1
00:00:00,000 --> 00:00:00,330
-

2
00:00:00,330 --> 00:00:03,110
หนึ่งในแนวคิดที่พื้นฐานที่สุดอย่างนึงในฟิสิกส์

3
00:00:03,110 --> 00:00:05,385
คือ แนวคิดเรื่องงาน

4
00:00:05,385 --> 00:00:08,450
ทีนี้, ตอนคุณเรียนเรื่องงานครั้งแรก, คุณอาจบอกว่า, โอ้

5
00:00:08,450 --> 00:00:10,120
นั่นก็แค่แรงคูณระยะทาง

6
00:00:10,120 --> 00:00:12,200
แต่แล้วต่อมา, ตอนคุณเรียนอีกหน่อยเรื่อง

7
00:00:12,200 --> 00:00:14,770
เวกเตอร์, คุณก็รู้ว่าแรงไม่จำเป็นต้อง

8
00:00:14,770 --> 00:00:17,610
มีทิศทางเดียวกับการกระจัด

9
00:00:17,610 --> 00:00:21,450
คุณก็เลยรู้ว่า งาน มีแค่ขนาด, ขอผมเขียนลงไป

10
00:00:21,450 --> 00:00:33,070
ตรงนี้นะ, ขนาดของแรง, ในทิศ,

11
00:00:33,070 --> 00:00:39,460
หรือองค์ประกอบของแรงในทิศ

12
00:00:39,460 --> 00:00:41,740
ของการกระจัด

13
00:00:41,740 --> 00:00:44,206
การกระจัดก็คือระยะทางที่มีทิศด้วย

14
00:00:44,206 --> 00:00:49,970
-

15
00:00:49,970 --> 00:00:55,290
คูณขนาดของการกระจัด, หรือคุณบอกว่า

16
00:00:55,290 --> 00:00:56,695
คูณระยะที่มันเลื่อนไป

17
00:00:56,695 --> 00:01:00,810
-

18
00:01:00,810 --> 00:01:02,330
และตัวอย่างคลาสสิค

19
00:01:02,330 --> 00:01:06,250
บางทีคุณอาจมีก้อนน้ำแข็ง, หรือก้อนหินสักอย่าง

20
00:01:06,250 --> 00:01:08,740
เป็นน้ำแข็งจะได้ไม่มีแรงเสียดทานมากนัก

21
00:01:08,740 --> 00:01:12,510
บางทีมันอาจอยู่บนทะเลสาบที่ใหญ่กว่า หรือน้ำแข็งอะไรสักอย่าง

22
00:01:12,510 --> 00:01:15,030
บางทีคุณอาจดึงก้อนน้ำแข็งนั่นเป็นมุมค่านึง

23
00:01:15,030 --> 00:01:17,610
สมมุติว่า คุณกำลังดึงมันเป็นมุมแบบนั้น

24
00:01:17,610 --> 00:01:20,820
นั่นคือแรงของผม, ตรงนี้

25
00:01:20,820 --> 00:01:24,080
สมมุติว่าแรงผมเท่ากับ -- ทีนี้, นั่นคือ

26
00:01:24,080 --> 00:01:25,160
เวกเตอร์แรงผม

27
00:01:25,160 --> 00:01:33,870
สมมุติว่าขนาดของเวกเตอร์แรง, สมมุติว่า

28
00:01:33,870 --> 00:01:35,310
มันคือ 10 นิวตัน

29
00:01:35,310 --> 00:01:37,650
สมมุติว่าทิศของเวกเตอร์แรง, ตรงนี้,

30
00:01:37,650 --> 00:01:41,080
เวกเตอร์ใด ๆ ต้องมีทั้งขนาดและทิศ, และทิศ

31
00:01:41,080 --> 00:01:44,920
สมมุติมันทำมุม 30 องศา, สมมุติว่า

32
00:01:44,920 --> 00:01:47,770
มุม, 60 องศา, เหนือแกนนอน

33
00:01:47,770 --> 00:01:49,560
ดังนั้นนั่นคือทิศที่ผมกำลังดึง

34
00:01:49,560 --> 00:01:52,600
สมมุติว่าผมเลื่อนมันไป

35
00:01:52,600 --> 00:01:55,930
หวังว่านี่เป็นการทบทวนนะ

36
00:01:55,930 --> 00:01:59,225
หากคุณเลื่อนมัน, สมมุติว่าคุณเลื่อนมันไป 5 นิวตัน

