0:00:00.520,0:00:03.242
В последното видео започнахме[br]да разглеждаме теоремата на Стокс.

0:00:03.242,0:00:04.700
Сега в това видео искам

0:00:04.700,0:00:06.820
да видим дали тя е в унисон

0:00:06.820,0:00:09.050
с това, което сме учили досега.

0:00:09.050,0:00:12.190
За да го направим, да си представим...[br]ще начертая координатните оси.

0:00:12.190,0:00:14.340
Това е оста z.

0:00:14.340,0:00:16.680
Това е оста х.

0:00:16.680,0:00:19.610
Това е оста у.

0:00:19.610,0:00:23.430
Сега си представи една област[br]в равнината ху.

0:00:23.430,0:00:25.770
Ще я начертая по следния начин.

0:00:25.770,0:00:30.670
Да кажем, че това е нашата[br]област в равнината ху.

0:00:30.670,0:00:34.850
Ще означа тази област като R.

0:00:34.850,0:00:36.580
Имаме някаква граница на тази област.

0:00:36.580,0:00:39.470
Да кажем, че ни интересува[br]посоката, по която

0:00:39.470,0:00:40.720
се движим по тази граница.

0:00:40.720,0:00:41.650
Да кажем, че се движим

0:00:41.650,0:00:43.180
обратно на часовниковата стрелка.

0:00:43.180,0:00:47.150
Значи имаме този контур около[br]нашата област.

0:00:47.150,0:00:49.890
Ще означа контура с 'c

0:00:49.890,0:00:51.950
Значи това е контурът 'c',

0:00:51.950,0:00:57.010
по който се движим обратно[br]на часовниковата стрелка.

0:00:57.010,0:01:02.310
Да кажем, че е дадено едно[br]векторно поле F.

0:01:02.310,0:01:05.360
Неговият i-компонент е

0:01:05.360,0:01:08.030
функцията Р от х и от у.

0:01:08.030,0:01:12.530
Неговият j компонент [br]е функцията Q от х и от у.

0:01:12.530,0:01:14.780
Да кажем, че няма k-компонент.

0:01:14.780,0:01:17.230
Векторното поле в тази област

0:01:17.230,0:01:18.750
изглежда примерно ето така.

0:01:18.750,0:01:20.422
Ще начертая някакви произволни[br]вектори.

0:01:20.422,0:01:21.880
След това, когато напуснем[br]тази област,

0:01:21.880,0:01:23.350
ако се движим в посока z,

0:01:23.350,0:01:25.700
векторното поле е едно и също,[br]когато отиваме все по-високо и по-високо.

0:01:25.700,0:01:27.930
Значи този вектор не се променя,

0:01:27.930,0:01:29.660
когато се променя z-компонента.

0:01:29.660,0:01:31.450
Всички вектори са по същество

0:01:31.450,0:01:35.790
успоредни на... или ако z е равно на 0,

0:01:35.790,0:01:39.100
всички те лежат в равнината ху.

0:01:39.100,0:01:41.480
Като знаем това, да помислим

0:01:41.480,0:01:45.250
какво ни казва теоремата на Стокс[br]за стойността на

0:01:45.250,0:01:48.980
криволинейния интеграл[br]по затворения контур –

0:01:48.980,0:01:51.470
ще го направя малко по-старателно –

0:01:51.470,0:01:57.860
криволинейния интеграл по[br]контура 'c',

0:01:57.860,0:02:05.960
от скаларното произведение на F и dr,

0:02:05.960,0:02:08.280
където dr очевидно се движи по контура.

0:02:08.280,0:02:11.470
Ако вземем теоремата на Стокс,[br]тогава тази величина ето тук[br](показва с мишката)

0:02:11.470,0:02:14.610
трябва да е равна на [br]тази величина ето тук.[br](показва с мишката)

0:02:14.610,0:02:18.850
Криволинейният интеграл трябва да е равен[br]на двойния интеграл по повърхнината.

0:02:18.850,0:02:21.270
Тази област всъщност е[br]една повърхнина, която

0:02:21.270,0:02:23.450
лежи в равнината ху.

