0:00:00.000,0:00:00.520


0:00:00.520,0:00:03.242
저번 영상부터 우리는 [br]스토크스 정리에 대해서 알아보았습니다

0:00:03.242,0:00:04.700
그리고 이번 영상에서는

0:00:04.700,0:00:07.060
이 스토크스 정리가 주장하는 바가

0:00:07.060,0:00:09.050
우리가 배워 온 다른 정리와 일관되는지를 보고자 합니다

0:00:09.050,0:00:12.190
먼저 좌표공간을 그려보겠습니다

0:00:12.190,0:00:14.340
이것이 z축이고요

0:00:14.340,0:00:16.680
x축이고요

0:00:16.680,0:00:19.610
y축입니다

0:00:19.610,0:00:23.430
xy 평면에 어떤 영역이 있다고 합시다

0:00:23.430,0:00:25.770
이렇게 생겼습니다

0:00:25.770,0:00:30.670


0:00:30.670,0:00:34.850
이 영역을 R이라고 하겠습니다

0:00:34.850,0:00:41.140
그리고 이 영역의 경계선의 방향에 대해서도[br]생각해 볼 것인데요,

0:00:41.140,0:00:43.280
이 경로의 방향이 반시계방향이라고 합시다

0:00:43.280,0:00:47.150
즉 다음과 같이 영역 R의 경계를

0:00:47.150,0:00:49.890
반시계방향으로 따라가는 경로를[br]경로 c라고 부르겠습니다

0:00:49.890,0:00:51.950
반시계방향으로 따라가는 경로를[br]경로 c라고 부르겠습니다

0:00:51.950,0:00:57.010
반시계방향으로 따라가는 경로를[br]경로 c라고 부르겠습니다

0:00:57.010,0:01:02.310
또한 벡터장 f가 있다고 합시다

0:01:02.310,0:01:05.360
이 벡터장의 i 성분은

0:01:05.360,0:01:08.030
x, y로 이루어진 함수이고

0:01:08.030,0:01:12.660
j 성분 역시 오직 x, y로 이루어진 함수이며

0:01:12.660,0:01:14.780
그리고 k 성분은 없습니다

0:01:14.780,0:01:17.230
이 영역에서의 벡터장은

0:01:17.230,0:01:18.750
이렇게 나타난다고 하면,

0:01:18.750,0:01:20.422
아무렇게나 그린 겁니다

0:01:20.422,0:01:23.360
이 영역에서 z축 상으로 올라가도

0:01:23.360,0:01:25.700
(벡터장 식에 z가 없으므로)[br]벡터장은 똑같이 생겼을 것입니다

0:01:25.700,0:01:27.930
그러니까 z축으로 올라가도 이 벡터는

0:01:27.930,0:01:29.660
계속 똑같을 것이란 말입니다

0:01:29.660,0:01:32.420
즉슨, 이 벡터장은 z축 방향으로 평행합니다

0:01:32.420,0:01:38.860
z=0일 때에는 지금 그림에서처럼 [br]xy 평면 위에 얹혀있고요

0:01:39.100,0:01:41.480
이 상태에서,

0:01:41.480,0:01:46.010
스토크스 방정식이 우리에게

0:01:46.010,0:01:48.980
윤곽에 대한 선적분에 대해 시사하는 바를 알아봅시다

0:01:48.980,0:01:51.470


0:01:51.470,0:02:03.640
f 도트 dr 의 경로 c에 대한 선적분

0:02:03.640,0:02:08.200
여기서 dr은 경로 c를 따르는 방향입니다

0:02:08.280,0:02:11.470
스토크스 정리를 따르면, 이 식의 값은

0:02:11.470,0:02:13.850
여기 위에 써놓은 식의 값과 같아야 합니다

0:02:13.850,0:02:14.610


0:02:14.610,0:02:18.850
즉슨, 이 경로 c가 결정하는 영역 R에 대한

0:02:18.850,0:02:21.270
이중적분과 같아야 합니다

0:02:23.450,0:02:26.077
식으로 쓰자면,

0:02:26.080,0:02:31.480
영역 R에 대한 이중적분

0:02:31.480,0:02:35.100


0:02:35.110,0:02:37.840
회전(curl) f 내적 n 으로 쓸 수 있습니다