37
00:01:59,225 --> 00:02:02,570
สมมุติว่าการกระจัด, นั่นคือเวกเตอร์การกระจัด

38
00:02:02,570 --> 00:02:10,290
ตรงนี้, และขนาดของมันเท่ากับ 5 เมตร

39
00:02:10,290 --> 00:02:13,460
คุณก็รู้จากนิยามของแรงแล้ว, คุณไม่อาจ

40
00:02:13,460 --> 00:02:16,940
บอกว่า, โอ้, ผมกำลังดึงด้วยแรง 10 นิวตัน และ

41
00:02:16,940 --> 00:02:18,360
ผมกำลังเคลื่อนไป 5 เมตร

42
00:02:18,360 --> 00:02:22,560
คุณไม่สามารถคูณ 10 นิวตันด้วยระยะ 5 เมตรได้

43
00:02:22,560 --> 00:02:25,660
คุณต้องหาขนาดขององค์ประกอบ

44
00:02:25,660 --> 00:02:29,050
ที่อยู่ในทิศเดียวกับการกระจัด

45
00:02:29,050 --> 00:02:31,860
ดังนั้นสิ่งที่ผมจำเป็นต้องทำคือ, ความยาว, หากคุณ

46
00:02:31,860 --> 00:02:34,930
นึกถึงความยาวของเวกเตอร์นี้เป็น 10, นั่นก็คือ

47
00:02:34,930 --> 00:02:37,750
แรงลัพธ์, แต่คุณต้องหาความยาว

48
00:02:37,750 --> 00:02:40,770
ของเวกเตอร์, นั่นคือองค์ประกอบของแรง, จะได้มีทิศ

49
00:02:40,770 --> 00:02:43,460
เดียวกับการกระจัดผม

50
00:02:43,460 --> 00:02:45,570
และด้วยตรีโกณมิติง่าย ๆ, คุณก็รู้ว่า

51
00:02:45,570 --> 00:02:53,120
นี่คือ 10 คูณโคไซน์ของ 60 องศา, หรือนั่นเท่ากับ

52
00:02:53,120 --> 00:02:58,010
โคไซน์ของ 60 องศา คือ 1/2, นั่นจะเท่ากับ 5

53
00:02:58,010 --> 00:03:00,380
ดังนั้นขนาดนี่, ขนาดของแรง

54
00:03:00,380 --> 00:03:02,410
ไปในทิศเดียวกับการกระจัดในกรณีนี้

55
00:03:02,410 --> 00:03:04,810
คือ 5 นิวตัน

56
00:03:04,810 --> 00:03:07,500
-

57
00:03:07,500 --> 00:03:09,850
แล้วคุณก็หางานได้แล้ว

58
00:03:09,850 --> 00:03:19,560
คุณอาจบอกว่า งานเท่ากับ 5 นิวตัน คูณ, ผมจะ

59
00:03:19,560 --> 00:03:20,630
เขียนจุดแทนการคูณนะ

60
00:03:20,630 --> 00:03:22,290
ผมไม่อยากให้คุณคิดว่ามันคือ ครอสโปรดัก

61
00:03:22,290 --> 00:03:26,680
คูณ 5 เมตร, ซึ่งก็คือ 25 นิวตันเมตร, หรือคุณอาจ

62
00:03:26,680 --> 00:03:31,250
บอกว่า 25 จูล เป็นงานที่ทำไป

63
00:03:31,250 --> 00:03:35,280
และนี่คือการทบทวนฟิสิกส์พื้นฐานทั่วไป

64
00:03:35,280 --> 00:03:36,720
แต่ลองคิดว่าเกิดอะไรขึ้นบ้างตรงนี้

65
00:03:36,720 --> 00:03:37,430
งานคืออะไร?

66
00:03:37,430 --> 00:03:39,190
หากผมเขียนในรูปนามธรรม

67
00:03:39,190 --> 00:03:42,550
งานเท่ากับ 5 นิวตัน

68
00:03:42,550 --> 00:03:46,700
นั่นคือขนาดของเวกเตอร์แรง, ดังนั้นมัน

69
00:03:46,700 --> 00:03:52,630
คือขนาดของเวกเตอร์แรงผม, คูณโคไซน์ของมุมนี้

70
00:03:52,630 --> 00:03:53,860
คุณก็รู้, เรียกมันว่าเทต้าแล้วกัน

71
00:03:53,860 --> 00:03:55,010
สมมุติว่ามันทั่ว ๆ ไปแล้วกัน

72
00:03:55,010 --> 00:03:58,150
คูณกับโคไซน์ของมุม

73
00:03:58,150 --> 00:04:01,740
นี่คือปริมาณของแรงในทิศของ

74
00:04:01,740 --> 00:04:04,960
การกระจัด, โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน, คูณ

75
00:04:04,960 --> 00:04:06,800
ขนาดของการกระจัด

76
00:04:06,800 --> 00:04:12,260
งั้นคูณขนาดของการกระจัด

77
00:04:12,260 --> 00:04:15,560
หรือหากผมอยากเขียนมันใหม่, ผมก็เขียนมันเป็น,

78
00:04:15,560 --> 00:04:18,940
ขนาดของการกระจัด คูณ ขนาดของแรง

79
00:04:18,940 --> 00:04:23,400
คูณโคไซน์ของเทต้า

80
00:04:23,400 --> 00:04:26,760
และผมทำวิดีโอหลายอันเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว, ในรายการพีชคณิตเชิงเส้น

