WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.330
-

00:00:00.330 --> 00:00:03.110
หนึ่งในแนวคิดที่พื้นฐานที่สุดอย่างนึงในฟิสิกส์

00:00:03.110 --> 00:00:05.385
คือ แนวคิดเรื่องงาน

00:00:05.385 --> 00:00:08.450
ทีนี้, ตอนคุณเรียนเรื่องงานครั้งแรก, คุณอาจบอกว่า, โอ้

00:00:08.450 --> 00:00:10.120
นั่นก็แค่แรงคูณระยะทาง

00:00:10.120 --> 00:00:12.200
แต่แล้วต่อมา, ตอนคุณเรียนอีกหน่อยเรื่อง

00:00:12.200 --> 00:00:14.770
เวกเตอร์, คุณก็รู้ว่าแรงไม่จำเป็นต้อง

00:00:14.770 --> 00:00:17.610
มีทิศทางเดียวกับการกระจัด

00:00:17.610 --> 00:00:21.450
คุณก็เลยรู้ว่า งาน มีแค่ขนาด, ขอผมเขียนลงไป

00:00:21.450 --> 00:00:33.070
ตรงนี้นะ, ขนาดของแรง, ในทิศ,

00:00:33.070 --> 00:00:39.460
หรือองค์ประกอบของแรงในทิศ

00:00:39.460 --> 00:00:41.740
ของการกระจัด

00:00:41.740 --> 00:00:44.206
การกระจัดก็คือระยะทางที่มีทิศด้วย

00:00:44.206 --> 00:00:49.970
-

00:00:49.970 --> 00:00:55.290
คูณขนาดของการกระจัด, หรือคุณบอกว่า

00:00:55.290 --> 00:00:56.695
คูณระยะที่มันเลื่อนไป

00:00:56.695 --> 00:01:00.810
-

00:01:00.810 --> 00:01:02.330
และตัวอย่างคลาสสิค

00:01:02.330 --> 00:01:06.250
บางทีคุณอาจมีก้อนน้ำแข็ง, หรือก้อนหินสักอย่าง

00:01:06.250 --> 00:01:08.740
เป็นน้ำแข็งจะได้ไม่มีแรงเสียดทานมากนัก

00:01:08.740 --> 00:01:12.510
บางทีมันอาจอยู่บนทะเลสาบที่ใหญ่กว่า หรือน้ำแข็งอะไรสักอย่าง

