู่ในระนาบ x-y
-
หรือคุณอาจเรียกมันว่า R2
ไม่ว่ายังไง, ผมไม่อยากพูดถึง
คณิตศาสตร์ในนั้นเกินไป
แต่นี่จะทำอะไร?
เอาล่ะ, หากผมวาดระนาบ x-y, โดยที่นั่นคือ,
ผมมีปัญหาเรื่องวาดเส้นตรงอีกแล้ว
เอาล่ะ, ได้แล้ว
นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน x ผม
ผมแค่วาดจตุภาคแรก, แต่คุณอาจวาด
ไปเป็นลบในอีกทางนึงก็ได้ถ้าต้องการ
แล้วสิ่งนี้จะทำอะไร?
มันกำลังบอกว่า, ลองดู
คุณบอกค่า x กับ y ใด ๆ กับผม คุณบอกค่า x,y ใด ๆ บนระนาบ x-y
และพวกนี้จะออกมาเป็นตัวเลข, จริงไหม?
เมื่อคุณใส่ x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง,
ตอนคุณแทน x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง
คุณจะได้ส่วนผสมของเวกเตอร์หน่วย
i กับ j
งั้นคุณจะได้เวกเตอร์สักตัว
และสิ่งที่นี่ทำ, มันจะนิยามเวกเตอร์ที่คู่
กับจุดทุกจัดบนระนาบ x-y
ผมอาจบอกได้ว่า, หากผมเอาจุดนี้บนระนาบ x-y มา,
และผมเลือกมันมาไว้นี่, ผมจะได้บางสิ่งคูณ i บวก
บางสิ่งคูณ j, และเมื่อคุณบวกสองอย่างเข้า, เราจะได้
เวกเตอร์ที่ออกมาเป็นแบบนี้
และคุณทำได้กับทุกจุด
ผมแค่เลือกตัวอย่างขึ้นมามั่ว ๆ
บางทีตอนผมมาตรงนี้, เวกเตอร์ดู
หน้าตาแบบนี้
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์หน้าตาเป็นแบบนี้
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์เป็นแบบนี้
และบางทีตอนผมไปถึงตรงนี้, เวกเตอร์ไปแบบนั้น
ผมแค่เลือกจุดขึ้นมาสุ่ม ๆ
มันจะตั้งเวกเตอร์บนพิกัด x, y ทั้งหมด โดย
ฟังก์ชันสเกลาร์พวกนี้ถูกนิยามไว้ชัดเจน
และนั่นคือสาเหตุที่มันถูกเรียกว่า สนามเวกเตอร์
มันนิ่ยามสิ่งที่ แรงศักย์ จะเป็น,
หรือแรงประเภทอื่น ๆ, ณ จุดใด ๆ
ที่จุดใด ๆ, หากคุณมีอะไรสักอย่างตรงนั้น
บางทีนั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชันเป็น
ผมสามารถทำแบบนี้ไปตลอด,
และเติมเต็มที่ว่างทั้งหมด
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว
มันจับคู่เวกเตอร์เข้ากับทุกจุดบนระนาบ x-y
ทีนี้, นี่เรียกว่าสนามเวกเตอร์, ดังนั้นก็เข้าใจได้
ว่านี่สามารถใช้บรรยาย
สนามได้ทุกประเภท
มันอาจเป็นสนามโน้มถ่วงก็ได้
มันอาจเป็นสนามไฟฟ้า, อาจเป็นสนามเหล็ก
และนี่อาจบอกคุณว่ามีแรง
กระทำต่ออนุภาคในสนามนั้นเท่าไหร่
นั่นคือสิ่งนี้กำลังบรรยายอยู่
ตอนนี้, สมมุติว่าในสนามนี้, ผมมีอนุภาค
เคลื่อนที่ไปในระนาบ x-y
สมมุติว่ามันเริ่มตรงนี้, และเนื่องจากแรงเพี้ยน ๆ พวกนี้
กระทำต่อมัน, หรือบางทีมันอยู่ในราง
หรืออะไรสักอย่าง, มันไม่ต้องเคลื่อนที่ไป
ตามทิศของสนามที่กระทำต่อมันเสมอไป
สมมุติว่ามันเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่เคลื่อนไปแบบนี้
สมมุติว่าเส้นทางนี้, หรือเส้นโค้งนี้, บรรยายได้
ด้วยฟังก์ชันเวกเตอร์ตำแหน่ง
งั้นสมมุติว่านั่นนิยามด้วย r ของ t, หรือก็
คือ x ของ t คูณ i บวก y ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j
นั่นคือ r ของ t ตรงนี้
ทีนี้, ในการทำให้นี่เป็นเส้นทางจำกัด, มันจะเป็น
เช่นนั้นก่อน t มากกว่าเท่ากับ a, และน้อยกว่า
เท่ากับ b
นี่คือเส้นทางที่อนุภาคจะ
เคลื่อนไป, เนื่องจากแรงพวกนี้
เมื่ออนุภาคอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์
ที่กระทำต่อมัน, บางทีมันอาจให้แรงแบบนั้น
แต่เนื่องจากสิ่งนี้อยู่บนรางสักอย่าง, มันจะ
เคลื่อนที่ไปในทิศนั้น
แล้วเมื่อมันอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์เป็นแบบนั้น,
แต่มันเคลื่อนที่ไปอีกทิศนึง, เพราะมันอยู่
บนรางสักอย่าง
ตอนนี้, ทุกอย่างที่ผมทำมาในวิดีโอนี้ เพื่อตั้ง
คำถามพื้น ๆ ข้อนึง
นั่นคือ งานที่กระทำต่ออนุภาคโดยสนามนั้นเป็นเท่าไหร่?