0:02:37.840,0:02:40.437
그런데 여기서 curl f 내적 n 이 무엇인지 생각해 봅시다

0:02:40.437,0:02:42.270
어차피 뒤에 오는 ds는 면적 R의

0:02:42.270,0:02:45.510
매우 작은 한 부분일 뿐이라는 것을 이미 알고 있습니다

0:02:45.510,0:02:46.220


0:02:46.220,0:02:50.180
그런 의미에서 dA라고 쓸 수 있습니다

0:02:50.180,0:02:54.000
하지만 curl f 내적 n이 의미하는 바가 조금 불명확한데요

0:02:54.000,0:02:56.060
먼저 curl f에 대해서 봅시다

0:02:56.060,0:02:58.910
curl f는

0:02:58.910,0:03:00.810
제가 외우는 방식대로 하자면

0:03:00.810,0:03:06.850
먼저 i, j, k를 쓰고

0:03:06.850,0:03:12.180
x에 대한 편미분, y에 대한 편미분,[br]z에 대한 편미분

0:03:12.320,0:03:14.440
참고로 이것은 그냥 curl의 정의일 뿐입니다

0:03:14.450,0:03:16.820
우리는 이 벡터장이

0:03:16.820,0:03:18.910
얼마만큼의 회전을 일으키는지를 보고자 하는 것입니다

0:03:18.910,0:03:23.720
그리고 마지막으로 i 성분의 함수 P(x, y)

0:03:24.420,0:03:26.990
그리고 j 성분 Q

0:03:26.990,0:03:30.720
그리고 k 성분은 없으므로 0이 되겠네요

0:03:30.720,0:03:32.892
이 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

0:03:32.892,0:03:34.350
먼저 i 성분을 보자면

0:03:34.350,0:03:35.960
0을 y에 대해서 편미분 한 것이 되므로

0:03:35.960,0:03:42.640
그냥 0에다가, 빼기[br]Q의 z에 대한 편미분인데

0:03:43.450,0:03:46.000
Q는 z에 대한 식이 ㅓㄴ혀 아니므로

0:03:46.000,0:03:48.190
Q의 z에 대한 편미분은 그저 0이 됩니다

0:03:48.190,0:03:50.470
따라서 0 빼기 0이므로 그냥 0입니다

0:03:50.470,0:03:52.330
헷갈리는 분들을 위해 적어 보이겠습니다

0:03:52.330,0:03:56.180
먼저 i 성분은 0의 y에 대한 편미분

0:03:56.180,0:03:57.130


0:03:57.130,0:03:59.560
그럼 그냥 0이 되고요

0:03:59.560,0:04:02.280
빼기 Q의 z에 대한 편미분

0:04:02.290,0:04:04.340
그런데 Q는 z에 관계있는 식이 아니므로

0:04:04.340,0:04:05.700
이것도 0이 됩니다

0:04:05.700,0:04:07.500
따라서 0i 가 됩니다

0:04:07.500,0:04:10.260
그리고 j에 대해서 해보자면

0:04:10.260,0:04:16.700
먼저 0의 x에 대한 편미분은 0이고요

0:04:16.700,0:04:20.079
빼기 P의 z에 대한 편미분

0:04:20.079,0:04:22.180


0:04:22.180,0:04:25.590
그런데 이번에도 P는 z에 대한 식이 아니기 때문에

0:04:25.590,0:04:28.160
이 값도 0이 됩니다

0:04:28.160,0:04:30.860
이제 k를 볼까요

0:04:30.860,0:04:33.900
먼저 Q의 x에 대한 편미분입니다

0:04:33.920,0:04:34.410


0:04:34.410,0:04:36.320


0:04:36.320,0:04:38.180


0:04:38.180,0:04:41.160


0:04:41.160,0:04:43.450
빼기 P의 y에 대한 편미분

0:04:43.450,0:04:44.570


0:04:44.570,0:04:49.690


0:04:49.690,0:04:56.150
따라서 i와 j항을 날리면, 회전 f는 다음과 같습니다

0:04:56.150,0:04:58.880
그렇다면 n은 무엇일까요?

