[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.52,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:03.24,Default,,0000,0000,0000,,저번 영상부터 우리는 \N스토크스 정리에 대해서 알아보았습니다
Dialogue: 0,0:00:03.24,0:00:04.70,Default,,0000,0000,0000,,그리고 이번 영상에서는
Dialogue: 0,0:00:04.70,0:00:07.06,Default,,0000,0000,0000,,이 스토크스 정리가 주장하는 바가
Dialogue: 0,0:00:07.06,0:00:09.05,Default,,0000,0000,0000,,우리가 배워 온 다른 정리와 일관되는지를 보고자 합니다
Dialogue: 0,0:00:09.05,0:00:12.19,Default,,0000,0000,0000,,먼저 좌표공간을 그려보겠습니다
Dialogue: 0,0:00:12.19,0:00:14.34,Default,,0000,0000,0000,,이것이 z축이고요
Dialogue: 0,0:00:14.34,0:00:16.68,Default,,0000,0000,0000,,x축이고요
Dialogue: 0,0:00:16.68,0:00:19.61,Default,,0000,0000,0000,,y축입니다
Dialogue: 0,0:00:19.61,0:00:23.43,Default,,0000,0000,0000,,xy 평면에 어떤 영역이 있다고 합시다
Dialogue: 0,0:00:23.43,0:00:25.77,Default,,0000,0000,0000,,이렇게 생겼습니다
Dialogue: 0,0:00:25.77,0:00:30.67,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:00:30.67,0:00:34.85,Default,,0000,0000,0000,,이 영역을 R이라고 하겠습니다
Dialogue: 0,0:00:34.85,0:00:41.14,Default,,0000,0000,0000,,그리고 이 영역의 경계선의 방향에 대해서도\N생각해 볼 것인데요,
Dialogue: 0,0:00:41.14,0:00:43.28,Default,,0000,0000,0000,,이 경로의 방향이 반시계방향이라고 합시다
Dialogue: 0,0:00:43.28,0:00:47.15,Default,,0000,0000,0000,,즉 다음과 같이 영역 R의 경계를
Dialogue: 0,0:00:47.15,0:00:49.89,Default,,0000,0000,0000,,반시계방향으로 따라가는 경로를\N경로 c라고 부르겠습니다
Dialogue: 0,0:00:49.89,0:00:51.95,Default,,0000,0000,0000,,반시계방향으로 따라가는 경로를\N경로 c라고 부르겠습니다
Dialogue: 0,0:00:51.95,0:00:57.01,Default,,0000,0000,0000,,반시계방향으로 따라가는 경로를\N경로 c라고 부르겠습니다
Dialogue: 0,0:00:57.01,0:01:02.31,Default,,0000,0000,0000,,또한 벡터장 f가 있다고 합시다
Dialogue: 0,0:01:02.31,0:01:05.36,Default,,0000,0000,0000,,이 벡터장의 i 성분은
Dialogue: 0,0:01:05.36,0:01:08.03,Default,,0000,0000,0000,,x, y로 이루어진 함수이고
Dialogue: 0,0:01:08.03,0:01:12.66,Default,,0000,0000,0000,,j 성분 역시 오직 x, y로 이루어진 함수이며
Dialogue: 0,0:01:12.66,0:01:14.78,Default,,0000,0000,0000,,그리고 k 성분은 없습니다
Dialogue: 0,0:01:14.78,0:01:17.23,Default,,0000,0000,0000,,이 영역에서의 벡터장은
Dialogue: 0,0:01:17.23,0:01:18.75,Default,,0000,0000,0000,,이렇게 나타난다고 하면,
Dialogue: 0,0:01:18.75,0:01:20.42,Default,,0000,0000,0000,,아무렇게나 그린 겁니다
Dialogue: 0,0:01:20.42,0:01:23.36,Default,,0000,0000,0000,,이 영역에서 z축 상으로 올라가도
Dialogue: 0,0:01:23.36,0:01:25.70,Default,,0000,0000,0000,,(벡터장 식에 z가 없으므로)\N벡터장은 똑같이 생겼을 것입니다
Dialogue: 0,0:01:25.70,0:01:27.93,Default,,0000,0000,0000,,그러니까 z축으로 올라가도 이 벡터는
Dialogue: 0,0:01:27.93,0:01:29.66,Default,,0000,0000,0000,,계속 똑같을 것이란 말입니다
Dialogue: 0,0:01:29.66,0:01:32.42,Default,,0000,0000,0000,,즉슨, 이 벡터장은 z축 방향으로 평행합니다
Dialogue: 0,0:01:32.42,0:01:38.86,Default,,0000,0000,0000,,z=0일 때에는 지금 그림에서처럼 \Nxy 평면 위에 얹혀있고요
Dialogue: 0,0:01:39.10,0:01:41.48,Default,,0000,0000,0000,,이 상태에서,
Dialogue: 0,0:01:41.48,0:01:46.01,Default,,0000,0000,0000,,스토크스 방정식이 우리에게
Dialogue: 0,0:01:46.01,0:01:48.98,Default,,0000,0000,0000,,윤곽에 대한 선적분에 대해 시사하는 바를 알아봅시다
