WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.520


00:00:00.520 --> 00:00:03.242
저번 영상부터 우리는 
스토크스 정리에 대해서 알아보았습니다

00:00:03.242 --> 00:00:04.700
그리고 이번 영상에서는

00:00:04.700 --> 00:00:07.060
이 스토크스 정리가 주장하는 바가

00:00:07.060 --> 00:00:09.050
우리가 배워 온 다른 정리와 일관되는지를 보고자 합니다

00:00:09.050 --> 00:00:12.190
먼저 좌표공간을 그려보겠습니다

00:00:12.190 --> 00:00:14.340
이것이 z축이고요

00:00:14.340 --> 00:00:16.680
x축이고요

00:00:16.680 --> 00:00:19.610
y축입니다

00:00:19.610 --> 00:00:23.430
xy 평면에 어떤 영역이 있다고 합시다

00:00:23.430 --> 00:00:25.770
이렇게 생겼습니다

00:00:25.770 --> 00:00:30.670


00:00:30.670 --> 00:00:34.850
이 영역을 R이라고 하겠습니다

00:00:34.850 --> 00:00:41.140
그리고 이 영역의 경계선의 방향에 대해서도
생각해 볼 것인데요,

00:00:41.140 --> 00:00:43.280
이 경로의 방향이 반시계방향이라고 합시다

00:00:43.280 --> 00:00:47.150
즉 다음과 같이 영역 R의 경계를

00:00:47.150 --> 00:00:49.890
반시계방향으로 따라가는 경로를
경로 c라고 부르겠습니다

00:00:49.890 --> 00:00:51.950
반시계방향으로 따라가는 경로를
경로 c라고 부르겠습니다

00:00:51.950 --> 00:00:57.010
반시계방향으로 따라가는 경로를
경로 c라고 부르겠습니다

00:00:57.010 --> 00:01:02.310
또한 벡터장 f가 있다고 합시다

00:01:02.310 --> 00:01:05.360
이 벡터장의 i 성분은

00:01:05.360 --> 00:01:08.030
x, y로 이루어진 함수이고

00:01:08.030 --> 00:01:12.660
j 성분 역시 오직 x, y로 이루어진 함수이며

00:01:12.660 --> 00:01:14.780
그리고 k 성분은 없습니다

00:01:14.780 --> 00:01:17.230
이 영역에서의 벡터장은

00:01:17.230 --> 00:01:18.750
이렇게 나타난다고 하면,

00:01:18.750 --> 00:01:20.422
아무렇게나 그린 겁니다

00:01:20.422 --> 00:01:23.360
이 영역에서 z축 상으로 올라가도

00:01:23.360 --> 00:01:25.700
(벡터장 식에 z가 없으므로)
벡터장은 똑같이 생겼을 것입니다

00:01:25.700 --> 00:01:27.930
그러니까 z축으로 올라가도 이 벡터는

00:01:27.930 --> 00:01:29.660
계속 똑같을 것이란 말입니다

00:01:29.660 --> 00:01:32.420
즉슨, 이 벡터장은 z축 방향으로 평행합니다

00:01:32.420 --> 00:01:38.860
z=0일 때에는 지금 그림에서처럼 
xy 평면 위에 얹혀있고요

00:01:39.100 --> 00:01:41.480
이 상태에서,

00:01:41.480 --> 00:01:46.010
스토크스 방정식이 우리에게

00:01:46.010 --> 00:01:48.980
윤곽에 대한 선적분에 대해 시사하는 바를 알아봅시다

00:01:48.980 --> 00:01:51.470


00:01:51.470 --> 00:02:03.640
f 도트 dr 의 경로 c에 대한 선적분

00:02:03.640 --> 00:02:08.200
여기서 dr은 경로 c를 따르는 방향입니다

00:02:08.280 --> 00:02:11.470
스토크스 정리를 따르면, 이 식의 값은

00:02:11.470 --> 00:02:13.850
여기 위에 써놓은 식의 값과 같아야 합니다

00:02:13.850 --> 00:02:14.610


00:02:14.610 --> 00:02:18.850
즉슨, 이 경로 c가 결정하는 영역 R에 대한

00:02:18.850 --> 00:02:21.270
이중적분과 같아야 합니다

00:02:23.450 --> 00:02:26.077
식으로 쓰자면,

00:02:26.080 --> 00:02:31.480
영역 R에 대한 이중적분

00:02:31.480 --> 00:02:35.100


00:02:35.110 --> 00:02:37.840
회전(curl) f 내적 n 으로 쓸 수 있습니다