00:01:12.510 --> 00:01:15.030
บางทีคุณอาจดึงก้อนน้ำแข็งนั่นเป็นมุมค่านึง

00:01:15.030 --> 00:01:17.610
สมมุติว่า คุณกำลังดึงมันเป็นมุมแบบนั้น

00:01:17.610 --> 00:01:20.820
นั่นคือแรงของผม, ตรงนี้

00:01:20.820 --> 00:01:24.080
สมมุติว่าแรงผมเท่ากับ -- ทีนี้, นั่นคือ

00:01:24.080 --> 00:01:25.160
เวกเตอร์แรงผม

00:01:25.160 --> 00:01:33.870
สมมุติว่าขนาดของเวกเตอร์แรง, สมมุติว่า

00:01:33.870 --> 00:01:35.310
มันคือ 10 นิวตัน

00:01:35.310 --> 00:01:37.650
สมมุติว่าทิศของเวกเตอร์แรง, ตรงนี้,

00:01:37.650 --> 00:01:41.080
เวกเตอร์ใด ๆ ต้องมีทั้งขนาดและทิศ, และทิศ

00:01:41.080 --> 00:01:44.920
สมมุติมันทำมุม 30 องศา, สมมุติว่า

00:01:44.920 --> 00:01:47.770
มุม, 60 องศา, เหนือแกนนอน

00:01:47.770 --> 00:01:49.560
ดังนั้นนั่นคือทิศที่ผมกำลังดึง

00:01:49.560 --> 00:01:52.600
สมมุติว่าผมเลื่อนมันไป

00:01:52.600 --> 00:01:55.930
หวังว่านี่เป็นการทบทวนนะ

00:01:55.930 --> 00:01:59.225
หากคุณเลื่อนมัน, สมมุติว่าคุณเลื่อนมันไป 5 นิวตัน

00:01:59.225 --> 00:02:02.570
สมมุติว่าการกระจัด, นั่นคือเวกเตอร์การกระจัด

00:02:02.570 --> 00:02:10.290
ตรงนี้, และขนาดของมันเท่ากับ 5 เมตร

00:02:10.290 --> 00:02:13.460
คุณก็รู้จากนิยามของแรงแล้ว, คุณไม่อาจ

00:02:13.460 --> 00:02:16.940
บอกว่า, โอ้, ผมกำลังดึงด้วยแรง 10 นิวตัน และ

00:02:16.940 --> 00:02:18.360
ผมกำลังเคลื่อนไป 5 เมตร

00:02:18.360 --> 00:02:22.560
คุณไม่สามารถคูณ 10 นิวตันด้วยระยะ 5 เมตรได้

00:02:22.560 --> 00:02:25.660
คุณต้องหาขนาดขององค์ประกอบ

00:02:25.660 --> 00:02:29.050
ที่อยู่ในทิศเดียวกับการกระจัด

00:02:29.050 --> 00:02:31.860
ดังนั้นสิ่งที่ผมจำเป็นต้องทำคือ, ความยาว, หากคุณ

00:02:31.860 --> 00:02:34.930
นึกถึงความยาวของเวกเตอร์นี้เป็น 10, นั่นก็คือ

00:02:34.930 --> 00:02:37.750
แรงลัพธ์, แต่คุณต้องหาความยาว

00:02:37.750 --> 00:02:40.770
ของเวกเตอร์, นั่นคือองค์ประกอบของแรง, จะได้มีทิศ

00:02:40.770 --> 00:02:43.460
เดียวกับการกระจัดผม

00:02:43.460 --> 00:02:45.570
และด้วยตรีโกณมิติง่าย ๆ, คุณก็รู้ว่า

00:02:45.570 --> 00:02:53.120
นี่คือ 10 คูณโคไซน์ของ 60 องศา, หรือนั่นเท่ากับ

00:02:53.120 --> 00:02:58.010
โคไซน์ของ 60 องศา คือ 1/2, นั่นจะเท่ากับ 5

00:02:58.010 --> 00:03:00.380
ดังนั้นขนาดนี่, ขนาดของแรง

00:03:00.380 --> 00:03:02.410
ไปในทิศเดียวกับการกระจัดในกรณีนี้

00:03:02.410 --> 00:03:04.810
คือ 5 นิวตัน

00:03:04.810 --> 00:03:07.500
-

00:03:07.500 --> 00:03:09.850
แล้วคุณก็หางานได้แล้ว

00:03:09.850 --> 00:03:19.560
คุณอาจบอกว่า งานเท่ากับ 5 นิวตัน คูณ, ผมจะ

00:03:19.560 --> 00:03:20.630
เขียนจุดแทนการคูณนะ

00:03:20.630 --> 00:03:22.290
ผมไม่อยากให้คุณคิดว่ามันคือ ครอสโปรดัก

00:03:22.290 --> 00:03:26.680
คูณ 5 เมตร, ซึ่งก็คือ 25 นิวตันเมตร, หรือคุณอาจ

00:03:26.680 --> 00:03:31.250
บอกว่า 25 จูล เป็นงานที่ทำไป

00:03:31.250 --> 00:03:35.280
และนี่คือการทบทวนฟิสิกส์พื้นฐานทั่วไป

00:03:35.280 --> 00:03:36.720
แต่ลองคิดว่าเกิดอะไรขึ้นบ้างตรงนี้

00:03:36.720 --> 00:03:37.430
งานคืออะไร?

00:03:37.430 --> 00:03:39.190
หากผมเขียนในรูปนามธรรม

00:03:39.190 --> 00:03:42.550
งานเท่ากับ 5 นิวตัน

00:03:42.550 --> 00:03:46.700
นั่นคือขนาดของเวกเตอร์แรง, ดังนั้นมัน

00:03:46.700 --> 00:03:52.630
คือขนาดของเวกเตอร์แรงผม, คูณโคไซน์ของมุมนี้

00:03:52.630 --> 00:03:53.860
คุณก็รู้, เรียกมันว่าเทต้าแล้วกัน

00:03:53.860 --> 00:03:55.010
สมมุติว่ามันทั่ว ๆ ไปแล้วกัน

00:03:55.010 --> 00:03:58.150
คูณกับโคไซน์ของมุม

00:03:58.150 --> 00:04:01.740
นี่คือปริมาณของแรงในทิศของ

00:04:01.740 --> 00:04:04.960
การกระจัด, โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน, คูณ

00:04:04.960 --> 00:04:06.800
ขนาดของการกระจัด

00:04:06.800 --> 00:04:12.260
งั้นคูณขนาดของการกระจัด

00:04:12.260 --> 00:04:15.560
หรือหากผมอยากเขียนมันใหม่, ผมก็เขียนมันเป็น,

00:04:15.560 --> 00:04:18.940
ขนาดของการกระจัด คูณ ขนาดของแรง

00:04:18.940 --> 00:04:23.400
คูณโคไซน์ของเทต้า

00:04:23.400 --> 00:04:26.760
และผมทำวิดีโอหลายอันเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว, ในรายการพีชคณิตเชิงเส้น