-
เพื่อตอบคำถามนั้น, เราลองขยายเข้าไปหน่อย
ผมจะขยายเข้าไปตรงส่วนเล็ก ๆ
ของเส้นทางเรา
และลองหาว่างานที่กระทำใน
ช่วงเล็ก ๆ ของเส้นทาง, เพราะมันเปลี่ยนไปสม่ำเสมอ
สนามมีทิศเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ
วัตถุก็เปลี่ยนทิศไปเรื่อย ๆ
งั้นสมมุติว่าตอนผมอยู่ตรงนี้, สมมุติว่าผมเคลื่อนที่
ไปได้นิดเดียวตามทาง
สมมุติว่าผมเคลื่อนที่, นี่เป็น dr
เล็กจิ๋ว, จริงไหม?
ผมมีดิฟเฟอเรนเชียล, มันคือเวกเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียล, การ
กระจัดเล็กจิ๋ว
และสมมุติว่าตลอดช่วงนั้น, สนามเวกเตอร์
กำลังกระทำกับพื้นที่ท้องถิ่นนี้, สมมุติว่ามัน
หน้าตาแบบนั้น
มันกำลังให้แรงที่ดูเป็นแบบนั้น
ดังนั้นนั่นคือเวกเตอร์สนามในพื้นที่นั้น, หรือแรง
ชี้ไปยังอนุภาคตรงนี้มันอยู่ ณ จุดนั้น
จริงไหม?
มันคือช่วงเล็กจิ๋วในสเปซ
คุณอาจบอกว่า, โอเค, ตลอดช่วงเล็กจิ๋วนั่น, เรา
บอกว่านี่เป็นแรงคงที่
งานที่ทำตลอดช่วงเวลาสั้น ๆ นี้เป็นเท่าไหร่?
คุณก็บอกว่า, งานช่วงเล็ก ๆ คืออะไร?
คุณอาจบอกว่า d งาน, หรือดิฟเฟอเรนเชียลของงาน
ด้วยตรรกะเดียวกันที่เราทำกับโจทย์ง่าย ๆ
มันคือขนาดของแรงในทิศของ
การกระจัดคูณขนาดของการกระจัด
และเรารู้ว่ามันคืออะไร, จากตัวอย่างข้างบนนี้
นั่นคือดอทโปรดัค
มันคือดอทโปรดัคของแรงกับการกระจัดเล็กจิ๋ว
ของเรา
ดังนั้นมันเท่ากับดอทโปรดัคของแรงเรากับ
การกระจัดเล็กจิ๋ว
ทีนี้, ด้วยการทำเช่นนี้, เราเพิ่งหาได้ว่างาน
ตลอดช่วง dr ที่เล็กสุด ๆๆๆ ไป แต่
ที่เราอยากทำคือ เราอยากรวมพวกมันเข้า
เราอยากรวม dr ทั้งหมดเพื่อหา f ดอท
dr ทั้งหมด เพื่อหางานลัพธ์
และนั่นคือที่ที่อินทิกรัลเข้ามา
เราจะหาอินทิกรัลเส้นตลอด -- ผมหมายถึง, คุณอาจ
คิดได้สองแบบ
คุณอาจเขียน d ดอท w ตรงนี้, แต่เราอาจบอกว่า, เราจะ
หาอินทิกรัลเส้นตลอดเส้นโค้ง c นี่, เรียกมันว่า c
หรือตาม r, อะไรก็ได้ที่คุณอยากเรียก, ของ dw
นั่นจะให้งานรวมกับเรา
งั้นสมมุติว่า, งานเท่ากับอันนั้น
หรือเราอาจเขียนมันตลอดอินทิกรัล, ตลอด
เส้นโค้งของ f ของ f ดอท dr
และนี่อาจดู, คุณก็รู้, นี่มัน
ดูนามธรรมมากเลยนะ ซาล
เราจะคำนวณอะไรแบบนี้จริง ๆ ได้ไง?