00:02:37.840 --> 00:02:40.437
그런데 여기서 curl f 내적 n 이 무엇인지 생각해 봅시다

00:02:40.437 --> 00:02:42.270
어차피 뒤에 오는 ds는 면적 R의

00:02:42.270 --> 00:02:45.510
매우 작은 한 부분일 뿐이라는 것을 이미 알고 있습니다

00:02:45.510 --> 00:02:46.220


00:02:46.220 --> 00:02:50.180
그런 의미에서 dA라고 쓸 수 있습니다

00:02:50.180 --> 00:02:54.000
하지만 curl f 내적 n이 의미하는 바가 조금 불명확한데요

00:02:54.000 --> 00:02:56.060
먼저 curl f에 대해서 봅시다

00:02:56.060 --> 00:02:58.910
curl f는

00:02:58.910 --> 00:03:00.810
제가 외우는 방식대로 하자면

00:03:00.810 --> 00:03:06.850
먼저 i, j, k를 쓰고

00:03:06.850 --> 00:03:12.180
x에 대한 편미분, y에 대한 편미분,
z에 대한 편미분

00:03:12.320 --> 00:03:14.440
참고로 이것은 그냥 curl의 정의일 뿐입니다

00:03:14.450 --> 00:03:16.820
우리는 이 벡터장이

00:03:16.820 --> 00:03:18.910
얼마만큼의 회전을 일으키는지를 보고자 하는 것입니다

00:03:18.910 --> 00:03:23.720
그리고 마지막으로 i 성분의 함수 P(x, y)

00:03:24.420 --> 00:03:26.990
그리고 j 성분 Q

00:03:26.990 --> 00:03:30.720
그리고 k 성분은 없으므로 0이 되겠네요

00:03:30.720 --> 00:03:32.892
이 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

00:03:32.892 --> 00:03:34.350
먼저 i 성분을 보자면

00:03:34.350 --> 00:03:35.960
0을 y에 대해서 편미분 한 것이 되므로

00:03:35.960 --> 00:03:42.640
그냥 0에다가, 빼기
Q의 z에 대한 편미분인데

00:03:43.450 --> 00:03:46.000
Q는 z에 대한 식이 ㅓㄴ혀 아니므로

00:03:46.000 --> 00:03:48.190
Q의 z에 대한 편미분은 그저 0이 됩니다

00:03:48.190 --> 00:03:50.470
따라서 0 빼기 0이므로 그냥 0입니다

00:03:50.470 --> 00:03:52.330
헷갈리는 분들을 위해 적어 보이겠습니다

00:03:52.330 --> 00:03:56.180
먼저 i 성분은 0의 y에 대한 편미분

00:03:56.180 --> 00:03:57.130


00:03:57.130 --> 00:03:59.560
그럼 그냥 0이 되고요

00:03:59.560 --> 00:04:02.280
빼기 Q의 z에 대한 편미분

00:04:02.290 --> 00:04:04.340
그런데 Q는 z에 관계있는 식이 아니므로

00:04:04.340 --> 00:04:05.700
이것도 0이 됩니다

00:04:05.700 --> 00:04:07.500
따라서 0i 가 됩니다

00:04:07.500 --> 00:04:10.260
그리고 j에 대해서 해보자면

00:04:10.260 --> 00:04:16.700
먼저 0의 x에 대한 편미분은 0이고요

00:04:16.700 --> 00:04:20.079
빼기 P의 z에 대한 편미분

00:04:20.079 --> 00:04:22.180


00:04:22.180 --> 00:04:25.590
그런데 이번에도 P는 z에 대한 식이 아니기 때문에

00:04:25.590 --> 00:04:28.160
이 값도 0이 됩니다

00:04:28.160 --> 00:04:30.860
이제 k를 볼까요

00:04:30.860 --> 00:04:33.900
먼저 Q의 x에 대한 편미분입니다

00:04:33.920 --> 00:04:34.410


00:04:34.410 --> 00:04:36.320


00:04:36.320 --> 00:04:38.180


00:04:38.180 --> 00:04:41.160


00:04:41.160 --> 00:04:43.450
빼기 P의 y에 대한 편미분

00:04:43.450 --> 00:04:44.570


00:04:44.570 --> 00:04:49.690


00:04:49.690 --> 00:04:56.150
따라서 i와 j항을 날리면, 회전 f는 다음과 같습니다

00:04:56.150 --> 00:04:58.880
그렇다면 n은 무엇일까요?