81
00:04:26,760 --> 00:04:28,880
ในรายการฟิสิกส์, โดยผมพูดถึง

82
00:04:28,880 --> 00:04:31,580
ดอทโปรดัคและครอสโปรดัค อะไรพวกนั้น, แต่

83
00:04:31,580 --> 00:04:40,470
นี่คือดอทโปรดัคของเวกเตอร์ d กับ f

84
00:04:40,470 --> 00:04:43,700
งั้นโดยทั่วไป, หากคุณพยายามหางานของการกระจัด

85
00:04:43,700 --> 00:04:46,730
คงที่, และคุณมีแรงคงที่, คุณก็แค่

86
00:04:46,730 --> 00:04:48,530
หาดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวนั้น

87
00:04:48,530 --> 00:04:51,330
และหากดอทโปรดัคเป็นเรื่องไม่คุ้นเคยสำหรับ

88
00:04:51,330 --> 00:04:53,770
คุณ, คุณอาจอยากไปดู, ผมว่าผมทำไว้หลายอัน, วิดีโอ

89
00:04:53,770 --> 00:04:56,380
4 หรือ 5 อันเกี่ยวกับดอทโปรดัค, และสัญชาตญาณ,

90
00:04:56,380 --> 00:04:57,420
ว่ามันต่างกันยังไง

91
00:04:57,420 --> 00:04:59,280
แต่เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณนิดหน่อยตอนนี้

92
00:04:59,280 --> 00:05:03,920
ดอทโปรดัค, ตอนผมเอา f ดอท d, หรือ d ดอท f,

93
00:05:03,920 --> 00:05:08,440
สิ่งที่มันให้ผมคือ, ผมกำลังคูณขนาด,

94
00:05:08,440 --> 00:05:10,130
อันนั้นผมแค่อ่านนี่ออกมา

95
00:05:10,130 --> 00:05:13,590
แต่แนวคิดของดอทโปรดัคคือ, เอาปริมาณ

96
00:05:13,590 --> 00:05:16,800
ของเวกเตอร์ในทิศเดียวกับเวกเตอร์นี้ออกมา,

97
00:05:16,800 --> 00:05:18,500
ในกรณีนี้, ก็คือเท่านี้

98
00:05:18,500 --> 00:05:21,110
แล้วคูณด้วยขนาดทั้งสอง

99
00:05:21,110 --> 00:05:22,410
และนั่นคือสิ่งที่เราทำไปตรงนี้

100
00:05:22,410 --> 00:05:26,230
ดังนั้นงานจะเท่ากับเวกเตอร์แรง, ดอท, เอา

101
00:05:26,230 --> 00:05:28,980
ส่วนดอทของเวกเตอร์แรง กับเวกเตอร์การกระจัด,

102
00:05:28,980 --> 00:05:30,840
และนี่, แน่นอน, มีค่าเป็นสเกลาร์

103
00:05:30,840 --> 00:05:33,040
และเราจะทำตัวอย่างในอนาคต

104
00:05:33,040 --> 00:05:34,360
ให้คุณเห็นว่ามันเป็นจริง

105
00:05:34,360 --> 00:05:39,000
ดังนั้นนี่คือการทบทวนฟิสิกส์เบื้องต้นจริง ๆ

106
00:05:39,000 --> 00:05:42,500
ทีนี้ ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น, แต่มันยัง

107
00:05:42,500 --> 00:05:43,670
คิดเหมือนเดิม

108
00:05:43,670 --> 00:05:45,873
ลองนิยามสนามเวกเตอร์ขึ้นมา

109
00:05:45,873 --> 00:05:48,660
-

110
00:05:48,660 --> 00:05:51,371
งั้นสมมุติว่าผมมีสนามเวกเตอร์ f, และเรา

111
00:05:51,371 --> 00:05:54,050
จะคิดว่ามันหมายถึงอะไรในไม่ช้า

112
00:05:54,050 --> 00:05:58,890
มันคือฟังก์ชันของ x กับ y, และมันเท่ากับสเกลาร์ฟังก์ชัน

113
00:05:58,890 --> 00:06:04,490
ของ x กับ y คูณเวกเตอร์หน่วย i, หรือ

114
00:06:04,490 --> 00:06:08,760
เวกเตอร์หน่วยตามแนวราบ, บวกฟังก์ชันอีกอัน, ฟังก์ชัน

115
00:06:08,760 --> 00:06:14,250
สเกลาร์ของ x กับ y, คูณเวกเตอร์หน่วยตามแนวดิ่ง

116
00:06:14,250 --> 00:06:15,580
แล้วของแบบนี้จะเป็นยังไง?

