[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:03.24,Default,,0000,0000,0000,,В последното видео започнахме\Nда разглеждаме теоремата на Стокс.
Dialogue: 0,0:00:03.24,0:00:04.70,Default,,0000,0000,0000,,Сега в това видео искам
Dialogue: 0,0:00:04.70,0:00:06.82,Default,,0000,0000,0000,,да видим дали тя е в унисон
Dialogue: 0,0:00:06.82,0:00:09.05,Default,,0000,0000,0000,,с това, което сме учили досега.
Dialogue: 0,0:00:09.05,0:00:12.19,Default,,0000,0000,0000,,За да го направим, да си представим...\Nще начертая координатните оси.
Dialogue: 0,0:00:12.19,0:00:14.34,Default,,0000,0000,0000,,Това е оста z.
Dialogue: 0,0:00:14.34,0:00:16.68,Default,,0000,0000,0000,,Това е оста х.
Dialogue: 0,0:00:16.68,0:00:19.61,Default,,0000,0000,0000,,Това е оста у.
Dialogue: 0,0:00:19.61,0:00:23.43,Default,,0000,0000,0000,,Сега си представи една област\Nв равнината ху.
Dialogue: 0,0:00:23.43,0:00:25.77,Default,,0000,0000,0000,,Ще я начертая по следния начин.
Dialogue: 0,0:00:25.77,0:00:30.67,Default,,0000,0000,0000,,Да кажем, че това е нашата\Nобласт в равнината ху.
Dialogue: 0,0:00:30.67,0:00:34.85,Default,,0000,0000,0000,,Ще означа тази област като R.
Dialogue: 0,0:00:34.85,0:00:36.58,Default,,0000,0000,0000,,Имаме някаква граница на тази област.
Dialogue: 0,0:00:36.58,0:00:39.47,Default,,0000,0000,0000,,Да кажем, че ни интересува\Nпосоката, по която
Dialogue: 0,0:00:39.47,0:00:40.72,Default,,0000,0000,0000,,се движим по тази граница.
Dialogue: 0,0:00:40.72,0:00:41.65,Default,,0000,0000,0000,,Да кажем, че се движим
Dialogue: 0,0:00:41.65,0:00:43.18,Default,,0000,0000,0000,,обратно на часовниковата стрелка.
Dialogue: 0,0:00:43.18,0:00:47.15,Default,,0000,0000,0000,,Значи имаме този контур около\Nнашата област.
Dialogue: 0,0:00:47.15,0:00:49.89,Default,,0000,0000,0000,,Ще означа контура с 'c
Dialogue: 0,0:00:49.89,0:00:51.95,Default,,0000,0000,0000,,Значи това е контурът 'c',
Dialogue: 0,0:00:51.95,0:00:57.01,Default,,0000,0000,0000,,по който се движим обратно\Nна часовниковата стрелка.
Dialogue: 0,0:00:57.01,0:01:02.31,Default,,0000,0000,0000,,Да кажем, че е дадено едно\Nвекторно поле F.
Dialogue: 0,0:01:02.31,0:01:05.36,Default,,0000,0000,0000,,Неговият i-компонент е
Dialogue: 0,0:01:05.36,0:01:08.03,Default,,0000,0000,0000,,функцията Р от х и от у.
Dialogue: 0,0:01:08.03,0:01:12.53,Default,,0000,0000,0000,,Неговият j компонент \Nе функцията Q от х и от у.
Dialogue: 0,0:01:12.53,0:01:14.78,Default,,0000,0000,0000,,Да кажем, че няма k-компонент.
Dialogue: 0,0:01:14.78,0:01:17.23,Default,,0000,0000,0000,,Векторното поле в тази област
Dialogue: 0,0:01:17.23,0:01:18.75,Default,,0000,0000,0000,,изглежда примерно ето така.
Dialogue: 0,0:01:18.75,0:01:20.42,Default,,0000,0000,0000,,Ще начертая някакви произволни\Nвектори.