00:04:26.760 --> 00:04:28.880
ในรายการฟิสิกส์, โดยผมพูดถึง

00:04:28.880 --> 00:04:31.580
ดอทโปรดัคและครอสโปรดัค อะไรพวกนั้น, แต่

00:04:31.580 --> 00:04:40.470
นี่คือดอทโปรดัคของเวกเตอร์ d กับ f

00:04:40.470 --> 00:04:43.700
งั้นโดยทั่วไป, หากคุณพยายามหางานของการกระจัด

00:04:43.700 --> 00:04:46.730
คงที่, และคุณมีแรงคงที่, คุณก็แค่

00:04:46.730 --> 00:04:48.530
หาดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวนั้น

00:04:48.530 --> 00:04:51.330
และหากดอทโปรดัคเป็นเรื่องไม่คุ้นเคยสำหรับ

00:04:51.330 --> 00:04:53.770
คุณ, คุณอาจอยากไปดู, ผมว่าผมทำไว้หลายอัน, วิดีโอ

00:04:53.770 --> 00:04:56.380
4 หรือ 5 อันเกี่ยวกับดอทโปรดัค, และสัญชาตญาณ,

00:04:56.380 --> 00:04:57.420
ว่ามันต่างกันยังไง

00:04:57.420 --> 00:04:59.280
แต่เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณนิดหน่อยตอนนี้

00:04:59.280 --> 00:05:03.920
ดอทโปรดัค, ตอนผมเอา f ดอท d, หรือ d ดอท f,

00:05:03.920 --> 00:05:08.440
สิ่งที่มันให้ผมคือ, ผมกำลังคูณขนาด,

00:05:08.440 --> 00:05:10.130
อันนั้นผมแค่อ่านนี่ออกมา

00:05:10.130 --> 00:05:13.590
แต่แนวคิดของดอทโปรดัคคือ, เอาปริมาณ

00:05:13.590 --> 00:05:16.800
ของเวกเตอร์ในทิศเดียวกับเวกเตอร์นี้ออกมา,

00:05:16.800 --> 00:05:18.500
ในกรณีนี้, ก็คือเท่านี้

00:05:18.500 --> 00:05:21.110
แล้วคูณด้วยขนาดทั้งสอง

00:05:21.110 --> 00:05:22.410
และนั่นคือสิ่งที่เราทำไปตรงนี้

00:05:22.410 --> 00:05:26.230
ดังนั้นงานจะเท่ากับเวกเตอร์แรง, ดอท, เอา

00:05:26.230 --> 00:05:28.980
ส่วนดอทของเวกเตอร์แรง กับเวกเตอร์การกระจัด,

00:05:28.980 --> 00:05:30.840
และนี่, แน่นอน, มีค่าเป็นสเกลาร์

00:05:30.840 --> 00:05:33.040
และเราจะทำตัวอย่างในอนาคต

00:05:33.040 --> 00:05:34.360
ให้คุณเห็นว่ามันเป็นจริง

00:05:34.360 --> 00:05:39.000
ดังนั้นนี่คือการทบทวนฟิสิกส์เบื้องต้นจริง ๆ

00:05:39.000 --> 00:05:42.500
ทีนี้ ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น, แต่มันยัง

00:05:42.500 --> 00:05:43.670
คิดเหมือนเดิม

00:05:43.670 --> 00:05:45.873
ลองนิยามสนามเวกเตอร์ขึ้นมา

00:05:45.873 --> 00:05:48.660
-

00:05:48.660 --> 00:05:51.371
งั้นสมมุติว่าผมมีสนามเวกเตอร์ f, และเรา

00:05:51.371 --> 00:05:54.050
จะคิดว่ามันหมายถึงอะไรในไม่ช้า

00:05:54.050 --> 00:05:58.890
มันคือฟังก์ชันของ x กับ y, และมันเท่ากับสเกลาร์ฟังก์ชัน

00:05:58.890 --> 00:06:04.490
ของ x กับ y คูณเวกเตอร์หน่วย i, หรือ

00:06:04.490 --> 00:06:08.760
เวกเตอร์หน่วยตามแนวราบ, บวกฟังก์ชันอีกอัน, ฟังก์ชัน

00:06:08.760 --> 00:06:14.250
สเกลาร์ของ x กับ y, คูณเวกเตอร์หน่วยตามแนวดิ่ง

00:06:14.250 --> 00:06:15.580
แล้วของแบบนี้จะเป็นยังไง?

00:06:15.580 --> 00:06:17.460
นี่คือสนามเวกเตอร์

00:06:17.460 --> 00:06:20.210
นี่คือสนามเวกเตอร์ในสเปซ 2 มิติ

00:06:20.210 --> 00:06:21.330
เราอยู่ในระนาบ x-y

00:06:21.330 --> 00:06:31.190
-

00:06:31.190 --> 00:06:35.840
หรือคุณอาจเรียกมันว่า R2

00:06:35.840 --> 00:06:37.690
ไม่ว่ายังไง, ผมไม่อยากพูดถึง

00:06:37.690 --> 00:06:39.230
คณิตศาสตร์ในนั้นเกินไป

00:06:39.230 --> 00:06:40.590
แต่นี่จะทำอะไร?