Dialogue: 0,0:01:48.98,0:01:51.47,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:01:51.47,0:02:03.64,Default,,0000,0000,0000,,f 도트 dr 의 경로 c에 대한 선적분
Dialogue: 0,0:02:03.64,0:02:08.20,Default,,0000,0000,0000,,여기서 dr은 경로 c를 따르는 방향입니다
Dialogue: 0,0:02:08.28,0:02:11.47,Default,,0000,0000,0000,,스토크스 정리를 따르면, 이 식의 값은
Dialogue: 0,0:02:11.47,0:02:13.85,Default,,0000,0000,0000,,여기 위에 써놓은 식의 값과 같아야 합니다
Dialogue: 0,0:02:13.85,0:02:14.61,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:02:14.61,0:02:18.85,Default,,0000,0000,0000,,즉슨, 이 경로 c가 결정하는 영역 R에 대한
Dialogue: 0,0:02:18.85,0:02:21.27,Default,,0000,0000,0000,,이중적분과 같아야 합니다
Dialogue: 0,0:02:23.45,0:02:26.08,Default,,0000,0000,0000,,식으로 쓰자면,
Dialogue: 0,0:02:26.08,0:02:31.48,Default,,0000,0000,0000,,영역 R에 대한 이중적분
Dialogue: 0,0:02:31.48,0:02:35.10,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:02:35.11,0:02:37.84,Default,,0000,0000,0000,,회전(curl) f 내적 n 으로 쓸 수 있습니다
Dialogue: 0,0:02:37.84,0:02:40.44,Default,,0000,0000,0000,,그런데 여기서 curl f 내적 n 이 무엇인지 생각해 봅시다
Dialogue: 0,0:02:40.44,0:02:42.27,Default,,0000,0000,0000,,어차피 뒤에 오는 ds는 면적 R의
Dialogue: 0,0:02:42.27,0:02:45.51,Default,,0000,0000,0000,,매우 작은 한 부분일 뿐이라는 것을 이미 알고 있습니다
Dialogue: 0,0:02:45.51,0:02:46.22,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:02:46.22,0:02:50.18,Default,,0000,0000,0000,,그런 의미에서 dA라고 쓸 수 있습니다
Dialogue: 0,0:02:50.18,0:02:54.00,Default,,0000,0000,0000,,하지만 curl f 내적 n이 의미하는 바가 조금 불명확한데요
Dialogue: 0,0:02:54.00,0:02:56.06,Default,,0000,0000,0000,,먼저 curl f에 대해서 봅시다
Dialogue: 0,0:02:56.06,0:02:58.91,Default,,0000,0000,0000,,curl f는
Dialogue: 0,0:02:58.91,0:03:00.81,Default,,0000,0000,0000,,제가 외우는 방식대로 하자면
Dialogue: 0,0:03:00.81,0:03:06.85,Default,,0000,0000,0000,,먼저 i, j, k를 쓰고
Dialogue: 0,0:03:06.85,0:03:12.18,Default,,0000,0000,0000,,x에 대한 편미분, y에 대한 편미분,\Nz에 대한 편미분
Dialogue: 0,0:03:12.32,0:03:14.44,Default,,0000,0000,0000,,참고로 이것은 그냥 curl의 정의일 뿐입니다
Dialogue: 0,0:03:14.45,0:03:16.82,Default,,0000,0000,0000,,우리는 이 벡터장이
Dialogue: 0,0:03:16.82,0:03:18.91,Default,,0000,0000,0000,,얼마만큼의 회전을 일으키는지를 보고자 하는 것입니다
Dialogue: 0,0:03:18.91,0:03:23.72,Default,,0000,0000,0000,,그리고 마지막으로 i 성분의 함수 P(x, y)
Dialogue: 0,0:03:24.42,0:03:26.99,Default,,0000,0000,0000,,그리고 j 성분 Q
Dialogue: 0,0:03:26.99,0:03:30.72,Default,,0000,0000,0000,,그리고 k 성분은 없으므로 0이 되겠네요
Dialogue: 0,0:03:30.72,0:03:32.89,Default,,0000,0000,0000,,이 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다
Dialogue: 0,0:03:32.89,0:03:34.35,Default,,0000,0000,0000,,먼저 i 성분을 보자면
Dialogue: 0,0:03:34.35,0:03:35.96,Default,,0000,0000,0000,,0을 y에 대해서 편미분 한 것이 되므로
Dialogue: 0,0:03:35.96,0:03:42.64,Default,,0000,0000,0000,,그냥 0에다가, 빼기\NQ의 z에 대한 편미분인데
Dialogue: 0,0:03:43.45,0:03:46.00,Default,,0000,0000,0000,,Q는 z에 대한 식이 ㅓㄴ혀 아니므로
Dialogue: 0,0:03:46.00,0:03:48.19,Default,,0000,0000,0000,,Q의 z에 대한 편미분은 그저 0이 됩니다