Dialogue: 0,0:01:20.42,0:01:21.88,Default,,0000,0000,0000,,След това, когато напуснем\Nтази област,
Dialogue: 0,0:01:21.88,0:01:23.35,Default,,0000,0000,0000,,ако се движим в посока z,
Dialogue: 0,0:01:23.35,0:01:25.70,Default,,0000,0000,0000,,векторното поле е едно и също,\Nкогато отиваме все по-високо и по-високо.
Dialogue: 0,0:01:25.70,0:01:27.93,Default,,0000,0000,0000,,Значи този вектор не се променя,
Dialogue: 0,0:01:27.93,0:01:29.66,Default,,0000,0000,0000,,когато се променя z-компонента.
Dialogue: 0,0:01:29.66,0:01:31.45,Default,,0000,0000,0000,,Всички вектори са по същество
Dialogue: 0,0:01:31.45,0:01:35.79,Default,,0000,0000,0000,,успоредни на... или ако z е равно на 0,
Dialogue: 0,0:01:35.79,0:01:39.10,Default,,0000,0000,0000,,всички те лежат в равнината ху.
Dialogue: 0,0:01:39.10,0:01:41.48,Default,,0000,0000,0000,,Като знаем това, да помислим
Dialogue: 0,0:01:41.48,0:01:45.25,Default,,0000,0000,0000,,какво ни казва теоремата на Стокс\Nза стойността на
Dialogue: 0,0:01:45.25,0:01:48.98,Default,,0000,0000,0000,,криволинейния интеграл\Nпо затворения контур –
Dialogue: 0,0:01:48.98,0:01:51.47,Default,,0000,0000,0000,,ще го направя малко по-старателно –
Dialogue: 0,0:01:51.47,0:01:57.86,Default,,0000,0000,0000,,криволинейния интеграл по\Nконтура 'c',
Dialogue: 0,0:01:57.86,0:02:05.96,Default,,0000,0000,0000,,от скаларното произведение на F и dr,
Dialogue: 0,0:02:05.96,0:02:08.28,Default,,0000,0000,0000,,където dr очевидно се движи по контура.
Dialogue: 0,0:02:08.28,0:02:11.47,Default,,0000,0000,0000,,Ако вземем теоремата на Стокс,\Nтогава тази величина ето тук\N(показва с мишката)
Dialogue: 0,0:02:11.47,0:02:14.61,Default,,0000,0000,0000,,трябва да е равна на \Nтази величина ето тук.\N(показва с мишката)
Dialogue: 0,0:02:14.61,0:02:18.85,Default,,0000,0000,0000,,Криволинейният интеграл трябва да е равен\Nна двойния интеграл по повърхнината.
Dialogue: 0,0:02:18.85,0:02:21.27,Default,,0000,0000,0000,,Тази област всъщност е\Nедна повърхнина, която
Dialogue: 0,0:02:21.27,0:02:23.45,Default,,0000,0000,0000,,лежи в равнината ху.
Dialogue: 0,0:02:23.45,0:02:26.08,Default,,0000,0000,0000,,Така че това е равно на двойния интеграл...
Dialogue: 0,0:02:26.08,0:02:27.66,Default,,0000,0000,0000,,ще напиша това със същия цвят –
Dialogue: 0,0:02:27.66,0:02:31.31,Default,,0000,0000,0000,,равно на двойния интеграл по\Nтази област, което всъщност
Dialogue: 0,0:02:31.31,0:02:35.11,Default,,0000,0000,0000,,е равно на повърхнината...
Dialogue: 0,0:02:35.11,0:02:37.84,Default,,0000,0000,0000,,на скаларното произведение \Nна ротацията на F по n.
Dialogue: 0,0:02:37.84,0:02:40.44,Default,,0000,0000,0000,,Да помислим какво означава\Nтова скаларно произведение на ротацията на F по n.
Dialogue: 0,0:02:40.44,0:02:42.27,Default,,0000,0000,0000,,dS е просто малко парченце от тази област –
Dialogue: 0,0:02:42.27,0:02:46.22,Default,,0000,0000,0000,,малко парченце от тази плоска \Nповърхнина ето тук.
