WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:03.242
В последното видео започнахме
да разглеждаме теоремата на Стокс.

00:00:03.242 --> 00:00:04.700
Сега в това видео искам

00:00:04.700 --> 00:00:06.820
да видим дали тя е в унисон

00:00:06.820 --> 00:00:09.050
с това, което сме учили досега.

00:00:09.050 --> 00:00:12.190
За да го направим, да си представим...
ще начертая координатните оси.

00:00:12.190 --> 00:00:14.340
Това е оста z.

00:00:14.340 --> 00:00:16.680
Това е оста х.

00:00:16.680 --> 00:00:19.610
Това е оста у.

00:00:19.610 --> 00:00:23.430
Сега си представи една област
в равнината ху.

00:00:23.430 --> 00:00:25.770
Ще я начертая по следния начин.

00:00:25.770 --> 00:00:30.670
Да кажем, че това е нашата
област в равнината ху.

00:00:30.670 --> 00:00:34.850
Ще означа тази област като R.

00:00:34.850 --> 00:00:36.580
Имаме някаква граница на тази област.

00:00:36.580 --> 00:00:39.470
Да кажем, че ни интересува
посоката, по която

00:00:39.470 --> 00:00:40.720
се движим по тази граница.

00:00:40.720 --> 00:00:41.650
Да кажем, че се движим

00:00:41.650 --> 00:00:43.180
обратно на часовниковата стрелка.

00:00:43.180 --> 00:00:47.150
Значи имаме този контур около
нашата област.

00:00:47.150 --> 00:00:49.890
Ще означа контура с 'c

00:00:49.890 --> 00:00:51.950
Значи това е контурът 'c',

00:00:51.950 --> 00:00:57.010
по който се движим обратно
на часовниковата стрелка.

00:00:57.010 --> 00:01:02.310
Да кажем, че е дадено едно
векторно поле F.

00:01:02.310 --> 00:01:05.360
Неговият i-компонент е

00:01:05.360 --> 00:01:08.030
функцията Р от х и от у.

00:01:08.030 --> 00:01:12.530
Неговият j компонент 
е функцията Q от х и от у.

00:01:12.530 --> 00:01:14.780
Да кажем, че няма k-компонент.

00:01:14.780 --> 00:01:17.230
Векторното поле в тази област

00:01:17.230 --> 00:01:18.750
изглежда примерно ето така.

00:01:18.750 --> 00:01:20.422
Ще начертая някакви произволни
вектори.

00:01:20.422 --> 00:01:21.880
След това, когато напуснем
тази област,

00:01:21.880 --> 00:01:23.350
ако се движим в посока z,

00:01:23.350 --> 00:01:25.700
векторното поле е едно и също,
когато отиваме все по-високо и по-високо.

00:01:25.700 --> 00:01:27.930
Значи този вектор не се променя,

00:01:27.930 --> 00:01:29.660
когато се променя z-компонента.

00:01:29.660 --> 00:01:31.450
Всички вектори са по същество

00:01:31.450 --> 00:01:35.790
успоредни на... или ако z е равно на 0,

00:01:35.790 --> 00:01:39.100
всички те лежат в равнината ху.

00:01:39.100 --> 00:01:41.480
Като знаем това, да помислим

00:01:41.480 --> 00:01:45.250
какво ни казва теоремата на Стокс
за стойността на

00:01:45.250 --> 00:01:48.980
криволинейния интеграл
по затворения контур –

00:01:48.980 --> 00:01:51.470
ще го направя малко по-старателно –

00:01:51.470 --> 00:01:57.860
криволинейния интеграл по
контура 'c',

00:01:57.860 --> 00:02:05.960
от скаларното произведение на F и dr,

00:02:05.960 --> 00:02:08.280
където dr очевидно се движи по контура.

00:02:08.280 --> 00:02:11.470
Ако вземем теоремата на Стокс,
тогава тази величина ето тук
(показва с мишката)

00:02:11.470 --> 00:02:14.610
трябва да е равна на 
тази величина ето тук.
(показва с мишката)

00:02:14.610 --> 00:02:18.850
Криволинейният интеграл трябва да е равен
на двойния интеграл по повърхнината.

00:02:18.850 --> 00:02:21.270
Тази област всъщност е
една повърхнина, която

00:02:21.270 --> 00:02:23.450
лежи в равнината ху.