117
00:06:15,580 --> 00:06:17,460
นี่คือสนามเวกเตอร์

118
00:06:17,460 --> 00:06:20,210
นี่คือสนามเวกเตอร์ในสเปซ 2 มิติ

119
00:06:20,210 --> 00:06:21,330
เราอยู่ในระนาบ x-y

120
00:06:21,330 --> 00:06:31,190
-

121
00:06:31,190 --> 00:06:35,840
หรือคุณอาจเรียกมันว่า R2

122
00:06:35,840 --> 00:06:37,690
ไม่ว่ายังไง, ผมไม่อยากพูดถึง

123
00:06:37,690 --> 00:06:39,230
คณิตศาสตร์ในนั้นเกินไป

124
00:06:39,230 --> 00:06:40,590
แต่นี่จะทำอะไร?

125
00:06:40,590 --> 00:06:47,270
เอาล่ะ, หากผมวาดระนาบ x-y, โดยที่นั่นคือ,

126
00:06:47,270 --> 00:06:49,070
ผมมีปัญหาเรื่องวาดเส้นตรงอีกแล้ว

127
00:06:49,070 --> 00:06:50,610
เอาล่ะ, ได้แล้ว

128
00:06:50,610 --> 00:06:54,050
นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน x ผม

129
00:06:54,050 --> 00:06:56,360
ผมแค่วาดจตุภาคแรก, แต่คุณอาจวาด

130
00:06:56,360 --> 00:06:59,450
ไปเป็นลบในอีกทางนึงก็ได้ถ้าต้องการ

131
00:06:59,450 --> 00:07:01,260
แล้วสิ่งนี้จะทำอะไร?

132
00:07:01,260 --> 00:07:02,350
มันกำลังบอกว่า, ลองดู

133
00:07:02,350 --> 00:07:06,800
คุณบอกค่า x กับ y ใด ๆ กับผม คุณบอกค่า x,y ใด ๆ บนระนาบ x-y

134
00:07:06,800 --> 00:07:09,970
และพวกนี้จะออกมาเป็นตัวเลข, จริงไหม?

135
00:07:09,970 --> 00:07:12,655
เมื่อคุณใส่ x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง,

136
00:07:12,655 --> 00:07:14,310
ตอนคุณแทน x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง

137
00:07:14,310 --> 00:07:16,980
คุณจะได้ส่วนผสมของเวกเตอร์หน่วย

138
00:07:16,980 --> 00:07:18,070
i กับ j

139
00:07:18,070 --> 00:07:19,770
งั้นคุณจะได้เวกเตอร์สักตัว

140
00:07:19,770 --> 00:07:23,020
และสิ่งที่นี่ทำ, มันจะนิยามเวกเตอร์ที่คู่

141
00:07:23,020 --> 00:07:24,810
กับจุดทุกจัดบนระนาบ x-y

142
00:07:24,810 --> 00:07:28,780
ผมอาจบอกได้ว่า, หากผมเอาจุดนี้บนระนาบ x-y มา,

143
00:07:28,780 --> 00:07:32,480
และผมเลือกมันมาไว้นี่, ผมจะได้บางสิ่งคูณ i บวก

144
00:07:32,480 --> 00:07:34,730
บางสิ่งคูณ j, และเมื่อคุณบวกสองอย่างเข้า, เราจะได้

145
00:07:34,730 --> 00:07:37,130
เวกเตอร์ที่ออกมาเป็นแบบนี้

146
00:07:37,130 --> 00:07:38,100
และคุณทำได้กับทุกจุด

147
00:07:38,100 --> 00:07:39,190
ผมแค่เลือกตัวอย่างขึ้นมามั่ว ๆ

148
00:07:39,190 --> 00:07:41,420
บางทีตอนผมมาตรงนี้, เวกเตอร์ดู

149
00:07:41,420 --> 00:07:42,280
หน้าตาแบบนี้

150
00:07:42,280 --> 00:07:44,910
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์หน้าตาเป็นแบบนี้

151
00:07:44,910 --> 00:07:47,560
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์เป็นแบบนี้

152
00:07:47,560 --> 00:07:50,350
และบางทีตอนผมไปถึงตรงนี้, เวกเตอร์ไปแบบนั้น

153
00:07:50,350 --> 00:07:52,320
ผมแค่เลือกจุดขึ้นมาสุ่ม ๆ

154
00:07:52,320 --> 00:07:57,090
มันจะตั้งเวกเตอร์บนพิกัด x, y ทั้งหมด โดย

155
00:07:57,090 --> 00:08:00,920
ฟังก์ชันสเกลาร์พวกนี้ถูกนิยามไว้ชัดเจน

156
00:08:00,920 --> 00:08:02,370
และนั่นคือสาเหตุที่มันถูกเรียกว่า สนามเวกเตอร์

157
00:08:02,370 --> 00:08:06,580
มันนิ่ยามสิ่งที่ แรงศักย์ จะเป็น,

158
00:08:06,580 --> 00:08:11,430
หรือแรงประเภทอื่น ๆ, ณ จุดใด ๆ

159
00:08:11,430 --> 00:08:14,350
ที่จุดใด ๆ, หากคุณมีอะไรสักอย่างตรงนั้น

160
00:08:14,350 --> 00:08:15,900
บางทีนั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชันเป็น

