1
00:00:00,000 --> 00:00:00,520


2
00:00:00,520 --> 00:00:03,242
W poprzednim filmie, zaczęliśmy poznawać Twierdzenie Stokesa.

3
00:00:03,242 --> 00:00:04,700
W tym filmie chcę sprawdzić,

4
00:00:04,700 --> 00:00:07,060
czy jest ono spójne z tym

5
00:00:07,060 --> 00:00:09,050
co już wcześniej widzieliśmy.

6
00:00:09,050 --> 00:00:12,190
Aby to zrobić, wyobraźmy sobie... Narysuję osie współrzędnych

7
00:00:12,190 --> 00:00:14,340
To jest moja oś z.

8
00:00:14,340 --> 00:00:16,680
To jest moja oś x.

9
00:00:16,680 --> 00:00:19,610
A to jest oś y.

10
00:00:19,610 --> 00:00:23,430
Teraz wyobraźmy sobie obszar na płaszczyźnie xy.

11
00:00:23,430 --> 00:00:25,770
Narysuję go w ten sposób.

12
00:00:25,770 --> 00:00:30,670
Niech to będzie mój obszar na płaszczyźnie xy.

13
00:00:30,670 --> 00:00:34,850
Nazwę go obszarem R.

14
00:00:34,850 --> 00:00:36,580
Mam również brzeg tego obszaru.

15
00:00:36,580 --> 00:00:39,470
I powiedzmy, że zależy nam na kierunku, w jakim

16
00:00:39,470 --> 00:00:40,720
przemierzamy ten brzeg.

17
00:00:40,720 --> 00:00:41,650
Powiedzmy, że przemierzamy go w kierunku

18
00:00:41,650 --> 00:00:43,180
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

19
00:00:43,180 --> 00:00:47,150
Mamy więc tą drogę, która biegnie wokół tego obszaru.

20
00:00:47,150 --> 00:00:49,890
Możemy ją nazwać c.

21
00:00:49,890 --> 00:00:51,950
Możemy ją nazwać c i będziemy

22
00:00:51,950 --> 00:00:57,010
ją przemierzać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

23
00:00:57,010 --> 00:01:02,310
Powiedzmy również, że mamy pole wekorowe F.

24
00:01:02,310 --> 00:01:05,360
Którego i-ta składowa jest

25
00:01:05,360 --> 00:01:08,030
po prostu funkcją x i y.

26
00:01:08,030 --> 00:01:10,310
Oraz jego j-ta składowa będzie

27
00:01:10,310 --> 00:01:12,530
funkcją x i y.

28
00:01:12,530 --> 00:01:14,780
Powiedzmy, że nie ma ono k-tej składowej.

29
00:01:14,780 --> 00:01:17,230
Więc pole wektorowe na tym obszarze

30
00:01:17,230 --> 00:01:18,750
może wyglądać jakoś tak.

31
00:01:18,750 --> 00:01:20,422
Rysuję po prostu losowe rzeczy.

32
00:01:20,422 --> 00:01:21,880
Jeśli opuścimy ten obszar,

33
00:01:21,880 --> 00:01:23,350
jeśli pójdziemy w kierunku osi z,

34
00:01:23,350 --> 00:01:25,700
będzie ono wyglądało tak samo, w miarę posuwania się w górę.

35
00:01:25,700 --> 00:01:27,930
Więc ten wektor nie zmieni się

36
00:01:27,930 --> 00:01:29,660
jeśli zmienimy współrzędną z.

37
00:01:29,660 --> 00:01:31,450
Wszystkie wektory będą zasadniczo równoległe

38
00:01:31,450 --> 00:01:35,790
do płaszczyzny xy

39
00:01:35,790 --> 00:01:39,100
(lub będą w niej zawarte gdy z=0).

40
00:01:39,100 --> 00:01:41,480
Teraz, mając to, zastanówmy się

41
00:01:41,480 --> 00:01:46,010
co Twierdzenie Stokesa powie nam o wartości całki krzywoliniowej

42
00:01:46,010 --> 00:01:48,980
po tym brzegu.

43
00:01:48,980 --> 00:01:51,470
Narysuję tą linię trochę schludniej.

44
00:01:51,470 --> 00:02:00,960
Całka krzywoliniowa po tym brzegu z F razy (skalarnie) dr

45
00:02:00,960 --> 00:02:05,960
F razy małe dr, gdzie dr

46
00:02:05,960 --> 00:02:08,280
biegnie wzdłuż brzegu.

47
00:02:08,280 --> 00:02:11,470
Więc jeśli weźmiemy Twierdzenie Stokesa, ta wielkość

48
00:02:11,470 --> 00:02:13,850
tutaj powinna być równa tej wielkości

49
00:02:13,850 --> 00:02:14,610
tutaj.

50
00:02:14,610 --> 00:02:18,850
Powinna być równa podwójnej całce po powierzchni.

