1
00:00:00,520 --> 00:00:03,242
В последното видео започнахме
да разглеждаме теоремата на Стокс.

2
00:00:03,242 --> 00:00:04,700
Сега в това видео искам

3
00:00:04,700 --> 00:00:06,820
да видим дали тя е в унисон

4
00:00:06,820 --> 00:00:09,050
с това, което сме учили досега.

5
00:00:09,050 --> 00:00:12,190
За да го направим, да си представим...
ще начертая координатните оси.

6
00:00:12,190 --> 00:00:14,340
Това е оста z.

7
00:00:14,340 --> 00:00:16,680
Това е оста х.

8
00:00:16,680 --> 00:00:19,610
Това е оста у.

9
00:00:19,610 --> 00:00:23,430
Сега си представи една област
в равнината ху.

10
00:00:23,430 --> 00:00:25,770
Ще я начертая по следния начин.

11
00:00:25,770 --> 00:00:30,670
Да кажем, че това е нашата
област в равнината ху.

12
00:00:30,670 --> 00:00:34,850
Ще означа тази област като R.

13
00:00:34,850 --> 00:00:36,580
Имаме някаква граница на тази област.

14
00:00:36,580 --> 00:00:39,470
Да кажем, че ни интересува
посоката, по която

15
00:00:39,470 --> 00:00:40,720
се движим по тази граница.

16
00:00:40,720 --> 00:00:41,650
Да кажем, че се движим

17
00:00:41,650 --> 00:00:43,180
обратно на часовниковата стрелка.

18
00:00:43,180 --> 00:00:47,150
Значи имаме този контур около
нашата област.

19
00:00:47,150 --> 00:00:49,890
Ще означа контура с 'c

20
00:00:49,890 --> 00:00:51,950
Значи това е контурът 'c',

21
00:00:51,950 --> 00:00:57,010
по който се движим обратно
на часовниковата стрелка.

22
00:00:57,010 --> 00:01:02,310
Да кажем, че е дадено едно
векторно поле F.

23
00:01:02,310 --> 00:01:05,360
Неговият i-компонент е

24
00:01:05,360 --> 00:01:08,030
функцията Р от х и от у.

25
00:01:08,030 --> 00:01:12,530
Неговият j компонент 
е функцията Q от х и от у.

26
00:01:12,530 --> 00:01:14,780
Да кажем, че няма k-компонент.

27
00:01:14,780 --> 00:01:17,230
Векторното поле в тази област

28
00:01:17,230 --> 00:01:18,750
изглежда примерно ето така.

29
00:01:18,750 --> 00:01:20,422
Ще начертая някакви произволни
вектори.

30
00:01:20,422 --> 00:01:21,880
След това, когато напуснем
тази област,

31
00:01:21,880 --> 00:01:23,350
ако се движим в посока z,

32
00:01:23,350 --> 00:01:25,700
векторното поле е едно и също,
когато отиваме все по-високо и по-високо.

33
00:01:25,700 --> 00:01:27,930
Значи този вектор не се променя,

34
00:01:27,930 --> 00:01:29,660
когато се променя z-компонента.

35
00:01:29,660 --> 00:01:31,450
Всички вектори са по същество

36
00:01:31,450 --> 00:01:35,790
успоредни на... или ако z е равно на 0,

37
00:01:35,790 --> 00:01:39,100
всички те лежат в равнината ху.

38
00:01:39,100 --> 00:01:41,480
Като знаем това, да помислим

39
00:01:41,480 --> 00:01:45,250
какво ни казва теоремата на Стокс
за стойността на

40
00:01:45,250 --> 00:01:48,980
криволинейния интеграл
по затворения контур –

41
00:01:48,980 --> 00:01:51,470
ще го направя малко по-старателно –

42
00:01:51,470 --> 00:01:57,860
криволинейния интеграл по
контура 'c',

43
00:01:57,860 --> 00:02:05,960
от скаларното произведение на F и dr,

44
00:02:05,960 --> 00:02:08,280
където dr очевидно се движи по контура.

45
00:02:08,280 --> 00:02:11,470
Ако вземем теоремата на Стокс,
тогава тази величина ето тук
(показва с мишката)

46
00:02:11,470 --> 00:02:14,610
трябва да е равна на 
тази величина ето тук.
(показва с мишката)

47
00:02:14,610 --> 00:02:18,850
Криволинейният интеграл трябва да е равен
на двойния интеграл по повърхнината.

48
00:02:18,850 --> 00:02:21,270
Тази област всъщност е
една повърхнина, която

49
00:02:21,270 --> 00:02:23,450
лежи в равнината ху.