0:02:23.450,0:02:26.077
Така че това е равно на двойния интеграл...

0:02:26.077,0:02:27.660
ще напиша това със същия цвят –

0:02:27.660,0:02:31.310
равно на двойния интеграл по[br]тази област, което всъщност

0:02:31.310,0:02:35.110
е равно на повърхнината...

0:02:35.110,0:02:37.840
на скаларното произведение [br]на ротацията на F по n.

0:02:37.840,0:02:40.437
Да помислим какво означава[br]това скаларно произведение на ротацията на F по n.

0:02:40.437,0:02:42.270
dS е просто малко парченце от тази област –

0:02:42.270,0:02:46.220
малко парченце от тази плоска [br]повърхнина ето тук.

0:02:46.220,0:02:50.180
Вместо dS мога да напиша просто dA.

0:02:50.180,0:02:54.000
Но да помислим какво представлява[br]скаларното произведение на ротацията на F по n.

0:02:54.000,0:02:56.060
Първо да разгледаме ротацията на F.

0:02:56.060,0:02:58.910
Значи ротацията на F –[br]начинът, по който винаги

0:02:58.910,0:03:00.810
запомням това е, че намираме

0:03:00.810,0:03:06.850
детерминантата на една матрица, която съдържа[br]ijk; частните производни относно х,

0:03:06.850,0:03:10.820
частните производни относно у

0:03:10.820,0:03:12.330
и частните производни относно z.

0:03:12.330,0:03:14.450
Това е просто дефиницията[br]за ротация на векторно поле.

0:03:14.450,0:03:16.820
Намираме колко много[br]векторното поле ще накара

0:03:16.820,0:03:18.910
нещо да се върти.

0:03:18.910,0:03:20.980
След това имаме компонента i,

0:03:20.980,0:03:24.416
който е функцията Р, която[br]просто е функция от х и от у,

0:03:24.416,0:03:26.990
j-компонентът е функция от Q.

0:03:26.990,0:03:30.720
Тук няма z-компонент, значи 0.

0:03:30.720,0:03:32.892
Това ще е равно на...

0:03:32.892,0:03:34.350
ако разгледаме i-компонента,

0:03:34.350,0:03:37.420
той ще бъде частната производна [br]от 0, значи е просто 0.

0:03:37.420,0:03:43.450
Минус частната производна на Q относно z.

0:03:43.450,0:03:46.000
Колко е частната производна [br]на Q относно z?

0:03:46.000,0:03:48.190
Q не е функция от z.

0:03:48.190,0:03:50.470
Значи частната производна относно z[br]ще бъде 0 – ще напиша това,

0:03:50.470,0:03:52.330
за да не стане твърде объркващо.

0:03:52.330,0:03:56.180
Значи нашият компонент i[br]е равен на частната производна

0:03:56.180,0:03:57.130
на 0 относно у.

0:03:57.130,0:04:01.000
Това също е нула, минус[br]частната производна на Q

0:04:01.000,0:04:02.290
относно z.

0:04:02.290,0:04:04.340
Частната производна на Q относно z

0:04:04.340,0:04:05.700
също е нула.

0:04:05.700,0:04:07.500
Значи имаме нулев i-компонент.

0:04:07.500,0:04:10.260
След това просто изваждаме[br]j-компонента.

0:04:10.260,0:04:16.700
За j-компонента – частната [br]производна на 0 относно х е 0.

0:04:16.700,0:04:22.400
После от това вадим частната[br]производна на Р относно z.

0:04:22.400,0:04:25.590
Отново, Р не е функция от z.

0:04:25.590,0:04:28.160
Значи това пак ще бъде 0.

0:04:28.160,0:04:34.410
След това имаме плюк k[br]по частната производна на Q относно х.

0:04:34.410,0:04:36.320
Спомни си, че това е просто[br]оператор за частна производна.

0:04:36.320,0:04:41.160
Значи частната производна[br]на Q относно х.

0:04:41.160,0:04:49.690
От нея ще извадим частната[br]производна на Р относно у.