00:06:40.590 --> 00:06:47.270
เอาล่ะ, หากผมวาดระนาบ x-y, โดยที่นั่นคือ,

00:06:47.270 --> 00:06:49.070
ผมมีปัญหาเรื่องวาดเส้นตรงอีกแล้ว

00:06:49.070 --> 00:06:50.610
เอาล่ะ, ได้แล้ว

00:06:50.610 --> 00:06:54.050
นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน x ผม

00:06:54.050 --> 00:06:56.360
ผมแค่วาดจตุภาคแรก, แต่คุณอาจวาด

00:06:56.360 --> 00:06:59.450
ไปเป็นลบในอีกทางนึงก็ได้ถ้าต้องการ

00:06:59.450 --> 00:07:01.260
แล้วสิ่งนี้จะทำอะไร?

00:07:01.260 --> 00:07:02.350
มันกำลังบอกว่า, ลองดู

00:07:02.350 --> 00:07:06.800
คุณบอกค่า x กับ y ใด ๆ กับผม คุณบอกค่า x,y ใด ๆ บนระนาบ x-y

00:07:06.800 --> 00:07:09.970
และพวกนี้จะออกมาเป็นตัวเลข, จริงไหม?

00:07:09.970 --> 00:07:12.655
เมื่อคุณใส่ x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง,

00:07:12.655 --> 00:07:14.310
ตอนคุณแทน x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง

00:07:14.310 --> 00:07:16.980
คุณจะได้ส่วนผสมของเวกเตอร์หน่วย

00:07:16.980 --> 00:07:18.070
i กับ j

00:07:18.070 --> 00:07:19.770
งั้นคุณจะได้เวกเตอร์สักตัว

00:07:19.770 --> 00:07:23.020
และสิ่งที่นี่ทำ, มันจะนิยามเวกเตอร์ที่คู่

00:07:23.020 --> 00:07:24.810
กับจุดทุกจัดบนระนาบ x-y

00:07:24.810 --> 00:07:28.780
ผมอาจบอกได้ว่า, หากผมเอาจุดนี้บนระนาบ x-y มา,

00:07:28.780 --> 00:07:32.480
และผมเลือกมันมาไว้นี่, ผมจะได้บางสิ่งคูณ i บวก

00:07:32.480 --> 00:07:34.730
บางสิ่งคูณ j, และเมื่อคุณบวกสองอย่างเข้า, เราจะได้

00:07:34.730 --> 00:07:37.130
เวกเตอร์ที่ออกมาเป็นแบบนี้

00:07:37.130 --> 00:07:38.100
และคุณทำได้กับทุกจุด

00:07:38.100 --> 00:07:39.190
ผมแค่เลือกตัวอย่างขึ้นมามั่ว ๆ

00:07:39.190 --> 00:07:41.420
บางทีตอนผมมาตรงนี้, เวกเตอร์ดู

00:07:41.420 --> 00:07:42.280
หน้าตาแบบนี้

00:07:42.280 --> 00:07:44.910
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์หน้าตาเป็นแบบนี้

00:07:44.910 --> 00:07:47.560
บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์เป็นแบบนี้

00:07:47.560 --> 00:07:50.350
และบางทีตอนผมไปถึงตรงนี้, เวกเตอร์ไปแบบนั้น

00:07:50.350 --> 00:07:52.320
ผมแค่เลือกจุดขึ้นมาสุ่ม ๆ

00:07:52.320 --> 00:07:57.090
มันจะตั้งเวกเตอร์บนพิกัด x, y ทั้งหมด โดย

00:07:57.090 --> 00:08:00.920
ฟังก์ชันสเกลาร์พวกนี้ถูกนิยามไว้ชัดเจน

00:08:00.920 --> 00:08:02.370
และนั่นคือสาเหตุที่มันถูกเรียกว่า สนามเวกเตอร์

00:08:02.370 --> 00:08:06.580
มันนิ่ยามสิ่งที่ แรงศักย์ จะเป็น,

00:08:06.580 --> 00:08:11.430
หรือแรงประเภทอื่น ๆ, ณ จุดใด ๆ

00:08:11.430 --> 00:08:14.350
ที่จุดใด ๆ, หากคุณมีอะไรสักอย่างตรงนั้น

00:08:14.350 --> 00:08:15.900
บางทีนั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชันเป็น