0:04:58.880,0:05:02.250
그러니까 단위 법선벡터는 무엇일까요

0:05:02.250,0:05:04.300
이 영역 R이 xy 평면 위의 영역이므로

0:05:04.300,0:05:09.340
단위벡터는 크기가 1인 z축 방향으로의 벡터입니다[br](즉, [0, 0, 1])

0:05:10.380,0:05:12.440
그러니까 우리 경우에는 단위 법선벡터가

0:05:12.450,0:05:14.660
k가 되죠

0:05:14.660,0:05:18.490
그러니까 회전 f는 다음과 같고

0:05:18.490,0:05:21.880
단위 법선벡터는

0:05:21.880,0:05:24.510
k 벡터입니다

0:05:24.510,0:05:26.920


0:05:26.920,0:05:28.230


0:05:28.230,0:05:31.160
그렇다면 이 둘을 내적시키면 무엇이 될까요?

0:05:31.160,0:05:36.120
회전 f는 i항과 j항이 없고 k항만이 있는데

0:05:36.120,0:05:39.730
동일한 방향의 벡터끼리의 내적은[br]그 두 벡터의 크기의 곱과 같으므로

0:05:39.730,0:05:45.540
회전 f 내적 단위법선벡터의 결과는 바로 이것입니다

0:05:45.540,0:05:49.260
그러니까 Q의 x에 대한 편미분 빼기

0:05:49.260,0:05:54.980
P의 y에 대한 편미분이 되죠

0:05:54.980,0:05:57.944
이렇게 우리는 스토크스 정리로부터

0:05:57.944,0:06:03.040
영역 R의 xy 평면 위에 놓여있는 특수한 경우에 대해서,

0:06:03.040,0:06:07.960
그린의 정리를 유도하였습니다[br](우와!)

0:06:07.960,0:06:12.030
이 식이 그린의 정리였잖아요?[br](참고로 그린의 정리 영상도 제가 번역했어요 :) )

0:06:12.030,0:06:22.240
이로부터 그린의 정리는 실제로는 [br]스토크스 정리의 특수한 경우라는 것을 알 수 있습니다

0:06:22.800,0:06:27.360
영역이 xy 평면에 평평하게 놓여 있을 경우에 대한,[br]스토크스 정리의 특수한 경우이죠

0:06:27.360,0:06:30.140
이 결과를 보고 있자니 기분이 좋아집니다[br](진짜요??)

0:06:30.140,0:06:32.240
물론 우리가 아직 스토크스 정리를 증명한 적은 없지만요

0:06:32.240,0:06:34.530
하지만 제가 이 결과를 좋아하는 이유는

0:06:34.530,0:06:36.780
이 결과로부터 그린의 정리와 스토크스의 정리과

0:06:36.780,0:06:39.430
일관적이라는 것을 알 수 있습니다

0:06:39.430,0:06:40.810
우리가 처음에 그린의 정리를 배웠을 때에는

0:06:40.810,0:06:41.380
'뭐지 이건?'

0:06:41.380,0:06:42.565
'도대체 무슨 일이 일어나고 있는 거지?'

0:06:42.565,0:06:44.190
했는데 이제는 사실

0:06:44.190,0:06:47.920
이 영역의 회전(curl)을 면적을 따라 [br]구하는 것이라는 걸 알아냈습니다

0:06:47.920,0:06:50.840
이제서야 우리가 저번 영상의 도입을 기반으로 하여

0:06:50.840,0:06:54.090
이해가 되기 시작하네요[br](번역 끝! (^_-)-☆）