0:04:49.690,0:04:56.150
Ротацията на F се опрости[br]до това нещо ето тук.[br](огражда го)

0:04:56.150,0:04:58.880
А колко е n?

0:04:58.880,0:05:02.250
Това е единичният нормален вектор.

0:05:02.250,0:05:04.300
Намираме се в равнината ху.

0:05:04.300,0:05:05.930
Следователно единичният [br]нормален вектор

0:05:05.930,0:05:07.940
ще сочи просто нагоре в посока z.

0:05:07.940,0:05:10.390
Ще има дължина единица.

0:05:10.390,0:05:12.450
В този случай нашият[br]единичен нормален вектор

0:05:12.450,0:05:14.660
ще бъде просто вектор k.

0:05:14.660,0:05:18.490
Така че взимаме... ротацията[br]на F е ето това нещо.

0:05:18.490,0:05:21.880
Единичният нормален вектор

0:05:21.880,0:05:24.510
е равен на вектор k –

0:05:24.510,0:05:26.920
той е просто единичният k вектор.

0:05:26.920,0:05:28.230
Ще сочи ето така.

0:05:28.230,0:05:31.160
Какво се получава, когато намерим[br]скаларното произведение на ротацията на F и k?

0:05:31.160,0:05:34.030
Просто намираме скаларното[br]произведение на това и вектор.

0:05:34.030,0:05:36.080
Намираме просто скаларното [br]произведение на това и на вектор k.

0:05:36.080,0:05:39.730
Ще получим тази част ето тук.[br](огражда я)

0:05:39.730,0:05:43.930
Значи скаларното произведение на ротацията [br]на F и единичния нормален вектор

0:05:43.930,0:05:45.400
е равно просто на това нещо.[br](което е оградено с виолетово)

0:05:45.400,0:05:50.050
Равно е на частната производна [br]на Q относно х

0:05:50.050,0:05:54.980
минус частната производна на Р относно у.

0:05:54.980,0:05:57.944
Това е чудесно, защото[br]когато използваме теоремата на Стокс

0:05:57.944,0:05:59.610
в този конкретен случай,[br]когато имаме

0:05:59.610,0:06:03.030
плоска повърхнина в равнината ху,

0:06:03.030,0:06:07.960
в този случай това ни дава[br]просто теоремата на Грийн.

0:06:07.960,0:06:12.030
Това нещо ето тук просто[br]се сведе до теоремата на Грийн.

0:06:12.030,0:06:15.920
Виждаме, че теоремата на Грийн[br]е просто специален случай...

0:06:15.920,0:06:17.840
ще запиша "теорема" по-четливо.

0:06:17.840,0:06:20.390
Виждаме, че теоремата[br]на Грийн по същество

0:06:20.390,0:06:22.800
е просто частен случай на [br]теоремата на Стокс,

0:06:22.800,0:06:27.360
когато повърхнината е плоска[br]и лежи в равнината ху.

0:06:27.360,0:06:30.140
Това трябва да ни дава[br]увереност, макар че

0:06:30.140,0:06:32.240
още не сме доказали[br]теоремата на Стокс.

0:06:32.240,0:06:34.530
Едно нещо, което харесваме[br]относно това, е фактът, че

0:06:34.530,0:06:36.780
теоремата на Грийн и теоремата на Стокс[br]са консистентни помежду си,

0:06:36.780,0:06:39.430
поради което ето това тук[br]придобива смисъл.

0:06:39.430,0:06:40.810
Когато за пръв път разглеждахме[br]теоремата на Грийн,

0:06:40.810,0:06:41.380
ние се чудихме за какво се отнася тя.

0:06:41.380,0:06:42.565
Какво означава тя?

0:06:42.565,0:06:44.190
Сега това просто ни казва, че

0:06:44.190,0:06:47.920
просто намираме ротацията[br]в тази област в повърхнината.

0:06:47.920,0:06:50.840
Сега това придобива смисъл, когато стъпим

0:06:50.840,0:06:54.090
върху това, което видяхме[br]в предишното видео.