00:08:15.900 --> 00:08:17.750
ผมสามารถทำแบบนี้ไปตลอด,

00:08:17.750 --> 00:08:18.790
และเติมเต็มที่ว่างทั้งหมด

00:08:18.790 --> 00:08:19.660
แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว

00:08:19.660 --> 00:08:24.790
มันจับคู่เวกเตอร์เข้ากับทุกจุดบนระนาบ x-y

00:08:24.790 --> 00:08:29.010
ทีนี้, นี่เรียกว่าสนามเวกเตอร์, ดังนั้นก็เข้าใจได้

00:08:29.010 --> 00:08:30.950
ว่านี่สามารถใช้บรรยาย

00:08:30.950 --> 00:08:31.870
สนามได้ทุกประเภท

00:08:31.870 --> 00:08:33.410
มันอาจเป็นสนามโน้มถ่วงก็ได้

00:08:33.410 --> 00:08:36.840
มันอาจเป็นสนามไฟฟ้า, อาจเป็นสนามเหล็ก

00:08:36.840 --> 00:08:39.630
และนี่อาจบอกคุณว่ามีแรง

00:08:39.630 --> 00:08:43.190
กระทำต่ออนุภาคในสนามนั้นเท่าไหร่

00:08:43.190 --> 00:08:44.660
นั่นคือสิ่งนี้กำลังบรรยายอยู่

00:08:44.660 --> 00:08:48.950
ตอนนี้, สมมุติว่าในสนามนี้, ผมมีอนุภาค

00:08:48.950 --> 00:08:51.610
เคลื่อนที่ไปในระนาบ x-y

00:08:51.610 --> 00:08:58.620
สมมุติว่ามันเริ่มตรงนี้, และเนื่องจากแรงเพี้ยน ๆ พวกนี้

00:08:58.620 --> 00:09:03.850
กระทำต่อมัน, หรือบางทีมันอยู่ในราง

00:09:03.850 --> 00:09:06.900
หรืออะไรสักอย่าง, มันไม่ต้องเคลื่อนที่ไป

00:09:06.900 --> 00:09:09.360
ตามทิศของสนามที่กระทำต่อมันเสมอไป

00:09:09.360 --> 00:09:14.030
สมมุติว่ามันเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่เคลื่อนไปแบบนี้

00:09:14.030 --> 00:09:17.710
สมมุติว่าเส้นทางนี้, หรือเส้นโค้งนี้, บรรยายได้

00:09:17.710 --> 00:09:22.010
ด้วยฟังก์ชันเวกเตอร์ตำแหน่ง

00:09:22.010 --> 00:09:25.150
งั้นสมมุติว่านั่นนิยามด้วย r ของ t, หรือก็

00:09:25.150 --> 00:09:33.780
คือ x ของ t คูณ i บวก y ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

00:09:33.780 --> 00:09:35.130
นั่นคือ r ของ t ตรงนี้

00:09:35.130 --> 00:09:37.730
ทีนี้, ในการทำให้นี่เป็นเส้นทางจำกัด, มันจะเป็น

00:09:37.730 --> 00:09:42.370
เช่นนั้นก่อน t มากกว่าเท่ากับ a, และน้อยกว่า

00:09:42.370 --> 00:09:45.640
เท่ากับ b

00:09:45.640 --> 00:09:47.830
นี่คือเส้นทางที่อนุภาคจะ

00:09:47.830 --> 00:09:50.370
เคลื่อนไป, เนื่องจากแรงพวกนี้

00:09:50.370 --> 00:09:54.270
เมื่ออนุภาคอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์

00:09:54.270 --> 00:09:56.960
ที่กระทำต่อมัน, บางทีมันอาจให้แรงแบบนั้น

00:09:56.960 --> 00:09:59.520
แต่เนื่องจากสิ่งนี้อยู่บนรางสักอย่าง, มันจะ

00:09:59.520 --> 00:10:00.400
เคลื่อนที่ไปในทิศนั้น

00:10:00.400 --> 00:10:03.830
แล้วเมื่อมันอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์เป็นแบบนั้น,

00:10:03.830 --> 00:10:05.740
แต่มันเคลื่อนที่ไปอีกทิศนึง, เพราะมันอยู่

00:10:05.740 --> 00:10:06.940
บนรางสักอย่าง

00:10:06.940 --> 00:10:09.500
ตอนนี้, ทุกอย่างที่ผมทำมาในวิดีโอนี้ เพื่อตั้ง

00:10:09.500 --> 00:10:11.180
คำถามพื้น ๆ ข้อนึง

00:10:11.180 --> 00:10:13.910
นั่นคือ งานที่กระทำต่ออนุภาคโดยสนามนั้นเป็นเท่าไหร่?