51
00:02:18,850 --> 00:02:21,270
Właściwie ten obszar po prostu

52
00:02:21,270 --> 00:02:23,450
leży na płaszczyźnie xy.

53
00:02:23,450 --> 00:02:26,077
Więc to powinna być podwójna całka

54
00:02:26,077 --> 00:02:27,660
Napiszę to tym samym...

55
00:02:27,660 --> 00:02:31,310
To będzie podwójna całka po naszym obszarze,

56
00:02:31,310 --> 00:02:35,110
który jest tym samym co nasza powierzchnia

57
00:02:35,110 --> 00:02:37,840
z rotacji F razy (skalarnie) n.

58
00:02:37,840 --> 00:02:40,437
Zastanówmy się czym jest rotacja F razy (skalarnie) n.

59
00:02:40,437 --> 00:02:42,270
Oraz dS będzie po prostu małym kawałkiem

60
00:02:42,270 --> 00:02:45,510
naszego regionu, małym kawałkiem naszej płaskiej powierzchni.

61
00:02:45,510 --> 00:02:46,220
O, tutaj.

62
00:02:46,220 --> 00:02:50,180
Więc zamiast dS napiszę dA.

63
00:02:50,180 --> 00:02:54,000
Pomyślmy jednak czym będzie rotacja razy n.

64
00:02:54,000 --> 00:02:56,060
Najpierw zajmijmy się rotacją.

65
00:02:56,060 --> 00:02:58,910
Więc rotacja F (sposób w jaki zawsze

66
00:02:58,910 --> 00:03:00,810
to pamiętam to, że bierzemy

67
00:03:00,810 --> 00:03:06,850
wyznacznik tego i, j, k

68
00:03:06,850 --> 00:03:10,820
pochodna cząstkowa względem x, pochodna względem y

69
00:03:10,820 --> 00:03:12,330
pochodna względem z.

70
00:03:12,330 --> 00:03:14,450
To jest po prostu definicja rotacji

71
00:03:14,450 --> 00:03:16,820
Próbujemy rozstrzygnąć jak to pole wektorowe powoduje,

72
00:03:16,820 --> 00:03:18,910
że coś się kręci.

73
00:03:18,910 --> 00:03:20,980
Dalej chcemy składową "i",

74
00:03:20,980 --> 00:03:24,416
która jest funkcją p, zależną od x i y.

75
00:03:24,416 --> 00:03:26,990
Składowa j, która jest po prostu funkcją q.

76
00:03:26,990 --> 00:03:30,720
Nie było składowej z, więc 0.

77
00:03:30,720 --> 00:03:32,892
Więc ta rzecz tutaj będzie równa.. Cóż...

78
00:03:32,892 --> 00:03:34,350
Jeśli spojrzymy na składową i,

79
00:03:34,350 --> 00:03:35,960
to będzie to pochodna cząstkowa względem y z 0.

80
00:03:35,960 --> 00:03:42,570
To będzie po prostu 0. Minus pochodna cząstkowa q

81
00:03:42,570 --> 00:03:43,450
względem z.

82
00:03:43,450 --> 00:03:46,000
Jaka jest pochodna cząstkowa q względem z?

83
00:03:46,000 --> 00:03:48,190
Cóż, q nie jest funkcją zależną od z.

84
00:03:48,190 --> 00:03:50,470
Więc to też będzie równe 0.

85
00:03:50,470 --> 00:03:52,330
Zapiszę, żeby nie było wątpliwości.

86
00:03:52,330 --> 00:03:56,180
Zatem nasza składowa i będzie pochodną cząstkową z 0

87
00:03:56,180 --> 00:03:57,130
względem y.

88
00:03:57,130 --> 00:04:01,000
Więc będzie to 0 minus pochodna q

89
00:04:01,000 --> 00:04:02,290
względem z.

90
00:04:02,290 --> 00:04:04,340
Pochodna q względem z

91
00:04:04,340 --> 00:04:05,700
będzie równa 0.

92
00:04:05,700 --> 00:04:07,500
Więc mam zerową składową i.

93
00:04:07,500 --> 00:04:10,260
Dalej chcemy odjąć składową j.

94
00:04:10,260 --> 00:04:16,700
A składowa j to pochodna cząstkowa 0 względem x jest równa 0.

95
00:04:16,700 --> 00:04:20,079
Dalej od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

96
00:04:20,079 --> 00:04:22,180
względem z.

97
00:04:22,180 --> 00:04:25,590
I znów, p nie jest funkcją z.

98
00:04:25,590 --> 00:04:28,160
Więc to będzie znowu równe 0.

99
00:04:28,160 --> 00:04:33,911
Dalej jest plus k razy pochodna cząstkowa q

100
00:04:33,911 --> 00:04:34,410
względem x.

101
00:04:34,410 --> 00:04:36,320
Pamiętaj, że to jest pochodna cząstkowa.

102
00:04:36,320 --> 00:04:38,180
Zatem pochodna cząstkowa q względem x.