00:02:23.450 --> 00:02:26.077
Така че това е равно на двойния интеграл...

00:02:26.077 --> 00:02:27.660
ще напиша това със същия цвят –

00:02:27.660 --> 00:02:31.310
равно на двойния интеграл по
тази област, което всъщност

00:02:31.310 --> 00:02:35.110
е равно на повърхнината...

00:02:35.110 --> 00:02:37.840
на скаларното произведение 
на ротацията на F по n.

00:02:37.840 --> 00:02:40.437
Да помислим какво означава
това скаларно произведение на ротацията на F по n.

00:02:40.437 --> 00:02:42.270
dS е просто малко парченце от тази област –

00:02:42.270 --> 00:02:46.220
малко парченце от тази плоска 
повърхнина ето тук.

00:02:46.220 --> 00:02:50.180
Вместо dS мога да напиша просто dA.

00:02:50.180 --> 00:02:54.000
Но да помислим какво представлява
скаларното произведение на ротацията на F по n.

00:02:54.000 --> 00:02:56.060
Първо да разгледаме ротацията на F.

00:02:56.060 --> 00:02:58.910
Значи ротацията на F –
начинът, по който винаги

00:02:58.910 --> 00:03:00.810
запомням това е, че намираме

00:03:00.810 --> 00:03:06.850
детерминантата на една матрица, която съдържа
ijk; частните производни относно х,

00:03:06.850 --> 00:03:10.820
частните производни относно у

00:03:10.820 --> 00:03:12.330
и частните производни относно z.

00:03:12.330 --> 00:03:14.450
Това е просто дефиницията
за ротация на векторно поле.

00:03:14.450 --> 00:03:16.820
Намираме колко много
векторното поле ще накара

00:03:16.820 --> 00:03:18.910
нещо да се върти.

00:03:18.910 --> 00:03:20.980
След това имаме компонента i,

00:03:20.980 --> 00:03:24.416
който е функцията Р, която
просто е функция от х и от у,

00:03:24.416 --> 00:03:26.990
j-компонентът е функция от Q.

00:03:26.990 --> 00:03:30.720
Тук няма z-компонент, значи 0.

00:03:30.720 --> 00:03:32.892
Това ще е равно на...

00:03:32.892 --> 00:03:34.350
ако разгледаме i-компонента,

00:03:34.350 --> 00:03:37.420
той ще бъде частната производна 
от 0, значи е просто 0.

00:03:37.420 --> 00:03:43.450
Минус частната производна на Q относно z.

00:03:43.450 --> 00:03:46.000
Колко е частната производна 
на Q относно z?

00:03:46.000 --> 00:03:48.190
Q не е функция от z.

00:03:48.190 --> 00:03:50.470
Значи частната производна относно z
ще бъде 0 – ще напиша това,

00:03:50.470 --> 00:03:52.330
за да не стане твърде объркващо.

00:03:52.330 --> 00:03:56.180
Значи нашият компонент i
е равен на частната производна

00:03:56.180 --> 00:03:57.130
на 0 относно у.

00:03:57.130 --> 00:04:01.000
Това също е нула, минус
частната производна на Q

00:04:01.000 --> 00:04:02.290
относно z.

00:04:02.290 --> 00:04:04.340
Частната производна на Q относно z

00:04:04.340 --> 00:04:05.700
също е нула.

00:04:05.700 --> 00:04:07.500
Значи имаме нулев i-компонент.

00:04:07.500 --> 00:04:10.260
След това просто изваждаме
j-компонента.

00:04:10.260 --> 00:04:16.700
За j-компонента – частната 
производна на 0 относно х е 0.

00:04:16.700 --> 00:04:22.400
После от това вадим частната
производна на Р относно z.

00:04:22.400 --> 00:04:25.590
Отново, Р не е функция от z.

00:04:25.590 --> 00:04:28.160
Значи това пак ще бъде 0.

00:04:28.160 --> 00:04:34.410
След това имаме плюк k
по частната производна на Q относно х.

00:04:34.410 --> 00:04:36.320
Спомни си, че това е просто
оператор за частна производна.

00:04:36.320 --> 00:04:41.160
Значи частната производна
на Q относно х.

00:04:41.160 --> 00:04:49.690
От нея ще извадим частната
производна на Р относно у.