00:10:13.910 --> 00:10:24.960
-

00:10:24.960 --> 00:10:28.620
เพื่อตอบคำถามนั้น, เราลองขยายเข้าไปหน่อย

00:10:28.620 --> 00:10:31.100
ผมจะขยายเข้าไปตรงส่วนเล็ก ๆ

00:10:31.100 --> 00:10:34.710
ของเส้นทางเรา

00:10:34.710 --> 00:10:38.010
และลองหาว่างานที่กระทำใน

00:10:38.010 --> 00:10:40.470
ช่วงเล็ก ๆ ของเส้นทาง, เพราะมันเปลี่ยนไปสม่ำเสมอ

00:10:40.470 --> 00:10:42.190
สนามมีทิศเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ

00:10:42.190 --> 00:10:43.630
วัตถุก็เปลี่ยนทิศไปเรื่อย ๆ

00:10:43.630 --> 00:10:47.780
งั้นสมมุติว่าตอนผมอยู่ตรงนี้, สมมุติว่าผมเคลื่อนที่

00:10:47.780 --> 00:10:49.740
ไปได้นิดเดียวตามทาง

00:10:49.740 --> 00:10:55.860
สมมุติว่าผมเคลื่อนที่, นี่เป็น dr

00:10:55.860 --> 00:10:58.500
เล็กจิ๋ว, จริงไหม?

00:10:58.500 --> 00:11:00.810
ผมมีดิฟเฟอเรนเชียล, มันคือเวกเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียล, การ

00:11:00.810 --> 00:11:02.630
กระจัดเล็กจิ๋ว

00:11:02.630 --> 00:11:06.800
และสมมุติว่าตลอดช่วงนั้น, สนามเวกเตอร์

00:11:06.800 --> 00:11:08.840
กำลังกระทำกับพื้นที่ท้องถิ่นนี้, สมมุติว่ามัน

00:11:08.840 --> 00:11:10.480
หน้าตาแบบนั้น

00:11:10.480 --> 00:11:13.490
มันกำลังให้แรงที่ดูเป็นแบบนั้น

00:11:13.490 --> 00:11:16.640
ดังนั้นนั่นคือเวกเตอร์สนามในพื้นที่นั้น, หรือแรง

00:11:16.640 --> 00:11:18.750
ชี้ไปยังอนุภาคตรงนี้มันอยู่ ณ จุดนั้น

00:11:18.750 --> 00:11:18.870
จริงไหม?

00:11:18.870 --> 00:11:22.420
มันคือช่วงเล็กจิ๋วในสเปซ

00:11:22.420 --> 00:11:24.440
คุณอาจบอกว่า, โอเค, ตลอดช่วงเล็กจิ๋วนั่น, เรา

00:11:24.440 --> 00:11:26.600
บอกว่านี่เป็นแรงคงที่

00:11:26.600 --> 00:11:29.790
งานที่ทำตลอดช่วงเวลาสั้น ๆ นี้เป็นเท่าไหร่?

00:11:29.790 --> 00:11:32.330
คุณก็บอกว่า, งานช่วงเล็ก ๆ คืออะไร?