50
00:02:23,450 --> 00:02:26,077
Така че това е равно на двойния интеграл...

51
00:02:26,077 --> 00:02:27,660
ще напиша това със същия цвят –

52
00:02:27,660 --> 00:02:31,310
равно на двойния интеграл по
тази област, което всъщност

53
00:02:31,310 --> 00:02:35,110
е равно на повърхнината...

54
00:02:35,110 --> 00:02:37,840
на скаларното произведение 
на ротацията на F по n.

55
00:02:37,840 --> 00:02:40,437
Да помислим какво означава
това скаларно произведение на ротацията на F по n.

56
00:02:40,437 --> 00:02:42,270
dS е просто малко парченце от тази област –

57
00:02:42,270 --> 00:02:46,220
малко парченце от тази плоска 
повърхнина ето тук.

58
00:02:46,220 --> 00:02:50,180
Вместо dS мога да напиша просто dA.

59
00:02:50,180 --> 00:02:54,000
Но да помислим какво представлява
скаларното произведение на ротацията на F по n.

60
00:02:54,000 --> 00:02:56,060
Първо да разгледаме ротацията на F.

61
00:02:56,060 --> 00:02:58,910
Значи ротацията на F –
начинът, по който винаги

62
00:02:58,910 --> 00:03:00,810
запомням това е, че намираме

63
00:03:00,810 --> 00:03:06,850
детерминантата на една матрица, която съдържа
ijk; частните производни относно х,

64
00:03:06,850 --> 00:03:10,820
частните производни относно у

65
00:03:10,820 --> 00:03:12,330
и частните производни относно z.

66
00:03:12,330 --> 00:03:14,450
Това е просто дефиницията
за ротация на векторно поле.

67
00:03:14,450 --> 00:03:16,820
Намираме колко много
векторното поле ще накара

68
00:03:16,820 --> 00:03:18,910
нещо да се върти.

69
00:03:18,910 --> 00:03:20,980
След това имаме компонента i,

70
00:03:20,980 --> 00:03:24,416
който е функцията Р, която
просто е функция от х и от у,

71
00:03:24,416 --> 00:03:26,990
j-компонентът е функция от Q.

72
00:03:26,990 --> 00:03:30,720
Тук няма z-компонент, значи 0.

73
00:03:30,720 --> 00:03:32,892
Това ще е равно на...

74
00:03:32,892 --> 00:03:34,350
ако разгледаме i-компонента,

75
00:03:34,350 --> 00:03:37,420
той ще бъде частната производна 
от 0, значи е просто 0.

76
00:03:37,420 --> 00:03:43,450
Минус частната производна на Q относно z.

77
00:03:43,450 --> 00:03:46,000
Колко е частната производна 
на Q относно z?

78
00:03:46,000 --> 00:03:48,190
Q не е функция от z.

79
00:03:48,190 --> 00:03:50,470
Значи частната производна относно z
ще бъде 0 – ще напиша това,

80
00:03:50,470 --> 00:03:52,330
за да не стане твърде объркващо.

81
00:03:52,330 --> 00:03:56,180
Значи нашият компонент i
е равен на частната производна

82
00:03:56,180 --> 00:03:57,130
на 0 относно у.

83
00:03:57,130 --> 00:04:01,000
Това също е нула, минус
частната производна на Q

84
00:04:01,000 --> 00:04:02,290
относно z.

85
00:04:02,290 --> 00:04:04,340
Частната производна на Q относно z

86
00:04:04,340 --> 00:04:05,700
също е нула.

87
00:04:05,700 --> 00:04:07,500
Значи имаме нулев i-компонент.

88
00:04:07,500 --> 00:04:10,260
След това просто изваждаме
j-компонента.

89
00:04:10,260 --> 00:04:16,700
За j-компонента – частната 
производна на 0 относно х е 0.

90
00:04:16,700 --> 00:04:22,400
После от това вадим частната
производна на Р относно z.

91
00:04:22,400 --> 00:04:25,590
Отново, Р не е функция от z.

92
00:04:25,590 --> 00:04:28,160
Значи това пак ще бъде 0.

93
00:04:28,160 --> 00:04:34,410
След това имаме плюк k
по частната производна на Q относно х.

94
00:04:34,410 --> 00:04:36,320
Спомни си, че това е просто
оператор за частна производна.

95
00:04:36,320 --> 00:04:41,160
Значи частната производна
на Q относно х.