00:04:58.880 --> 00:05:02.250
그러니까 단위 법선벡터는 무엇일까요

00:05:02.250 --> 00:05:04.300
이 영역 R이 xy 평면 위의 영역이므로

00:05:04.300 --> 00:05:09.340
단위벡터는 크기가 1인 z축 방향으로의 벡터입니다
(즉, [0, 0, 1])

00:05:10.380 --> 00:05:12.440
그러니까 우리 경우에는 단위 법선벡터가

00:05:12.450 --> 00:05:14.660
k가 되죠

00:05:14.660 --> 00:05:18.490
그러니까 회전 f는 다음과 같고

00:05:18.490 --> 00:05:21.880
단위 법선벡터는

00:05:21.880 --> 00:05:24.510
k 벡터입니다

00:05:24.510 --> 00:05:26.920


00:05:26.920 --> 00:05:28.230


00:05:28.230 --> 00:05:31.160
그렇다면 이 둘을 내적시키면 무엇이 될까요?

00:05:31.160 --> 00:05:36.120
회전 f는 i항과 j항이 없고 k항만이 있는데

00:05:36.120 --> 00:05:39.730
동일한 방향의 벡터끼리의 내적은
그 두 벡터의 크기의 곱과 같으므로

00:05:39.730 --> 00:05:45.540
회전 f 내적 단위법선벡터의 결과는 바로 이것입니다

00:05:45.540 --> 00:05:49.260
그러니까 Q의 x에 대한 편미분 빼기

00:05:49.260 --> 00:05:54.980
P의 y에 대한 편미분이 되죠

00:05:54.980 --> 00:05:57.944
이렇게 우리는 스토크스 정리로부터

00:05:57.944 --> 00:06:03.040
영역 R의 xy 평면 위에 놓여있는 특수한 경우에 대해서,

00:06:03.040 --> 00:06:07.960
그린의 정리를 유도하였습니다
(우와!)

00:06:07.960 --> 00:06:12.030
이 식이 그린의 정리였잖아요?
(참고로 그린의 정리 영상도 제가 번역했어요 :) )

00:06:12.030 --> 00:06:22.240
이로부터 그린의 정리는 실제로는 
스토크스 정리의 특수한 경우라는 것을 알 수 있습니다

00:06:22.800 --> 00:06:27.360
영역이 xy 평면에 평평하게 놓여 있을 경우에 대한,
스토크스 정리의 특수한 경우이죠

00:06:27.360 --> 00:06:30.140
이 결과를 보고 있자니 기분이 좋아집니다
(진짜요??)

00:06:30.140 --> 00:06:32.240
물론 우리가 아직 스토크스 정리를 증명한 적은 없지만요

00:06:32.240 --> 00:06:34.530
하지만 제가 이 결과를 좋아하는 이유는

00:06:34.530 --> 00:06:36.780
이 결과로부터 그린의 정리와 스토크스의 정리과

00:06:36.780 --> 00:06:39.430
일관적이라는 것을 알 수 있습니다

00:06:39.430 --> 00:06:40.810
우리가 처음에 그린의 정리를 배웠을 때에는

00:06:40.810 --> 00:06:41.380
'뭐지 이건?'

00:06:41.380 --> 00:06:42.565
'도대체 무슨 일이 일어나고 있는 거지?'

00:06:42.565 --> 00:06:44.190
했는데 이제는 사실

00:06:44.190 --> 00:06:47.920
이 영역의 회전(curl)을 면적을 따라 
구하는 것이라는 걸 알아냈습니다

00:06:47.920 --> 00:06:50.840
이제서야 우리가 저번 영상의 도입을 기반으로 하여

00:06:50.840 --> 00:06:54.090
이해가 되기 시작하네요
(번역 끝! (^_-)-☆）