Az a feladatunk, hogy meghatározzuk
az alábbi két pont közötti távolságot.
Állítsd le a videót, és nézd meg, hogy ki tudod-e számolni!
Többféle módon gondolkodhatunk erről.
Én úgy szeretek erre gondolni, hogy megpróbálok rajzolni
egy derékszögű háromszöget úgy, hogy az ezeket a pontokat
összekötő szakasz legyen az átfogó,
és aztán alkalmazom a Pitagorasz-tételt.
Megmutatom, hogy gondolom ezt.
Rajzolok ide egy derékszögű háromszöget.
Ez a derékszögű háromszögem magassága,
ez pedig a szélessége.
És az átfogó köti össze ezeket a pontokat.
Használhatom a vonalzó eszközt
ennek meg ennek a pontnak az összekötésére.
Narancssárgára színezem,
íme kész is van.
Itt van egy derékszögű háromszög, ahol a két pontot összekötő szakasz
a derékszögű háromszög átfogója.
És hogy ez miért jó?
Innentől, ha leállítod a videót,
ki tudod-e számítani a narancssárga szakasz hosszát,
amely a két pont közti távolság?
Milyen hosszú ez a piros szakasz?
Ezt láthatod a négyztetrácson,
két egység hosszú.
Pontosan két egységnyi, és
akár koordinátákként is gondolhatsz erre.
Ennek a pontnak a koordinátái
mínusz 5 és 8 (−5;8).
Ennek a koordinátái pedig: x négy és y hat, (4;6).
Ennek a pontnak az y koordinátája
tehát megegyezik ennek az y koordinátájával,
mindkettő 6 lesz,
és ennek a pontnak az x koordinátája ugyanaz lesz, mint ennek,
ez a pont tehát (−5;6) lesz.
Vegyük tehát észre, hogy csupán az y irányban módosítunk,
méghozzá 2-vel.
Mennyi ennek a szakasznak a hossza?
Megszámolhatod: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Vagyis 9, de azt is mondhatod,
hogy csak az x értékét változtattuk,
mínusz 5-től indultunk,
x = −5-től x = 4-ig.
9-cel növeltük.
Mindezzel megalapoztuk, hogy
használhassuk a Pitagorasz-tételt.
Ha ezt az oldalt 'c'-nek nevezzük, akkor tudjuk, hogy
a² + b² = c²,
de úgy is mondhatjuk, hogy (ugyanazt a pirosat fogom használni)
2² + 9² = az átfogónk négyzetével,
amit 'c'-nek neveztünk, tehát c²-tel,
és ez a 'c' lesz a távolság, ezt igyekszünk kiszámítani.
2² = 4 meg 9² = 81,
ez lesz egyenlő c²-tel.
c² = 85, azaz c = √85,
vagyis 85 pozitív négyzetgyöke.
Vajon tudom-e ezt egy kicsit egyszerűsíteni?
Nézzük csak. Hányszor van meg az 5 a 85-ben?
17-szer. Egyik sem négyzetszám,
igen, 50 + 35,
vagyis azt hiszem ez a legegyszerűbb lehetséges felírása.
Persze tizedesjegyekkel is kifejezheted, megbecsülheted a számológép
segítségével olyan pontossággal, ahogy csak akarod.
Ez tehát ennek a szakasznak,
a derékszögű háromszögünk átfogójának a hossza,
de még ennél is fontosabb, hogy az eredeti kérdésre adott válasz,
ekkora a két pont közötti távolság.