0:00:00.000,0:00:00.520


0:00:00.520,0:00:03.242
W poprzednim filmie, zaczęliśmy poznawać Twierdzenie Stokesa.

0:00:03.242,0:00:04.700
W tym filmie chcę sprawdzić,

0:00:04.700,0:00:07.060
czy jest ono spójne z tym

0:00:07.060,0:00:09.050
co już wcześniej widzieliśmy.

0:00:09.050,0:00:12.190
Aby to zrobić, wyobraźmy sobie... Narysuję osie współrzędnych

0:00:12.190,0:00:14.340
To jest moja oś z.

0:00:14.340,0:00:16.680
To jest moja oś x.

0:00:16.680,0:00:19.610
A to jest oś y.

0:00:19.610,0:00:23.430
Teraz wyobraźmy sobie obszar na płaszczyźnie xy.

0:00:23.430,0:00:25.770
Narysuję go w ten sposób.

0:00:25.770,0:00:30.670
Niech to będzie mój obszar na płaszczyźnie xy.

0:00:30.670,0:00:34.850
Nazwę go obszarem R.

0:00:34.850,0:00:36.580
Mam również brzeg tego obszaru.

0:00:36.580,0:00:39.470
I powiedzmy, że zależy nam na kierunku, w jakim

0:00:39.470,0:00:40.720
przemierzamy ten brzeg.

0:00:40.720,0:00:41.650
Powiedzmy, że przemierzamy go w kierunku

0:00:41.650,0:00:43.180
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

0:00:43.180,0:00:47.150
Mamy więc tą drogę, która biegnie wokół tego obszaru.

0:00:47.150,0:00:49.890
Możemy ją nazwać c.

0:00:49.890,0:00:51.950
Możemy ją nazwać c i będziemy

0:00:51.950,0:00:57.010
ją przemierzać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

0:00:57.010,0:01:02.310
Powiedzmy również, że mamy pole wekorowe F.

0:01:02.310,0:01:05.360
Którego i-ta składowa jest

0:01:05.360,0:01:08.030
po prostu funkcją x i y.

0:01:08.030,0:01:10.310
Oraz jego j-ta składowa będzie

0:01:10.310,0:01:12.530
funkcją x i y.

0:01:12.530,0:01:14.780
Powiedzmy, że nie ma ono k-tej składowej.

0:01:14.780,0:01:17.230
Więc pole wektorowe na tym obszarze

0:01:17.230,0:01:18.750
może wyglądać jakoś tak.

0:01:18.750,0:01:20.422
Rysuję po prostu losowe rzeczy.

0:01:20.422,0:01:21.880
Jeśli opuścimy ten obszar,

0:01:21.880,0:01:23.350
jeśli pójdziemy w kierunku osi z,

0:01:23.350,0:01:25.700
będzie ono wyglądało tak samo, w miarę posuwania się w górę.

0:01:25.700,0:01:27.930
Więc ten wektor nie zmieni się

0:01:27.930,0:01:29.660
jeśli zmienimy współrzędną z.

0:01:29.660,0:01:31.450
Wszystkie wektory będą zasadniczo równoległe

0:01:31.450,0:01:35.790
do płaszczyzny xy

0:01:35.790,0:01:39.100
(lub będą w niej zawarte gdy z=0).

0:01:39.100,0:01:41.480
Teraz, mając to, zastanówmy się

0:01:41.480,0:01:46.010
co Twierdzenie Stokesa powie nam o wartości całki krzywoliniowej

0:01:46.010,0:01:48.980
po tym brzegu.

0:01:48.980,0:01:51.470
Narysuję tą linię trochę schludniej.

0:01:51.470,0:02:00.960
Całka krzywoliniowa po tym brzegu z F razy (skalarnie) dr

0:02:00.960,0:02:05.960
F razy małe dr, gdzie dr

0:02:05.960,0:02:08.280
biegnie wzdłuż brzegu.

0:02:08.280,0:02:11.470
Więc jeśli weźmiemy Twierdzenie Stokesa, ta wielkość

0:02:11.470,0:02:13.850
tutaj powinna być równa tej wielkości

0:02:13.850,0:02:14.610
tutaj.

0:02:14.610,0:02:18.850
Powinna być równa podwójnej całce po powierzchni.