Dialogue: 0,0:03:48.19,0:03:50.47,Default,,0000,0000,0000,,따라서 0 빼기 0이므로 그냥 0입니다
Dialogue: 0,0:03:50.47,0:03:52.33,Default,,0000,0000,0000,,헷갈리는 분들을 위해 적어 보이겠습니다
Dialogue: 0,0:03:52.33,0:03:56.18,Default,,0000,0000,0000,,먼저 i 성분은 0의 y에 대한 편미분
Dialogue: 0,0:03:56.18,0:03:57.13,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:03:57.13,0:03:59.56,Default,,0000,0000,0000,,그럼 그냥 0이 되고요
Dialogue: 0,0:03:59.56,0:04:02.28,Default,,0000,0000,0000,,빼기 Q의 z에 대한 편미분
Dialogue: 0,0:04:02.29,0:04:04.34,Default,,0000,0000,0000,,그런데 Q는 z에 관계있는 식이 아니므로
Dialogue: 0,0:04:04.34,0:04:05.70,Default,,0000,0000,0000,,이것도 0이 됩니다
Dialogue: 0,0:04:05.70,0:04:07.50,Default,,0000,0000,0000,,따라서 0i 가 됩니다
Dialogue: 0,0:04:07.50,0:04:10.26,Default,,0000,0000,0000,,그리고 j에 대해서 해보자면
Dialogue: 0,0:04:10.26,0:04:16.70,Default,,0000,0000,0000,,먼저 0의 x에 대한 편미분은 0이고요
Dialogue: 0,0:04:16.70,0:04:20.08,Default,,0000,0000,0000,,빼기 P의 z에 대한 편미분
Dialogue: 0,0:04:20.08,0:04:22.18,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:22.18,0:04:25.59,Default,,0000,0000,0000,,그런데 이번에도 P는 z에 대한 식이 아니기 때문에
Dialogue: 0,0:04:25.59,0:04:28.16,Default,,0000,0000,0000,,이 값도 0이 됩니다
Dialogue: 0,0:04:28.16,0:04:30.86,Default,,0000,0000,0000,,이제 k를 볼까요
Dialogue: 0,0:04:30.86,0:04:33.90,Default,,0000,0000,0000,,먼저 Q의 x에 대한 편미분입니다
Dialogue: 0,0:04:33.92,0:04:34.41,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:34.41,0:04:36.32,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:36.32,0:04:38.18,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:38.18,0:04:41.16,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:41.16,0:04:43.45,Default,,0000,0000,0000,,빼기 P의 y에 대한 편미분
Dialogue: 0,0:04:43.45,0:04:44.57,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:44.57,0:04:49.69,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:04:49.69,0:04:56.15,Default,,0000,0000,0000,,따라서 i와 j항을 날리면, 회전 f는 다음과 같습니다
Dialogue: 0,0:04:56.15,0:04:58.88,Default,,0000,0000,0000,,그렇다면 n은 무엇일까요?
Dialogue: 0,0:04:58.88,0:05:02.25,Default,,0000,0000,0000,,그러니까 단위 법선벡터는 무엇일까요
Dialogue: 0,0:05:02.25,0:05:04.30,Default,,0000,0000,0000,,이 영역 R이 xy 평면 위의 영역이므로
Dialogue: 0,0:05:04.30,0:05:09.34,Default,,0000,0000,0000,,단위벡터는 크기가 1인 z축 방향으로의 벡터입니다\N(즉, [0, 0, 1])
Dialogue: 0,0:05:10.38,0:05:12.44,Default,,0000,0000,0000,,그러니까 우리 경우에는 단위 법선벡터가
Dialogue: 0,0:05:12.45,0:05:14.66,Default,,0000,0000,0000,,k가 되죠
Dialogue: 0,0:05:14.66,0:05:18.49,Default,,0000,0000,0000,,그러니까 회전 f는 다음과 같고
Dialogue: 0,0:05:18.49,0:05:21.88,Default,,0000,0000,0000,,단위 법선벡터는
Dialogue: 0,0:05:21.88,0:05:24.51,Default,,0000,0000,0000,,k 벡터입니다
Dialogue: 0,0:05:24.51,0:05:26.92,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:05:26.92,0:05:28.23,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:05:28.23,0:05:31.16,Default,,0000,0000,0000,,그렇다면 이 둘을 내적시키면 무엇이 될까요?