161
00:08:15,900 --> 00:08:17,750
ผมสามารถทำแบบนี้ไปตลอด,

162
00:08:17,750 --> 00:08:18,790
และเติมเต็มที่ว่างทั้งหมด

163
00:08:18,790 --> 00:08:19,660
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว

164
00:08:19,660 --> 00:08:24,790
มันจับคู่เวกเตอร์เข้ากับทุกจุดบนระนาบ x-y

165
00:08:24,790 --> 00:08:29,010
ทีนี้, นี่เรียกว่าสนามเวกเตอร์, ดังนั้นก็เข้าใจได้

166
00:08:29,010 --> 00:08:30,950
ว่านี่สามารถใช้บรรยาย

167
00:08:30,950 --> 00:08:31,870
สนามได้ทุกประเภท

168
00:08:31,870 --> 00:08:33,410
มันอาจเป็นสนามโน้มถ่วงก็ได้

169
00:08:33,410 --> 00:08:36,840
มันอาจเป็นสนามไฟฟ้า, อาจเป็นสนามเหล็ก

170
00:08:36,840 --> 00:08:39,630
และนี่อาจบอกคุณว่ามีแรง

171
00:08:39,630 --> 00:08:43,190
กระทำต่ออนุภาคในสนามนั้นเท่าไหร่

172
00:08:43,190 --> 00:08:44,660
นั่นคือสิ่งนี้กำลังบรรยายอยู่

173
00:08:44,660 --> 00:08:48,950
ตอนนี้, สมมุติว่าในสนามนี้, ผมมีอนุภาค

174
00:08:48,950 --> 00:08:51,610
เคลื่อนที่ไปในระนาบ x-y

175
00:08:51,610 --> 00:08:58,620
สมมุติว่ามันเริ่มตรงนี้, และเนื่องจากแรงเพี้ยน ๆ พวกนี้

176
00:08:58,620 --> 00:09:03,850
กระทำต่อมัน, หรือบางทีมันอยู่ในราง

177
00:09:03,850 --> 00:09:06,900
หรืออะไรสักอย่าง, มันไม่ต้องเคลื่อนที่ไป

178
00:09:06,900 --> 00:09:09,360
ตามทิศของสนามที่กระทำต่อมันเสมอไป

179
00:09:09,360 --> 00:09:14,030
สมมุติว่ามันเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่เคลื่อนไปแบบนี้

180
00:09:14,030 --> 00:09:17,710
สมมุติว่าเส้นทางนี้, หรือเส้นโค้งนี้, บรรยายได้

181
00:09:17,710 --> 00:09:22,010
ด้วยฟังก์ชันเวกเตอร์ตำแหน่ง

182
00:09:22,010 --> 00:09:25,150
งั้นสมมุติว่านั่นนิยามด้วย r ของ t, หรือก็

183
00:09:25,150 --> 00:09:33,780
คือ x ของ t คูณ i บวก y ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

184
00:09:33,780 --> 00:09:35,130
นั่นคือ r ของ t ตรงนี้

185
00:09:35,130 --> 00:09:37,730
ทีนี้, ในการทำให้นี่เป็นเส้นทางจำกัด, มันจะเป็น

186
00:09:37,730 --> 00:09:42,370
เช่นนั้นก่อน t มากกว่าเท่ากับ a, และน้อยกว่า

187
00:09:42,370 --> 00:09:45,640
เท่ากับ b

188
00:09:45,640 --> 00:09:47,830
นี่คือเส้นทางที่อนุภาคจะ

189
00:09:47,830 --> 00:09:50,370
เคลื่อนไป, เนื่องจากแรงพวกนี้

190
00:09:50,370 --> 00:09:54,270
เมื่ออนุภาคอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์

191
00:09:54,270 --> 00:09:56,960
ที่กระทำต่อมัน, บางทีมันอาจให้แรงแบบนั้น

192
00:09:56,960 --> 00:09:59,520
แต่เนื่องจากสิ่งนี้อยู่บนรางสักอย่าง, มันจะ

193
00:09:59,520 --> 00:10:00,400
เคลื่อนที่ไปในทิศนั้น

194
00:10:00,400 --> 00:10:03,830
แล้วเมื่อมันอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์เป็นแบบนั้น,

195
00:10:03,830 --> 00:10:05,740
แต่มันเคลื่อนที่ไปอีกทิศนึง, เพราะมันอยู่

196
00:10:05,740 --> 00:10:06,940
บนรางสักอย่าง

197
00:10:06,940 --> 00:10:09,500
ตอนนี้, ทุกอย่างที่ผมทำมาในวิดีโอนี้ เพื่อตั้ง

198
00:10:09,500 --> 00:10:11,180
คำถามพื้น ๆ ข้อนึง

199
00:10:11,180 --> 00:10:13,910
นั่นคือ งานที่กระทำต่ออนุภาคโดยสนามนั้นเป็นเท่าไหร่?