ได้สิ เพราะเรามีทุกอย่างเขียนได้
ในรูปของ t
แล้วเราจะได้นี่ในรูปของ t ได้อย่างไร?
และหากคุณคิดดูดี ๆ, f ดอท r คืออะไร?
หรือ f ดอท dr คืออะไร?
ที่จริง, ในการตอบคำถามนั้น, ลองนึกดูว่า
dr เป็นอย่างไร
หากคุณจำได้, dr/dt เท่ากับ x ไพรม์ของ t, ผมจะเขียน
มันเเป็น, ผมสามารถเขียน dx dt หากผมต้องการ, คูณ
เวกเตอร์หน่วย i, บวก y ไพรม์ของ t, คูณเวกเตอร์หน่วย j
และหากเราอยากได้ dr, เราก็คูณทั้งสองข้าง
หากเราเล่นกลสักหน่อยกับ
ดิฟเฟอเรนเชียล, ไม่เข้มงวดเกินไป
เราจะได้ dr เท่ากับ x ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย
i บวก y ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j
คุณดิฟเฟอเรนเชียล dt
งั้นนี่คือ dr ตรงนี้
-
และจำไว้ว่าสนามเวกเตอร์เราคืออะไร
มันคือสิ่งนี้บนนี้
ขอผมลอกและแปะไว้ตรงนี้นะ
เราจะเห็นเองว่าดอทโปรดัค
ไม่ได้แย่นัก
งั้นลอก, และขอผมแปะมันข้างล่างตรงนี้นะ
-
แล้วอินทิกรัลนี้จะออกมาเป็นอย่างไร?
อินทิกรัลนี่ตรงนี้, นั่นบอกงานรวมที่ทำโดย
สนาม, ต่ออนุภาค, เมื่อมันเคลื่อนที่ตามเส้นทางนั่น
แค่หลักพื้นฐานถึงฟิสิกส์จริง ๆ
ที่คุณอาจต้องทำในที่สุด
คุณอาจบอกว่า, โอ้
มันจะต้องเป็นอินทิกรัล, สมมุติว่าจาก t เท่ากับ
a ถึง t เท่ากับ b
จริงไหม? a คือตอนที่เราเริ่มต้น, t เท่ากับ
a ถึง t เท่ากับ b
คุณอาจนึกว่ามันคือเวลา, เมื่ออนุภาค
เคลื่อนที่, เวลาก็เริ่มเดิน
แล้ว f ดอท dr คืออะไร?
ทีนี้, หากคุณจำไว้ว่าดอทโปรดัคคืออะไร, คุณก็
แค่หาผลคูณระหว่างองค์ประกอบ
คู่กันของเวกเตอร์ แล้วจับมันรวมกัน
ดังนั้น นี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก t เท่ากับ a ถึง t
เท่ากับ b, ของ p ของ p ของ x, ที่จริง แทนที่จะเขียน x,
y, มันคือ x ของ t, จริงไหม? x เป็นฟังก์ชันของ t, y เป็น
ฟังก์ชันของ t
เลยเป็นแบบนั้น
คูณด้วยสิ่งนี่ตรงนี้, คูณองค์ประกอบนี้, จริงไหม?
เรากำลังคูณองค์ประกอบ i อยู่
งั้นคูณ x ไพรม์ของ t d t, แล้วก็บวก, เราจะ
ทำเหมือนกันกับฟังก์ชัน q
ดังนั้นนี่คือ q บวก, ผมจะไปอีกบรรทัดนึงนะ
หวังว่าคุณคงรู้ว่าผมยังเขียนต่ออยู่
แต่ผมไม่มีที่แล้ว
บวก q ของ x ของ t, y ของ t, คูณองค์ประกอบของ dr เรา
คูณองค์ประกอบ y, หรือ องค์ประกอบ j
y ไพรม์ของ t dt
แล้วก็เสร็จ!
เสร็จแล้ว
นี่อาจดูนามธรรมไปหน่อย, แต่เราจะ
เห็นในวิดีโอหน้า, ว่าทุกอย่างตอนนี้อยู่ในรูปของ
t, นี่ก็จะเป็นการอินทิเกรตตรง ๆ
เทียบกับ dt
หากเราต้องการ, เราสามารถเอา dt ออกจากสมการ
และมันจะอยู่ปกติกว่าเดิม
แต่ที่สุดแล้วนี่คือทั้งหมดที่เราต้องทำ
และเราจะดูตัวอย่างจริง ๆ ในการหา
อินทิกรัลเส้นตามสนามเวกเตอร์, หรือใช้ฟังก์ชัน
เวกเตอร์นี้, ในวิดีโอหน้า
-