Dialogue: 0,0:05:31.16,0:05:36.12,Default,,0000,0000,0000,,회전 f는 i항과 j항이 없고 k항만이 있는데
Dialogue: 0,0:05:36.12,0:05:39.73,Default,,0000,0000,0000,,동일한 방향의 벡터끼리의 내적은\N그 두 벡터의 크기의 곱과 같으므로
Dialogue: 0,0:05:39.73,0:05:45.54,Default,,0000,0000,0000,,회전 f 내적 단위법선벡터의 결과는 바로 이것입니다
Dialogue: 0,0:05:45.54,0:05:49.26,Default,,0000,0000,0000,,그러니까 Q의 x에 대한 편미분 빼기
Dialogue: 0,0:05:49.26,0:05:54.98,Default,,0000,0000,0000,,P의 y에 대한 편미분이 되죠
Dialogue: 0,0:05:54.98,0:05:57.94,Default,,0000,0000,0000,,이렇게 우리는 스토크스 정리로부터
Dialogue: 0,0:05:57.94,0:06:03.04,Default,,0000,0000,0000,,영역 R의 xy 평면 위에 놓여있는 특수한 경우에 대해서,
Dialogue: 0,0:06:03.04,0:06:07.96,Default,,0000,0000,0000,,그린의 정리를 유도하였습니다\N(우와!)
Dialogue: 0,0:06:07.96,0:06:12.03,Default,,0000,0000,0000,,이 식이 그린의 정리였잖아요?\N(참고로 그린의 정리 영상도 제가 번역했어요 :) )
Dialogue: 0,0:06:12.03,0:06:22.24,Default,,0000,0000,0000,,이로부터 그린의 정리는 실제로는 \N스토크스 정리의 특수한 경우라는 것을 알 수 있습니다
Dialogue: 0,0:06:22.80,0:06:27.36,Default,,0000,0000,0000,,영역이 xy 평면에 평평하게 놓여 있을 경우에 대한,\N스토크스 정리의 특수한 경우이죠
Dialogue: 0,0:06:27.36,0:06:30.14,Default,,0000,0000,0000,,이 결과를 보고 있자니 기분이 좋아집니다\N(진짜요??)
Dialogue: 0,0:06:30.14,0:06:32.24,Default,,0000,0000,0000,,물론 우리가 아직 스토크스 정리를 증명한 적은 없지만요
Dialogue: 0,0:06:32.24,0:06:34.53,Default,,0000,0000,0000,,하지만 제가 이 결과를 좋아하는 이유는
Dialogue: 0,0:06:34.53,0:06:36.78,Default,,0000,0000,0000,,이 결과로부터 그린의 정리와 스토크스의 정리과
Dialogue: 0,0:06:36.78,0:06:39.43,Default,,0000,0000,0000,,일관적이라는 것을 알 수 있습니다
Dialogue: 0,0:06:39.43,0:06:40.81,Default,,0000,0000,0000,,우리가 처음에 그린의 정리를 배웠을 때에는
Dialogue: 0,0:06:40.81,0:06:41.38,Default,,0000,0000,0000,,'뭐지 이건?'
Dialogue: 0,0:06:41.38,0:06:42.56,Default,,0000,0000,0000,,'도대체 무슨 일이 일어나고 있는 거지?'
Dialogue: 0,0:06:42.56,0:06:44.19,Default,,0000,0000,0000,,했는데 이제는 사실
Dialogue: 0,0:06:44.19,0:06:47.92,Default,,0000,0000,0000,,이 영역의 회전(curl)을 면적을 따라 \N구하는 것이라는 걸 알아냈습니다
Dialogue: 0,0:06:47.92,0:06:50.84,Default,,0000,0000,0000,,이제서야 우리가 저번 영상의 도입을 기반으로 하여
Dialogue: 0,0:06:50.84,0:06:54.09,Default,,0000,0000,0000,,이해가 되기 시작하네요\N(번역 끝! (^_-)-☆）