00:04:49.690 --> 00:04:56.150
Ротацията на F се опрости
до това нещо ето тук.
(огражда го)

00:04:56.150 --> 00:04:58.880
А колко е n?

00:04:58.880 --> 00:05:02.250
Това е единичният нормален вектор.

00:05:02.250 --> 00:05:04.300
Намираме се в равнината ху.

00:05:04.300 --> 00:05:05.930
Следователно единичният 
нормален вектор

00:05:05.930 --> 00:05:07.940
ще сочи просто нагоре в посока z.

00:05:07.940 --> 00:05:10.390
Ще има дължина единица.

00:05:10.390 --> 00:05:12.450
В този случай нашият
единичен нормален вектор

00:05:12.450 --> 00:05:14.660
ще бъде просто вектор k.

00:05:14.660 --> 00:05:18.490
Така че взимаме... ротацията
на F е ето това нещо.

00:05:18.490 --> 00:05:21.880
Единичният нормален вектор

00:05:21.880 --> 00:05:24.510
е равен на вектор k –

00:05:24.510 --> 00:05:26.920
той е просто единичният k вектор.

00:05:26.920 --> 00:05:28.230
Ще сочи ето така.

00:05:28.230 --> 00:05:31.160
Какво се получава, когато намерим
скаларното произведение на ротацията на F и k?

00:05:31.160 --> 00:05:34.030
Просто намираме скаларното
произведение на това и вектор.

00:05:34.030 --> 00:05:36.080
Намираме просто скаларното 
произведение на това и на вектор k.

00:05:36.080 --> 00:05:39.730
Ще получим тази част ето тук.
(огражда я)

00:05:39.730 --> 00:05:43.930
Значи скаларното произведение на ротацията 
на F и единичния нормален вектор

00:05:43.930 --> 00:05:45.400
е равно просто на това нещо.
(което е оградено с виолетово)

00:05:45.400 --> 00:05:50.050
Равно е на частната производна 
на Q относно х

00:05:50.050 --> 00:05:54.980
минус частната производна на Р относно у.

00:05:54.980 --> 00:05:57.944
Това е чудесно, защото
когато използваме теоремата на Стокс

00:05:57.944 --> 00:05:59.610
в този конкретен случай,
когато имаме

00:05:59.610 --> 00:06:03.030
плоска повърхнина в равнината ху,

00:06:03.030 --> 00:06:07.960
в този случай това ни дава
просто теоремата на Грийн.

00:06:07.960 --> 00:06:12.030
Това нещо ето тук просто
се сведе до теоремата на Грийн.

00:06:12.030 --> 00:06:15.920
Виждаме, че теоремата на Грийн
е просто специален случай...

00:06:15.920 --> 00:06:17.840
ще запиша "теорема" по-четливо.

00:06:17.840 --> 00:06:20.390
Виждаме, че теоремата
на Грийн по същество

00:06:20.390 --> 00:06:22.800
е просто частен случай на 
теоремата на Стокс,

00:06:22.800 --> 00:06:27.360
когато повърхнината е плоска
и лежи в равнината ху.

00:06:27.360 --> 00:06:30.140
Това трябва да ни дава
увереност, макар че

00:06:30.140 --> 00:06:32.240
още не сме доказали
теоремата на Стокс.

00:06:32.240 --> 00:06:34.530
Едно нещо, което харесваме
относно това, е фактът, че

00:06:34.530 --> 00:06:36.780
теоремата на Грийн и теоремата на Стокс
са консистентни помежду си,

00:06:36.780 --> 00:06:39.430
поради което ето това тук
придобива смисъл.

00:06:39.430 --> 00:06:40.810
Когато за пръв път разглеждахме
теоремата на Грийн,

00:06:40.810 --> 00:06:41.380
ние се чудихме за какво се отнася тя.

00:06:41.380 --> 00:06:42.565
Какво означава тя?

00:06:42.565 --> 00:06:44.190
Сега това просто ни казва, че

00:06:44.190 --> 00:06:47.920
просто намираме ротацията
в тази област в повърхнината.

00:06:47.920 --> 00:06:50.840
Сега това придобива смисъл, когато стъпим

00:06:50.840 --> 00:06:54.090
върху това, което видяхме
в предишното видео.