0:02:18.850,0:02:21.270
Właściwie ten obszar po prostu

0:02:21.270,0:02:23.450
leży na płaszczyźnie xy.

0:02:23.450,0:02:26.077
Więc to powinna być podwójna całka

0:02:26.077,0:02:27.660
Napiszę to tym samym...

0:02:27.660,0:02:31.310
To będzie podwójna całka po naszym obszarze,

0:02:31.310,0:02:35.110
który jest tym samym co nasza powierzchnia

0:02:35.110,0:02:37.840
z rotacji F razy (skalarnie) n.

0:02:37.840,0:02:40.437
Zastanówmy się czym jest rotacja F razy (skalarnie) n.

0:02:40.437,0:02:42.270
Oraz dS będzie po prostu małym kawałkiem

0:02:42.270,0:02:45.510
naszego regionu, małym kawałkiem naszej płaskiej powierzchni.

0:02:45.510,0:02:46.220
O, tutaj.

0:02:46.220,0:02:50.180
Więc zamiast dS napiszę dA.

0:02:50.180,0:02:54.000
Pomyślmy jednak czym będzie rotacja razy n.

0:02:54.000,0:02:56.060
Najpierw zajmijmy się rotacją.

0:02:56.060,0:02:58.910
Więc rotacja F (sposób w jaki zawsze

0:02:58.910,0:03:00.810
to pamiętam to, że bierzemy

0:03:00.810,0:03:06.850
wyznacznik tego i, j, k

0:03:06.850,0:03:10.820
pochodna cząstkowa względem x, pochodna względem y

0:03:10.820,0:03:12.330
pochodna względem z.

0:03:12.330,0:03:14.450
To jest po prostu definicja rotacji

0:03:14.450,0:03:16.820
Próbujemy rozstrzygnąć jak to pole wektorowe powoduje,

0:03:16.820,0:03:18.910
że coś się kręci.

0:03:18.910,0:03:20.980
Dalej chcemy składową "i",

0:03:20.980,0:03:24.416
która jest funkcją p, zależną od x i y.

0:03:24.416,0:03:26.990
Składowa j, która jest po prostu funkcją q.

0:03:26.990,0:03:30.720
Nie było składowej z, więc 0.

0:03:30.720,0:03:32.892
Więc ta rzecz tutaj będzie równa.. Cóż...

0:03:32.892,0:03:34.350
Jeśli spojrzymy na składową i,

0:03:34.350,0:03:35.960
to będzie to pochodna cząstkowa względem y z 0.

0:03:35.960,0:03:42.570
To będzie po prostu 0. Minus pochodna cząstkowa q

0:03:42.570,0:03:43.450
względem z.

0:03:43.450,0:03:46.000
Jaka jest pochodna cząstkowa q względem z?

0:03:46.000,0:03:48.190
Cóż, q nie jest funkcją zależną od z.

0:03:48.190,0:03:50.470
Więc to też będzie równe 0.

0:03:50.470,0:03:52.330
Zapiszę, żeby nie było wątpliwości.

0:03:52.330,0:03:56.180
Zatem nasza składowa i będzie pochodną cząstkową z 0

0:03:56.180,0:03:57.130
względem y.

0:03:57.130,0:04:01.000
Więc będzie to 0 minus pochodna q

0:04:01.000,0:04:02.290
względem z.

0:04:02.290,0:04:04.340
Pochodna q względem z

0:04:04.340,0:04:05.700
będzie równa 0.

0:04:05.700,0:04:07.500
Więc mam zerową składową i.

0:04:07.500,0:04:10.260
Dalej chcemy odjąć składową j.

0:04:10.260,0:04:16.700
A składowa j to pochodna cząstkowa 0 względem x jest równa 0.

0:04:16.700,0:04:20.079
Dalej od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

0:04:20.079,0:04:22.180
względem z.

0:04:22.180,0:04:25.590
I znów, p nie jest funkcją z.

0:04:25.590,0:04:28.160
Więc to będzie znowu równe 0.

0:04:28.160,0:04:33.911
Dalej jest plus k razy pochodna cząstkowa q

0:04:33.911,0:04:34.410
względem x.

0:04:34.410,0:04:36.320
Pamiętaj, że to jest pochodna cząstkowa.

0:04:36.320,0:04:38.180
Zatem pochodna cząstkowa q względem x.