103
00:04:38,180 --> 00:04:41,160


104
00:04:41,160 --> 00:04:43,450
I od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

105
00:04:43,450 --> 00:04:44,570
względem y.

106
00:04:44,570 --> 00:04:49,690


107
00:04:49,690 --> 00:04:56,150
Więc rotacja F upraszcza się do tego wyrażenia.

108
00:04:56,150 --> 00:04:58,880
Teraz, czym jest n?

109
00:04:58,880 --> 00:05:02,250
Czym jest wektor normalny

110
00:05:02,250 --> 00:05:04,300
Jesteśmy na płaszczyźnie xy

111
00:05:04,300 --> 00:05:05,930
Zatem jednostkowy wektor normalny

112
00:05:05,930 --> 00:05:07,940
będzie skierowany dokładnie w kierunku osi z.

113
00:05:07,940 --> 00:05:10,390
i będzie miał długość 1.

114
00:05:10,390 --> 00:05:12,450
Więc w tym przypadku, nasz jednostkowy wektor normalny

115
00:05:12,450 --> 00:05:14,660
to po prostu wektor k.

116
00:05:14,660 --> 00:05:18,490
Więc zasadniczo będziemy brali... To jest rotacja F.

117
00:05:18,490 --> 00:05:21,880
A nasz jednostkowy wektor normalny

118
00:05:21,880 --> 00:05:24,510
będzie równy k.

119
00:05:24,510 --> 00:05:26,920
To będzie po prostu jednostkowy wektor k.

120
00:05:26,920 --> 00:05:28,230
Będzie skierowany prosto w górę.

121
00:05:28,230 --> 00:05:31,160
Co się zatem stanie jeśli przemnożymy skalarnie rotację F razy k?

122
00:05:31,160 --> 00:05:34,030
Jeśli przemnożymy to skalarnie przez k?

123
00:05:34,030 --> 00:05:36,080
Po prostu mnożymy skalarnie to z tym.

124
00:05:36,080 --> 00:05:39,730
Cóż, otrzymamy to wyrażenie.

125
00:05:39,730 --> 00:05:43,930
Zatem rotacja F razy (skalarnie) jednostkowy wektor normalny

126
00:05:43,930 --> 00:05:45,400
będzie po prostu równe temu.

127
00:05:45,400 --> 00:05:49,260
Będzie równe pochodnej cząstkowej q względem x

128
00:05:49,260 --> 00:05:54,980
minus pochodna cząstkowa p względem y.

129
00:05:54,980 --> 00:05:57,944
I to się zgadza, ponieważ używając Twierdzenia Stokesa

130
00:05:57,944 --> 00:05:59,610
w tym szczególnym przypadku, mamy do czynienia

131
00:05:59,610 --> 00:06:03,030
ze spłaszczoną powierzchnią na płaszczyźnie xy.

132
00:06:03,030 --> 00:06:07,960
W tym przypadku, wszystko się sprowadza do twierdzenia Greena.

133
00:06:07,960 --> 00:06:12,030
To wyrażenie sprowadza się po prostu do twierdzenia Greena.

134
00:06:12,030 --> 00:06:15,920
Zatem, jak widzimy, twierdzenie Greena jest tylko szczególnym przypadkiem.

135
00:06:15,920 --> 00:06:17,840
Napiszę twierdzenie bardziej schludnie.

136
00:06:17,840 --> 00:06:20,390
Widzimy, że twierdzenie Greena jest tak naprawdę

137
00:06:20,390 --> 00:06:22,800
szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa,

138
00:06:22,800 --> 00:06:27,360
gdy nasza powierzchnia jest spłaszczona i leży na płaszczyźnie xy.

139
00:06:27,360 --> 00:06:30,140
To powinno nas cieszyć,

140
00:06:30,140 --> 00:06:32,240
mimo że nie udowodniliśmy jeszcze twierdzenia Stokesa.

141
00:06:32,240 --> 00:06:34,530
Jedną rzeczą jaką lubię to widzieć,

142
00:06:34,530 --> 00:06:36,780
że twierdzenie Greena i Stokesa są spójne

143
00:06:36,780 --> 00:06:39,430
i to tutaj zaczyna mieć sens.

144
00:06:39,430 --> 00:06:40,810
Gdy pierwszy raz uczyliśmy się twierdzenia Greena

145
00:06:40,810 --> 00:06:41,380
nie było wiadomo o co chodzi.

146
00:06:41,380 --> 00:06:42,565
Co się tutaj dzieje?

147
00:06:42,565 --> 00:06:44,190
Ale teraz to mówi nam po prostu,

148
00:06:44,190 --> 00:06:47,920
że bierzemy rotację w tym obszarze na powierzchni.

149
00:06:47,920 --> 00:06:50,840
I teraz to zaczyna mieć sens, w oparciu o intuicję,

150
00:06:50,840 --> 00:06:54,090
jakiej nabraliśmy w poprzednim filmie.