Dialogue: 0,0:02:46.22,0:02:50.18,Default,,0000,0000,0000,,Вместо dS мога да напиша просто dA.
Dialogue: 0,0:02:50.18,0:02:54.00,Default,,0000,0000,0000,,Но да помислим какво представлява\Nскаларното произведение на ротацията на F по n.
Dialogue: 0,0:02:54.00,0:02:56.06,Default,,0000,0000,0000,,Първо да разгледаме ротацията на F.
Dialogue: 0,0:02:56.06,0:02:58.91,Default,,0000,0000,0000,,Значи ротацията на F –\Nначинът, по който винаги
Dialogue: 0,0:02:58.91,0:03:00.81,Default,,0000,0000,0000,,запомням това е, че намираме
Dialogue: 0,0:03:00.81,0:03:06.85,Default,,0000,0000,0000,,детерминантата на една матрица, която съдържа\Nijk; частните производни относно х,
Dialogue: 0,0:03:06.85,0:03:10.82,Default,,0000,0000,0000,,частните производни относно у
Dialogue: 0,0:03:10.82,0:03:12.33,Default,,0000,0000,0000,,и частните производни относно z.
Dialogue: 0,0:03:12.33,0:03:14.45,Default,,0000,0000,0000,,Това е просто дефиницията\Nза ротация на векторно поле.
Dialogue: 0,0:03:14.45,0:03:16.82,Default,,0000,0000,0000,,Намираме колко много\Nвекторното поле ще накара
Dialogue: 0,0:03:16.82,0:03:18.91,Default,,0000,0000,0000,,нещо да се върти.
Dialogue: 0,0:03:18.91,0:03:20.98,Default,,0000,0000,0000,,След това имаме компонента i,
Dialogue: 0,0:03:20.98,0:03:24.42,Default,,0000,0000,0000,,който е функцията Р, която\Nпросто е функция от х и от у,
Dialogue: 0,0:03:24.42,0:03:26.99,Default,,0000,0000,0000,,j-компонентът е функция от Q.
Dialogue: 0,0:03:26.99,0:03:30.72,Default,,0000,0000,0000,,Тук няма z-компонент, значи 0.
Dialogue: 0,0:03:30.72,0:03:32.89,Default,,0000,0000,0000,,Това ще е равно на...
Dialogue: 0,0:03:32.89,0:03:34.35,Default,,0000,0000,0000,,ако разгледаме i-компонента,
Dialogue: 0,0:03:34.35,0:03:37.42,Default,,0000,0000,0000,,той ще бъде частната производна \Nспрямо у от 0, значи е просто 0,
Dialogue: 0,0:03:37.42,0:03:43.45,Default,,0000,0000,0000,,минус частната производна на Q относно z.
Dialogue: 0,0:03:43.45,0:03:46.00,Default,,0000,0000,0000,,Колко е частната производна \Nна Q относно z?
Dialogue: 0,0:03:46.00,0:03:48.19,Default,,0000,0000,0000,,Q не е функция от z.
Dialogue: 0,0:03:48.19,0:03:50.47,Default,,0000,0000,0000,,Значи частната производна относно z\Nще бъде 0 – ще напиша това,
Dialogue: 0,0:03:50.47,0:03:52.33,Default,,0000,0000,0000,,за да не стане твърде объркващо.
Dialogue: 0,0:03:52.33,0:03:56.18,Default,,0000,0000,0000,,Значи нашият компонент i\Nе равен на частната производна
Dialogue: 0,0:03:56.18,0:03:57.13,Default,,0000,0000,0000,,на 0 относно у.
Dialogue: 0,0:03:57.13,0:04:01.00,Default,,0000,0000,0000,,Това също е нула, минус\Nчастната производна на Q
Dialogue: 0,0:04:01.00,0:04:02.29,Default,,0000,0000,0000,,относно z.
Dialogue: 0,0:04:02.29,0:04:04.34,Default,,0000,0000,0000,,Частната производна на Q относно z
Dialogue: 0,0:04:04.34,0:04:05.70,Default,,0000,0000,0000,,също е нула.