0:04:38.180,0:04:41.160


0:04:41.160,0:04:43.450
I od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

0:04:43.450,0:04:44.570
względem y.

0:04:44.570,0:04:49.690


0:04:49.690,0:04:56.150
Więc rotacja F upraszcza się do tego wyrażenia.

0:04:56.150,0:04:58.880
Teraz, czym jest n?

0:04:58.880,0:05:02.250
Czym jest wektor normalny

0:05:02.250,0:05:04.300
Jesteśmy na płaszczyźnie xy

0:05:04.300,0:05:05.930
Zatem jednostkowy wektor normalny

0:05:05.930,0:05:07.940
będzie skierowany dokładnie w kierunku osi z.

0:05:07.940,0:05:10.390
i będzie miał długość 1.

0:05:10.390,0:05:12.450
Więc w tym przypadku, nasz jednostkowy wektor normalny

0:05:12.450,0:05:14.660
to po prostu wektor k.

0:05:14.660,0:05:18.490
Więc zasadniczo będziemy brali... To jest rotacja F.

0:05:18.490,0:05:21.880
A nasz jednostkowy wektor normalny

0:05:21.880,0:05:24.510
będzie równy k.

0:05:24.510,0:05:26.920
To będzie po prostu jednostkowy wektor k.

0:05:26.920,0:05:28.230
Będzie skierowany prosto w górę.

0:05:28.230,0:05:31.160
Co się zatem stanie jeśli przemnożymy skalarnie rotację F razy k?

0:05:31.160,0:05:34.030
Jeśli przemnożymy to skalarnie przez k?

0:05:34.030,0:05:36.080
Po prostu mnożymy skalarnie to z tym.

0:05:36.080,0:05:39.730
Cóż, otrzymamy to wyrażenie.

0:05:39.730,0:05:43.930
Zatem rotacja F razy (skalarnie) jednostkowy wektor normalny

0:05:43.930,0:05:45.400
będzie po prostu równe temu.

0:05:45.400,0:05:49.260
Będzie równe pochodnej cząstkowej q względem x

0:05:49.260,0:05:54.980
minus pochodna cząstkowa p względem y.

0:05:54.980,0:05:57.944
I to się zgadza, ponieważ używając Twierdzenia Stokesa

0:05:57.944,0:05:59.610
w tym szczególnym przypadku, mamy do czynienia

0:05:59.610,0:06:03.030
ze spłaszczoną powierzchnią na płaszczyźnie xy.

0:06:03.030,0:06:07.960
W tym przypadku, wszystko się sprowadza do twierdzenia Greena.

0:06:07.960,0:06:12.030
To wyrażenie sprowadza się po prostu do twierdzenia Greena.

0:06:12.030,0:06:15.920
Zatem, jak widzimy, twierdzenie Greena jest tylko szczególnym przypadkiem.

0:06:15.920,0:06:17.840
Napiszę twierdzenie bardziej schludnie.

0:06:17.840,0:06:20.390
Widzimy, że twierdzenie Greena jest tak naprawdę

0:06:20.390,0:06:22.800
szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa,

0:06:22.800,0:06:27.360
gdy nasza powierzchnia jest spłaszczona i leży na płaszczyźnie xy.

0:06:27.360,0:06:30.140
To powinno nas cieszyć,

0:06:30.140,0:06:32.240
mimo że nie udowodniliśmy jeszcze twierdzenia Stokesa.

0:06:32.240,0:06:34.530
Jedną rzeczą jaką lubię to widzieć,

0:06:34.530,0:06:36.780
że twierdzenie Greena i Stokesa są spójne

0:06:36.780,0:06:39.430
i to tutaj zaczyna mieć sens.

0:06:39.430,0:06:40.810
Gdy pierwszy raz uczyliśmy się twierdzenia Greena

0:06:40.810,0:06:41.380
nie było wiadomo o co chodzi.

0:06:41.380,0:06:42.565
Co się tutaj dzieje?

0:06:42.565,0:06:44.190
Ale teraz to mówi nam po prostu,

0:06:44.190,0:06:47.920
że bierzemy rotację w tym obszarze na powierzchni.

0:06:47.920,0:06:50.840
I teraz to zaczyna mieć sens, w oparciu o intuicję,

0:06:50.840,0:06:54.090
jakiej nabraliśmy w poprzednim filmie.