00:11:32.330 --> 00:11:36.120
คุณอาจบอกว่า d งาน, หรือดิฟเฟอเรนเชียลของงาน

00:11:36.120 --> 00:11:38.940
ด้วยตรรกะเดียวกันที่เราทำกับโจทย์ง่าย ๆ

00:11:38.940 --> 00:11:43.810
มันคือขนาดของแรงในทิศของ

00:11:43.810 --> 00:11:48.550
การกระจัดคูณขนาดของการกระจัด

00:11:48.550 --> 00:11:52.800
และเรารู้ว่ามันคืออะไร, จากตัวอย่างข้างบนนี้

00:11:52.800 --> 00:11:54.810
นั่นคือดอทโปรดัค

00:11:54.810 --> 00:11:58.340
มันคือดอทโปรดัคของแรงกับการกระจัดเล็กจิ๋ว

00:11:58.340 --> 00:11:59.480
ของเรา

00:11:59.480 --> 00:12:07.860
ดังนั้นมันเท่ากับดอทโปรดัคของแรงเรากับ

00:12:07.860 --> 00:12:09.870
การกระจัดเล็กจิ๋ว

00:12:09.870 --> 00:12:13.240
ทีนี้, ด้วยการทำเช่นนี้, เราเพิ่งหาได้ว่างาน

00:12:13.240 --> 00:12:16.440
ตลอดช่วง dr ที่เล็กสุด ๆๆๆ ไป แต่

00:12:16.440 --> 00:12:18.820
ที่เราอยากทำคือ เราอยากรวมพวกมันเข้า

00:12:18.820 --> 00:12:21.870
เราอยากรวม dr ทั้งหมดเพื่อหา f ดอท

00:12:21.870 --> 00:12:25.090
dr ทั้งหมด เพื่อหางานลัพธ์

00:12:25.090 --> 00:12:27.510
และนั่นคือที่ที่อินทิกรัลเข้ามา

00:12:27.510 --> 00:12:32.570
เราจะหาอินทิกรัลเส้นตลอด -- ผมหมายถึง, คุณอาจ

00:12:32.570 --> 00:12:33.910
คิดได้สองแบบ

00:12:33.910 --> 00:12:37.440
คุณอาจเขียน d ดอท w ตรงนี้, แต่เราอาจบอกว่า, เราจะ

00:12:37.440 --> 00:12:42.700
หาอินทิกรัลเส้นตลอดเส้นโค้ง c นี่, เรียกมันว่า c

00:12:42.700 --> 00:12:46.410
หรือตาม r, อะไรก็ได้ที่คุณอยากเรียก, ของ dw

00:12:46.410 --> 00:12:47.800
นั่นจะให้งานรวมกับเรา

00:12:47.800 --> 00:12:49.500
งั้นสมมุติว่า, งานเท่ากับอันนั้น

00:12:49.500 --> 00:12:54.040
หรือเราอาจเขียนมันตลอดอินทิกรัล, ตลอด

00:12:54.040 --> 00:13:00.500
เส้นโค้งของ f ของ f ดอท dr

00:13:00.500 --> 00:13:03.580
และนี่อาจดู, คุณก็รู้, นี่มัน

00:13:03.580 --> 00:13:05.120
ดูนามธรรมมากเลยนะ ซาล

00:13:05.120 --> 00:13:09.220
เราจะคำนวณอะไรแบบนี้จริง ๆ ได้ไง?

00:13:09.220 --> 00:13:13.130
ได้สิ เพราะเรามีทุกอย่างเขียนได้

00:13:13.130 --> 00:13:14.030
ในรูปของ t

00:13:14.030 --> 00:13:16.130
แล้วเราจะได้นี่ในรูปของ t ได้อย่างไร?

00:13:16.130 --> 00:13:19.710
และหากคุณคิดดูดี ๆ, f ดอท r คืออะไร?

00:13:19.710 --> 00:13:21.030
หรือ f ดอท dr คืออะไร?

00:13:21.030 --> 00:13:23.300
ที่จริง, ในการตอบคำถามนั้น, ลองนึกดูว่า

00:13:23.300 --> 00:13:25.830
dr เป็นอย่างไร

00:13:25.830 --> 00:13:36.200
หากคุณจำได้, dr/dt เท่ากับ x ไพรม์ของ t, ผมจะเขียน

00:13:36.200 --> 00:13:39.120
มันเเป็น, ผมสามารถเขียน dx dt หากผมต้องการ, คูณ

00:13:39.120 --> 00:13:45.180
เวกเตอร์หน่วย i, บวก y ไพรม์ของ t, คูณเวกเตอร์หน่วย j

00:13:45.180 --> 00:13:49.320
และหากเราอยากได้ dr, เราก็คูณทั้งสองข้าง

00:13:49.320 --> 00:13:51.850
หากเราเล่นกลสักหน่อยกับ

00:13:51.850 --> 00:13:53.470
ดิฟเฟอเรนเชียล, ไม่เข้มงวดเกินไป

00:13:53.470 --> 00:13:58.480
เราจะได้ dr เท่ากับ x ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย

00:13:58.480 --> 00:14:05.070
i บวก y ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

00:14:05.070 --> 00:14:07.280
คุณดิฟเฟอเรนเชียล dt

00:14:07.280 --> 00:14:09.070
งั้นนี่คือ dr ตรงนี้

00:14:09.070 --> 00:14:12.110
-

00:14:12.110 --> 00:14:16.280
และจำไว้ว่าสนามเวกเตอร์เราคืออะไร

00:14:16.280 --> 00:14:17.440
มันคือสิ่งนี้บนนี้

00:14:17.440 --> 00:14:19.590
ขอผมลอกและแปะไว้ตรงนี้นะ

00:14:19.590 --> 00:14:21.030
เราจะเห็นเองว่าดอทโปรดัค

00:14:21.030 --> 00:14:23.360
ไม่ได้แย่นัก

00:14:23.360 --> 00:14:26.710
งั้นลอก, และขอผมแปะมันข้างล่างตรงนี้นะ

00:14:26.710 --> 00:14:31.130
-

00:14:31.130 --> 00:14:33.820
แล้วอินทิกรัลนี้จะออกมาเป็นอย่างไร?