200
00:10:13,910 --> 00:10:24,960
-

201
00:10:24,960 --> 00:10:28,620
เพื่อตอบคำถามนั้น, เราลองขยายเข้าไปหน่อย

202
00:10:28,620 --> 00:10:31,100
ผมจะขยายเข้าไปตรงส่วนเล็ก ๆ

203
00:10:31,100 --> 00:10:34,710
ของเส้นทางเรา

204
00:10:34,710 --> 00:10:38,010
และลองหาว่างานที่กระทำใน

205
00:10:38,010 --> 00:10:40,470
ช่วงเล็ก ๆ ของเส้นทาง, เพราะมันเปลี่ยนไปสม่ำเสมอ

206
00:10:40,470 --> 00:10:42,190
สนามมีทิศเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ

207
00:10:42,190 --> 00:10:43,630
วัตถุก็เปลี่ยนทิศไปเรื่อย ๆ

208
00:10:43,630 --> 00:10:47,780
งั้นสมมุติว่าตอนผมอยู่ตรงนี้, สมมุติว่าผมเคลื่อนที่

209
00:10:47,780 --> 00:10:49,740
ไปได้นิดเดียวตามทาง

210
00:10:49,740 --> 00:10:55,860
สมมุติว่าผมเคลื่อนที่, นี่เป็น dr

211
00:10:55,860 --> 00:10:58,500
เล็กจิ๋ว, จริงไหม?

212
00:10:58,500 --> 00:11:00,810
ผมมีดิฟเฟอเรนเชียล, มันคือเวกเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียล, การ

213
00:11:00,810 --> 00:11:02,630
กระจัดเล็กจิ๋ว

214
00:11:02,630 --> 00:11:06,800
และสมมุติว่าตลอดช่วงนั้น, สนามเวกเตอร์

215
00:11:06,800 --> 00:11:08,840
กำลังกระทำกับพื้นที่ท้องถิ่นนี้, สมมุติว่ามัน

216
00:11:08,840 --> 00:11:10,480
หน้าตาแบบนั้น

217
00:11:10,480 --> 00:11:13,490
มันกำลังให้แรงที่ดูเป็นแบบนั้น

218
00:11:13,490 --> 00:11:16,640
ดังนั้นนั่นคือเวกเตอร์สนามในพื้นที่นั้น, หรือแรง

219
00:11:16,640 --> 00:11:18,750
ชี้ไปยังอนุภาคตรงนี้มันอยู่ ณ จุดนั้น

220
00:11:18,750 --> 00:11:18,870
จริงไหม?

221
00:11:18,870 --> 00:11:22,420
มันคือช่วงเล็กจิ๋วในสเปซ

222
00:11:22,420 --> 00:11:24,440
คุณอาจบอกว่า, โอเค, ตลอดช่วงเล็กจิ๋วนั่น, เรา

223
00:11:24,440 --> 00:11:26,600
บอกว่านี่เป็นแรงคงที่

224
00:11:26,600 --> 00:11:29,790
งานที่ทำตลอดช่วงเวลาสั้น ๆ นี้เป็นเท่าไหร่?

225
00:11:29,790 --> 00:11:32,330
คุณก็บอกว่า, งานช่วงเล็ก ๆ คืออะไร?

226
00:11:32,330 --> 00:11:36,120
คุณอาจบอกว่า d งาน, หรือดิฟเฟอเรนเชียลของงาน

227
00:11:36,120 --> 00:11:38,940
ด้วยตรรกะเดียวกันที่เราทำกับโจทย์ง่าย ๆ

228
00:11:38,940 --> 00:11:43,810
มันคือขนาดของแรงในทิศของ

229
00:11:43,810 --> 00:11:48,550
การกระจัดคูณขนาดของการกระจัด

230
00:11:48,550 --> 00:11:52,800
และเรารู้ว่ามันคืออะไร, จากตัวอย่างข้างบนนี้

231
00:11:52,800 --> 00:11:54,810
นั่นคือดอทโปรดัค

232
00:11:54,810 --> 00:11:58,340
มันคือดอทโปรดัคของแรงกับการกระจัดเล็กจิ๋ว

233
00:11:58,340 --> 00:11:59,480
ของเรา

234
00:11:59,480 --> 00:12:07,860
ดังนั้นมันเท่ากับดอทโปรดัคของแรงเรากับ

235
00:12:07,860 --> 00:12:09,870
การกระจัดเล็กจิ๋ว

236
00:12:09,870 --> 00:12:13,240
ทีนี้, ด้วยการทำเช่นนี้, เราเพิ่งหาได้ว่างาน

237
00:12:13,240 --> 00:12:16,440
ตลอดช่วง dr ที่เล็กสุด ๆๆๆ ไป แต่

238
00:12:16,440 --> 00:12:18,820
ที่เราอยากทำคือ เราอยากรวมพวกมันเข้า

239
00:12:18,820 --> 00:12:21,870
เราอยากรวม dr ทั้งหมดเพื่อหา f ดอท

240
00:12:21,870 --> 00:12:25,090
dr ทั้งหมด เพื่อหางานลัพธ์

241
00:12:25,090 --> 00:12:27,510
และนั่นคือที่ที่อินทิกรัลเข้ามา

242
00:12:27,510 --> 00:12:32,570
เราจะหาอินทิกรัลเส้นตลอด -- ผมหมายถึง, คุณอาจ

243
00:12:32,570 --> 00:12:33,910
คิดได้สองแบบ

244
00:12:33,910 --> 00:12:37,440
คุณอาจเขียน d ดอท w ตรงนี้, แต่เราอาจบอกว่า, เราจะ