Dialogue: 0,0:04:05.70,0:04:07.50,Default,,0000,0000,0000,,Значи имаме нулев i-компонент.
Dialogue: 0,0:04:07.50,0:04:10.26,Default,,0000,0000,0000,,След това просто изваждаме\Nj-компонента.
Dialogue: 0,0:04:10.26,0:04:16.70,Default,,0000,0000,0000,,За j-компонента – частната \Nпроизводна на 0 относно х е 0.
Dialogue: 0,0:04:16.70,0:04:22.40,Default,,0000,0000,0000,,После от това вадим частната\Nпроизводна на Р относно z.
Dialogue: 0,0:04:22.40,0:04:25.59,Default,,0000,0000,0000,,Отново, Р не е функция от z.
Dialogue: 0,0:04:25.59,0:04:28.16,Default,,0000,0000,0000,,Значи това пак ще бъде 0.
Dialogue: 0,0:04:28.16,0:04:34.41,Default,,0000,0000,0000,,След това имаме плюс k\Nпо частната производна на Q относно х.
Dialogue: 0,0:04:34.41,0:04:36.32,Default,,0000,0000,0000,,Спомни си, че това е просто\Nоператор за частна производна.
Dialogue: 0,0:04:36.32,0:04:41.16,Default,,0000,0000,0000,,Значи частната производна\Nна Q относно х.
Dialogue: 0,0:04:41.16,0:04:49.69,Default,,0000,0000,0000,,От нея ще извадим частната\Nпроизводна на Р относно у.
Dialogue: 0,0:04:49.69,0:04:56.15,Default,,0000,0000,0000,,Ротацията на F се опрости\Nдо това нещо ето тук.\N(огражда го)
Dialogue: 0,0:04:56.15,0:04:58.88,Default,,0000,0000,0000,,А колко е n?
Dialogue: 0,0:04:58.88,0:05:02.25,Default,,0000,0000,0000,,Това е единичният нормален вектор.
Dialogue: 0,0:05:02.25,0:05:04.30,Default,,0000,0000,0000,,Намираме се в равнината ху.
Dialogue: 0,0:05:04.30,0:05:05.93,Default,,0000,0000,0000,,Следователно единичният \Nнормален вектор
Dialogue: 0,0:05:05.93,0:05:07.94,Default,,0000,0000,0000,,ще сочи просто нагоре в посока z.
Dialogue: 0,0:05:07.94,0:05:10.39,Default,,0000,0000,0000,,Ще има дължина единица.
Dialogue: 0,0:05:10.39,0:05:12.45,Default,,0000,0000,0000,,В този случай нашият\Nединичен нормален вектор
Dialogue: 0,0:05:12.45,0:05:14.66,Default,,0000,0000,0000,,ще бъде просто вектор k.
Dialogue: 0,0:05:14.66,0:05:18.49,Default,,0000,0000,0000,,Така че взимаме... ротацията\Nна F е ето това нещо.
Dialogue: 0,0:05:18.49,0:05:21.88,Default,,0000,0000,0000,,Единичният нормален вектор
Dialogue: 0,0:05:21.88,0:05:24.51,Default,,0000,0000,0000,,е равен на вектор k –
Dialogue: 0,0:05:24.51,0:05:26.92,Default,,0000,0000,0000,,той е просто единичният k вектор.
Dialogue: 0,0:05:26.92,0:05:28.23,Default,,0000,0000,0000,,Ще сочи ето така.
Dialogue: 0,0:05:28.23,0:05:31.16,Default,,0000,0000,0000,,Какво се получава, когато намерим\Nскаларното произведение на ротацията на F и k?
Dialogue: 0,0:05:31.16,0:05:34.03,Default,,0000,0000,0000,,Просто намираме скаларното\Nпроизведение на това и вектор.
Dialogue: 0,0:05:34.03,0:05:36.08,Default,,0000,0000,0000,,Намираме просто скаларното \Nпроизведение на това и на вектор k.