00:14:33.820 --> 00:14:37.600
อินทิกรัลนี่ตรงนี้, นั่นบอกงานรวมที่ทำโดย

00:14:37.600 --> 00:14:40.790
สนาม, ต่ออนุภาค, เมื่อมันเคลื่อนที่ตามเส้นทางนั่น

00:14:40.790 --> 00:14:44.090
แค่หลักพื้นฐานถึงฟิสิกส์จริง ๆ

00:14:44.090 --> 00:14:47.170
ที่คุณอาจต้องทำในที่สุด

00:14:47.170 --> 00:14:48.170
คุณอาจบอกว่า, โอ้

00:14:48.170 --> 00:14:52.420
มันจะต้องเป็นอินทิกรัล, สมมุติว่าจาก t เท่ากับ

00:14:52.420 --> 00:14:55.320
a ถึง t เท่ากับ b

00:14:55.320 --> 00:14:58.310
จริงไหม? a คือตอนที่เราเริ่มต้น, t เท่ากับ

00:14:58.310 --> 00:14:59.790
a ถึง t เท่ากับ b

00:14:59.790 --> 00:15:01.760
คุณอาจนึกว่ามันคือเวลา, เมื่ออนุภาค

00:15:01.760 --> 00:15:03.610
เคลื่อนที่, เวลาก็เริ่มเดิน

00:15:03.610 --> 00:15:07.000
แล้ว f ดอท dr คืออะไร?

00:15:07.000 --> 00:15:10.640
ทีนี้, หากคุณจำไว้ว่าดอทโปรดัคคืออะไร, คุณก็

00:15:10.640 --> 00:15:15.310
แค่หาผลคูณระหว่างองค์ประกอบ

00:15:15.310 --> 00:15:17.740
คู่กันของเวกเตอร์ แล้วจับมันรวมกัน

00:15:17.740 --> 00:15:20.070
ดังนั้น นี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก t เท่ากับ a ถึง t

00:15:20.070 --> 00:15:27.246
เท่ากับ b, ของ p ของ p ของ x, ที่จริง แทนที่จะเขียน x,

00:15:27.246 --> 00:15:30.740
y, มันคือ x ของ t, จริงไหม? x เป็นฟังก์ชันของ t, y เป็น

00:15:30.740 --> 00:15:32.350
ฟังก์ชันของ t

00:15:32.350 --> 00:15:33.690
เลยเป็นแบบนั้น

00:15:33.690 --> 00:15:37.600
คูณด้วยสิ่งนี่ตรงนี้, คูณองค์ประกอบนี้, จริงไหม?

00:15:37.600 --> 00:15:39.300
เรากำลังคูณองค์ประกอบ i อยู่

00:15:39.300 --> 00:15:50.650
งั้นคูณ x ไพรม์ของ t d t, แล้วก็บวก, เราจะ

00:15:50.650 --> 00:15:52.370
ทำเหมือนกันกับฟังก์ชัน q

00:15:52.370 --> 00:15:56.060
ดังนั้นนี่คือ q บวก, ผมจะไปอีกบรรทัดนึงนะ

00:15:56.060 --> 00:15:57.760
หวังว่าคุณคงรู้ว่าผมยังเขียนต่ออยู่

00:15:57.760 --> 00:15:59.020
แต่ผมไม่มีที่แล้ว

00:15:59.020 --> 00:16:09.960
บวก q ของ x ของ t, y ของ t, คูณองค์ประกอบของ dr เรา

00:16:09.960 --> 00:16:11.900
คูณองค์ประกอบ y, หรือ องค์ประกอบ j

00:16:11.900 --> 00:16:15.530
y ไพรม์ของ t dt

00:16:15.530 --> 00:16:16.620
แล้วก็เสร็จ!

00:16:16.620 --> 00:16:17.480
เสร็จแล้ว

00:16:17.480 --> 00:16:19.300
นี่อาจดูนามธรรมไปหน่อย, แต่เราจะ

00:16:19.300 --> 00:16:23.020
เห็นในวิดีโอหน้า, ว่าทุกอย่างตอนนี้อยู่ในรูปของ

00:16:23.020 --> 00:16:25.480
t, นี่ก็จะเป็นการอินทิเกรตตรง ๆ

00:16:25.480 --> 00:16:27.170
เทียบกับ dt

00:16:27.170 --> 00:16:30.150
หากเราต้องการ, เราสามารถเอา dt ออกจากสมการ

00:16:30.150 --> 00:16:32.270
และมันจะอยู่ปกติกว่าเดิม

00:16:32.270 --> 00:16:34.640
แต่ที่สุดแล้วนี่คือทั้งหมดที่เราต้องทำ

00:16:34.640 --> 00:16:38.080
และเราจะดูตัวอย่างจริง ๆ ในการหา

00:16:38.080 --> 00:16:43.230
อินทิกรัลเส้นตามสนามเวกเตอร์, หรือใช้ฟังก์ชัน

00:16:43.230 --> 00:16:45.790
เวกเตอร์นี้, ในวิดีโอหน้า

00:16:45.790 --> 00:16:46.000
-