245
00:12:37,440 --> 00:12:42,700
หาอินทิกรัลเส้นตลอดเส้นโค้ง c นี่, เรียกมันว่า c

246
00:12:42,700 --> 00:12:46,410
หรือตาม r, อะไรก็ได้ที่คุณอยากเรียก, ของ dw

247
00:12:46,410 --> 00:12:47,800
นั่นจะให้งานรวมกับเรา

248
00:12:47,800 --> 00:12:49,500
งั้นสมมุติว่า, งานเท่ากับอันนั้น

249
00:12:49,500 --> 00:12:54,040
หรือเราอาจเขียนมันตลอดอินทิกรัล, ตลอด

250
00:12:54,040 --> 00:13:00,500
เส้นโค้งของ f ของ f ดอท dr

251
00:13:00,500 --> 00:13:03,580
และนี่อาจดู, คุณก็รู้, นี่มัน

252
00:13:03,580 --> 00:13:05,120
ดูนามธรรมมากเลยนะ ซาล

253
00:13:05,120 --> 00:13:09,220
เราจะคำนวณอะไรแบบนี้จริง ๆ ได้ไง?

254
00:13:09,220 --> 00:13:13,130
ได้สิ เพราะเรามีทุกอย่างเขียนได้

255
00:13:13,130 --> 00:13:14,030
ในรูปของ t

256
00:13:14,030 --> 00:13:16,130
แล้วเราจะได้นี่ในรูปของ t ได้อย่างไร?

257
00:13:16,130 --> 00:13:19,710
และหากคุณคิดดูดี ๆ, f ดอท r คืออะไร?

258
00:13:19,710 --> 00:13:21,030
หรือ f ดอท dr คืออะไร?

259
00:13:21,030 --> 00:13:23,300
ที่จริง, ในการตอบคำถามนั้น, ลองนึกดูว่า

260
00:13:23,300 --> 00:13:25,830
dr เป็นอย่างไร

261
00:13:25,830 --> 00:13:36,200
หากคุณจำได้, dr/dt เท่ากับ x ไพรม์ของ t, ผมจะเขียน

262
00:13:36,200 --> 00:13:39,120
มันเเป็น, ผมสามารถเขียน dx dt หากผมต้องการ, คูณ

263
00:13:39,120 --> 00:13:45,180
เวกเตอร์หน่วย i, บวก y ไพรม์ของ t, คูณเวกเตอร์หน่วย j

264
00:13:45,180 --> 00:13:49,320
และหากเราอยากได้ dr, เราก็คูณทั้งสองข้าง

265
00:13:49,320 --> 00:13:51,850
หากเราเล่นกลสักหน่อยกับ

266
00:13:51,850 --> 00:13:53,470
ดิฟเฟอเรนเชียล, ไม่เข้มงวดเกินไป

267
00:13:53,470 --> 00:13:58,480
เราจะได้ dr เท่ากับ x ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย

268
00:13:58,480 --> 00:14:05,070
i บวก y ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

269
00:14:05,070 --> 00:14:07,280
คุณดิฟเฟอเรนเชียล dt

270
00:14:07,280 --> 00:14:09,070
งั้นนี่คือ dr ตรงนี้

271
00:14:09,070 --> 00:14:12,110
-

272
00:14:12,110 --> 00:14:16,280
และจำไว้ว่าสนามเวกเตอร์เราคืออะไร

273
00:14:16,280 --> 00:14:17,440
มันคือสิ่งนี้บนนี้

274
00:14:17,440 --> 00:14:19,590
ขอผมลอกและแปะไว้ตรงนี้นะ

275
00:14:19,590 --> 00:14:21,030
เราจะเห็นเองว่าดอทโปรดัค

276
00:14:21,030 --> 00:14:23,360
ไม่ได้แย่นัก

277
00:14:23,360 --> 00:14:26,710
งั้นลอก, และขอผมแปะมันข้างล่างตรงนี้นะ

278
00:14:26,710 --> 00:14:31,130
-

279
00:14:31,130 --> 00:14:33,820
แล้วอินทิกรัลนี้จะออกมาเป็นอย่างไร?