Dialogue: 0,0:05:36.08,0:05:39.73,Default,,0000,0000,0000,,Ще получим тази част ето тук.\N(огражда я)
Dialogue: 0,0:05:39.73,0:05:43.93,Default,,0000,0000,0000,,Значи скаларното произведение на ротацията \Nна F и единичния нормален вектор
Dialogue: 0,0:05:43.93,0:05:45.40,Default,,0000,0000,0000,,е равно просто на това нещо.\N(което е оградено с виолетово)
Dialogue: 0,0:05:45.40,0:05:50.05,Default,,0000,0000,0000,,Равно е на частната производна \Nна Q относно х
Dialogue: 0,0:05:50.05,0:05:54.98,Default,,0000,0000,0000,,минус частната производна на Р относно у.
Dialogue: 0,0:05:54.98,0:05:57.94,Default,,0000,0000,0000,,Това е чудесно, защото\Nкогато използваме теоремата на Стокс
Dialogue: 0,0:05:57.94,0:05:59.61,Default,,0000,0000,0000,,в този конкретен случай,\Nкогато имаме
Dialogue: 0,0:05:59.61,0:06:03.03,Default,,0000,0000,0000,,плоска повърхнина в равнината ху,
Dialogue: 0,0:06:03.03,0:06:07.96,Default,,0000,0000,0000,,в този случай това ни дава\Nпросто теоремата на Грийн.
Dialogue: 0,0:06:07.96,0:06:12.03,Default,,0000,0000,0000,,Това нещо ето тук просто\Nсе сведе до теоремата на Грийн.
Dialogue: 0,0:06:12.03,0:06:15.92,Default,,0000,0000,0000,,Виждаме, че теоремата на Грийн\Nе просто специален случай...
Dialogue: 0,0:06:15.92,0:06:17.84,Default,,0000,0000,0000,,ще запиша "теорема" по-четливо.
Dialogue: 0,0:06:17.84,0:06:20.39,Default,,0000,0000,0000,,Виждаме, че теоремата\Nна Грийн по същество
Dialogue: 0,0:06:20.39,0:06:22.80,Default,,0000,0000,0000,,е просто частен случай на \Nтеоремата на Стокс,
Dialogue: 0,0:06:22.80,0:06:27.36,Default,,0000,0000,0000,,когато повърхнината е плоска\Nи лежи в равнината ху.
Dialogue: 0,0:06:27.36,0:06:30.14,Default,,0000,0000,0000,,Това трябва да ни дава\Nувереност, макар че
Dialogue: 0,0:06:30.14,0:06:32.24,Default,,0000,0000,0000,,още не сме доказали\Nтеоремата на Стокс.
Dialogue: 0,0:06:32.24,0:06:34.53,Default,,0000,0000,0000,,Едно нещо, което харесваме\Nотносно това, е фактът, че
Dialogue: 0,0:06:34.53,0:06:36.78,Default,,0000,0000,0000,,теоремата на Грийн и теоремата на Стокс\Nса съвместими помежду си,
Dialogue: 0,0:06:36.78,0:06:39.43,Default,,0000,0000,0000,,поради което ето това тук\Nпридобива смисъл.
Dialogue: 0,0:06:39.43,0:06:40.81,Default,,0000,0000,0000,,Когато за пръв път разглеждахме\Nтеоремата на Грийн,
Dialogue: 0,0:06:40.81,0:06:41.38,Default,,0000,0000,0000,,ние се чудихме за какво се отнася тя.
Dialogue: 0,0:06:41.38,0:06:42.56,Default,,0000,0000,0000,,Какво означава тя?
Dialogue: 0,0:06:42.56,0:06:44.19,Default,,0000,0000,0000,,Сега това просто ни казва, че
Dialogue: 0,0:06:44.19,0:06:47.92,Default,,0000,0000,0000,,просто намираме ротацията\Nв тази област в повърхнината.
Dialogue: 0,0:06:47.92,0:06:50.84,Default,,0000,0000,0000,,Сега това придобива смисъл, когато стъпим
Dialogue: 0,0:06:50.84,0:06:54.09,Default,,0000,0000,0000,,върху това, което видяхме\Nв предишното видео.