96
00:04:41,160 --> 00:04:49,690
От нея ще извадим частната
производна на Р относно у.

97
00:04:49,690 --> 00:04:56,150
Ротацията на F се опрости
до това нещо ето тук.
(огражда го)

98
00:04:56,150 --> 00:04:58,880
А колко е n?

99
00:04:58,880 --> 00:05:02,250
Това е единичният нормален вектор.

100
00:05:02,250 --> 00:05:04,300
Намираме се в равнината ху.

101
00:05:04,300 --> 00:05:05,930
Следователно единичният 
нормален вектор

102
00:05:05,930 --> 00:05:07,940
ще сочи просто нагоре в посока z.

103
00:05:07,940 --> 00:05:10,390
Ще има дължина единица.

104
00:05:10,390 --> 00:05:12,450
В този случай нашият
единичен нормален вектор

105
00:05:12,450 --> 00:05:14,660
ще бъде просто вектор k.

106
00:05:14,660 --> 00:05:18,490
Така че взимаме... ротацията
на F е ето това нещо.

107
00:05:18,490 --> 00:05:21,880
Единичният нормален вектор

108
00:05:21,880 --> 00:05:24,510
е равен на вектор k –

109
00:05:24,510 --> 00:05:26,920
той е просто единичният k вектор.

110
00:05:26,920 --> 00:05:28,230
Ще сочи ето така.

111
00:05:28,230 --> 00:05:31,160
Какво се получава, когато намерим
скаларното произведение на ротацията на F и k?

112
00:05:31,160 --> 00:05:34,030
Просто намираме скаларното
произведение на това и вектор.

113
00:05:34,030 --> 00:05:36,080
Намираме просто скаларното 
произведение на това и на вектор k.

114
00:05:36,080 --> 00:05:39,730
Ще получим тази част ето тук.
(огражда я)

115
00:05:39,730 --> 00:05:43,930
Значи скаларното произведение на ротацията 
на F и единичния нормален вектор

116
00:05:43,930 --> 00:05:45,400
е равно просто на това нещо.
(което е оградено с виолетово)

117
00:05:45,400 --> 00:05:50,050
Равно е на частната производна 
на Q относно х

118
00:05:50,050 --> 00:05:54,980
минус частната производна на Р относно у.

119
00:05:54,980 --> 00:05:57,944
Това е чудесно, защото
когато използваме теоремата на Стокс

120
00:05:57,944 --> 00:05:59,610
в този конкретен случай,
когато имаме

121
00:05:59,610 --> 00:06:03,030
плоска повърхнина в равнината ху,

122
00:06:03,030 --> 00:06:07,960
в този случай това ни дава
просто теоремата на Грийн.

123
00:06:07,960 --> 00:06:12,030
Това нещо ето тук просто
се сведе до теоремата на Грийн.

124
00:06:12,030 --> 00:06:15,920
Виждаме, че теоремата на Грийн
е просто специален случай...

125
00:06:15,920 --> 00:06:17,840
ще запиша "теорема" по-четливо.

126
00:06:17,840 --> 00:06:20,390
Виждаме, че теоремата
на Грийн по същество

127
00:06:20,390 --> 00:06:22,800
е просто частен случай на 
теоремата на Стокс,

128
00:06:22,800 --> 00:06:27,360
когато повърхнината е плоска
и лежи в равнината ху.

129
00:06:27,360 --> 00:06:30,140
Това трябва да ни дава
увереност, макар че

130
00:06:30,140 --> 00:06:32,240
още не сме доказали
теоремата на Стокс.

131
00:06:32,240 --> 00:06:34,530
Едно нещо, което харесваме
относно това, е фактът, че

132
00:06:34,530 --> 00:06:36,780
теоремата на Грийн и теоремата на Стокс
са консистентни помежду си,

133
00:06:36,780 --> 00:06:39,430
поради което ето това тук
придобива смисъл.

134
00:06:39,430 --> 00:06:40,810
Когато за пръв път разглеждахме
теоремата на Грийн,

135
00:06:40,810 --> 00:06:41,380
ние се чудихме за какво се отнася тя.

136
00:06:41,380 --> 00:06:42,565
Какво означава тя?

137
00:06:42,565 --> 00:06:44,190
Сега това просто ни казва, че

138
00:06:44,190 --> 00:06:47,920
просто намираме ротацията
в тази област в повърхнината.

139
00:06:47,920 --> 00:06:50,840
Сега това придобива смисъл, когато стъпим

140
00:06:50,840 --> 00:06:54,090
върху това, което видяхме
в предишното видео.