280
00:14:33,820 --> 00:14:37,600
อินทิกรัลนี่ตรงนี้, นั่นบอกงานรวมที่ทำโดย

281
00:14:37,600 --> 00:14:40,790
สนาม, ต่ออนุภาค, เมื่อมันเคลื่อนที่ตามเส้นทางนั่น

282
00:14:40,790 --> 00:14:44,090
แค่หลักพื้นฐานถึงฟิสิกส์จริง ๆ

283
00:14:44,090 --> 00:14:47,170
ที่คุณอาจต้องทำในที่สุด

284
00:14:47,170 --> 00:14:48,170
คุณอาจบอกว่า, โอ้

285
00:14:48,170 --> 00:14:52,420
มันจะต้องเป็นอินทิกรัล, สมมุติว่าจาก t เท่ากับ

286
00:14:52,420 --> 00:14:55,320
a ถึง t เท่ากับ b

287
00:14:55,320 --> 00:14:58,310
จริงไหม? a คือตอนที่เราเริ่มต้น, t เท่ากับ

288
00:14:58,310 --> 00:14:59,790
a ถึง t เท่ากับ b

289
00:14:59,790 --> 00:15:01,760
คุณอาจนึกว่ามันคือเวลา, เมื่ออนุภาค

290
00:15:01,760 --> 00:15:03,610
เคลื่อนที่, เวลาก็เริ่มเดิน

291
00:15:03,610 --> 00:15:07,000
แล้ว f ดอท dr คืออะไร?

292
00:15:07,000 --> 00:15:10,640
ทีนี้, หากคุณจำไว้ว่าดอทโปรดัคคืออะไร, คุณก็

293
00:15:10,640 --> 00:15:15,310
แค่หาผลคูณระหว่างองค์ประกอบ

294
00:15:15,310 --> 00:15:17,740
คู่กันของเวกเตอร์ แล้วจับมันรวมกัน

295
00:15:17,740 --> 00:15:20,070
ดังนั้น นี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก t เท่ากับ a ถึง t

296
00:15:20,070 --> 00:15:27,246
เท่ากับ b, ของ p ของ p ของ x, ที่จริง แทนที่จะเขียน x,

297
00:15:27,246 --> 00:15:30,740
y, มันคือ x ของ t, จริงไหม? x เป็นฟังก์ชันของ t, y เป็น

298
00:15:30,740 --> 00:15:32,350
ฟังก์ชันของ t

299
00:15:32,350 --> 00:15:33,690
เลยเป็นแบบนั้น

300
00:15:33,690 --> 00:15:37,600
คูณด้วยสิ่งนี่ตรงนี้, คูณองค์ประกอบนี้, จริงไหม?

301
00:15:37,600 --> 00:15:39,300
เรากำลังคูณองค์ประกอบ i อยู่

302
00:15:39,300 --> 00:15:50,650
งั้นคูณ x ไพรม์ของ t d t, แล้วก็บวก, เราจะ

303
00:15:50,650 --> 00:15:52,370
ทำเหมือนกันกับฟังก์ชัน q

304
00:15:52,370 --> 00:15:56,060
ดังนั้นนี่คือ q บวก, ผมจะไปอีกบรรทัดนึงนะ

305
00:15:56,060 --> 00:15:57,760
หวังว่าคุณคงรู้ว่าผมยังเขียนต่ออยู่

306
00:15:57,760 --> 00:15:59,020
แต่ผมไม่มีที่แล้ว

307
00:15:59,020 --> 00:16:09,960
บวก q ของ x ของ t, y ของ t, คูณองค์ประกอบของ dr เรา

308
00:16:09,960 --> 00:16:11,900
คูณองค์ประกอบ y, หรือ องค์ประกอบ j

309
00:16:11,900 --> 00:16:15,530
y ไพรม์ของ t dt

310
00:16:15,530 --> 00:16:16,620
แล้วก็เสร็จ!

311
00:16:16,620 --> 00:16:17,480
เสร็จแล้ว

312
00:16:17,480 --> 00:16:19,300
นี่อาจดูนามธรรมไปหน่อย, แต่เราจะ

313
00:16:19,300 --> 00:16:23,020
เห็นในวิดีโอหน้า, ว่าทุกอย่างตอนนี้อยู่ในรูปของ

314
00:16:23,020 --> 00:16:25,480
t, นี่ก็จะเป็นการอินทิเกรตตรง ๆ

315
00:16:25,480 --> 00:16:27,170
เทียบกับ dt

316
00:16:27,170 --> 00:16:30,150
หากเราต้องการ, เราสามารถเอา dt ออกจากสมการ

317
00:16:30,150 --> 00:16:32,270
และมันจะอยู่ปกติกว่าเดิม

318
00:16:32,270 --> 00:16:34,640
แต่ที่สุดแล้วนี่คือทั้งหมดที่เราต้องทำ

319
00:16:34,640 --> 00:16:38,080
และเราจะดูตัวอย่างจริง ๆ ในการหา

320
00:16:38,080 --> 00:16:43,230
อินทิกรัลเส้นตามสนามเวกเตอร์, หรือใช้ฟังก์ชัน

321
00:16:43,230 --> 00:16:45,790
เวกเตอร์นี้, ในวิดีโอหน้า

322
00:16:45,790 --> 00:16:46,000
-