[Script Info] Title: [Events] Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.52,Default,,0000,0000,0000,, Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:03.24,Default,,0000,0000,0000,,W poprzednim filmie, zaczęliśmy poznawać Twierdzenie Stokesa. Dialogue: 0,0:00:03.24,0:00:04.70,Default,,0000,0000,0000,,W tym filmie chcę sprawdzić, Dialogue: 0,0:00:04.70,0:00:07.06,Default,,0000,0000,0000,,czy jest ono spójne z tym Dialogue: 0,0:00:07.06,0:00:09.05,Default,,0000,0000,0000,,co już wcześniej widzieliśmy. Dialogue: 0,0:00:09.05,0:00:12.19,Default,,0000,0000,0000,,Aby to zrobić, wyobraźmy sobie... Narysuję osie współrzędnych Dialogue: 0,0:00:12.19,0:00:14.34,Default,,0000,0000,0000,,To jest moja oś z. Dialogue: 0,0:00:14.34,0:00:16.68,Default,,0000,0000,0000,,To jest moja oś x. Dialogue: 0,0:00:16.68,0:00:19.61,Default,,0000,0000,0000,,A to jest oś y. Dialogue: 0,0:00:19.61,0:00:23.43,Default,,0000,0000,0000,,Teraz wyobraźmy sobie obszar na płaszczyźnie xy. Dialogue: 0,0:00:23.43,0:00:25.77,Default,,0000,0000,0000,,Narysuję go w ten sposób. Dialogue: 0,0:00:25.77,0:00:30.67,Default,,0000,0000,0000,,Niech to będzie mój obszar na płaszczyźnie xy. Dialogue: 0,0:00:30.67,0:00:34.85,Default,,0000,0000,0000,,Nazwę go obszarem R. Dialogue: 0,0:00:34.85,0:00:36.58,Default,,0000,0000,0000,,Mam również brzeg tego obszaru. Dialogue: 0,0:00:36.58,0:00:39.47,Default,,0000,0000,0000,,I powiedzmy, że zależy nam na kierunku, w jakim Dialogue: 0,0:00:39.47,0:00:40.72,Default,,0000,0000,0000,,przemierzamy ten brzeg. Dialogue: 0,0:00:40.72,0:00:41.65,Default,,0000,0000,0000,,Powiedzmy, że przemierzamy go w kierunku Dialogue: 0,0:00:41.65,0:00:43.18,Default,,0000,0000,0000,,przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Dialogue: 0,0:00:43.18,0:00:47.15,Default,,0000,0000,0000,,Mamy więc tą drogę, która biegnie wokół tego obszaru. Dialogue: 0,0:00:47.15,0:00:49.89,Default,,0000,0000,0000,,Możemy ją nazwać c. Dialogue: 0,0:00:49.89,0:00:51.95,Default,,0000,0000,0000,,Możemy ją nazwać c i będziemy Dialogue: 0,0:00:51.95,0:00:57.01,Default,,0000,0000,0000,,ją przemierzać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara Dialogue: 0,0:00:57.01,0:01:02.31,Default,,0000,0000,0000,,Powiedzmy również, że mamy pole wekorowe F. Dialogue: 0,0:01:02.31,0:01:05.36,Default,,0000,0000,0000,,Którego i-ta składowa jest Dialogue: 0,0:01:05.36,0:01:08.03,Default,,0000,0000,0000,,po prostu funkcją x i y. Dialogue: 0,0:01:08.03,0:01:10.31,Default,,0000,0000,0000,,Oraz jego j-ta składowa będzie Dialogue: 0,0:01:10.31,0:01:12.53,Default,,0000,0000,0000,,funkcją x i y. Dialogue: 0,0:01:12.53,0:01:14.78,Default,,0000,0000,0000,,Powiedzmy, że nie ma ono k-tej składowej. Dialogue: 0,0:01:14.78,0:01:17.23,Default,,0000,0000,0000,,Więc pole wektorowe na tym obszarze Dialogue: 0,0:01:17.23,0:01:18.75,Default,,0000,0000,0000,,może wyglądać jakoś tak. Dialogue: 0,0:01:18.75,0:01:20.42,Default,,0000,0000,0000,,Rysuję po prostu losowe rzeczy. Dialogue: 0,0:01:20.42,0:01:21.88,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli opuścimy ten obszar, Dialogue: 0,0:01:21.88,0:01:23.35,Default,,0000,0000,0000,,jeśli pójdziemy w kierunku osi z, Dialogue: 0,0:01:23.35,0:01:25.70,Default,,0000,0000,0000,,będzie ono wyglądało tak samo, w miarę posuwania się w górę. Dialogue: 0,0:01:25.70,0:01:27.93,Default,,0000,0000,0000,,Więc ten wektor nie zmieni się Dialogue: 0,0:01:27.93,0:01:29.66,Default,,0000,0000,0000,,jeśli zmienimy współrzędną z. Dialogue: 0,0:01:29.66,0:01:31.45,Default,,0000,0000,0000,,Wszystkie wektory będą zasadniczo równoległe Dialogue: 0,0:01:31.45,0:01:35.79,Default,,0000,0000,0000,,do płaszczyzny xy Dialogue: 0,0:01:35.79,0:01:39.10,Default,,0000,0000,0000,,(lub będą w niej zawarte gdy z=0). Dialogue: 0,0:01:39.10,0:01:41.48,Default,,0000,0000,0000,,Teraz, mając to, zastanówmy się Dialogue: 0,0:01:41.48,0:01:46.01,Default,,0000,0000,0000,,co Twierdzenie Stokesa powie nam o wartości całki krzywoliniowej Dialogue: 0,0:01:46.01,0:01:48.98,Default,,0000,0000,0000,,po tym brzegu. Dialogue: 0,0:01:48.98,0:01:51.47,Default,,0000,0000,0000,,Narysuję tą linię trochę schludniej. Dialogue: 0,0:01:51.47,0:02:00.96,Default,,0000,0000,0000,,Całka krzywoliniowa po tym brzegu z F razy (skalarnie) dr Dialogue: 0,0:02:00.96,0:02:05.96,Default,,0000,0000,0000,,F razy małe dr, gdzie dr Dialogue: 0,0:02:05.96,0:02:08.28,Default,,0000,0000,0000,,biegnie wzdłuż brzegu. Dialogue: 0,0:02:08.28,0:02:11.47,Default,,0000,0000,0000,,Więc jeśli weźmiemy Twierdzenie Stokesa, ta wielkość Dialogue: 0,0:02:11.47,0:02:13.85,Default,,0000,0000,0000,,tutaj powinna być równa tej wielkości Dialogue: 0,0:02:13.85,0:02:14.61,Default,,0000,0000,0000,,tutaj. Dialogue: 0,0:02:14.61,0:02:18.85,Default,,0000,0000,0000,,Powinna być równa podwójnej całce po powierzchni. Dialogue: 0,0:02:18.85,0:02:21.27,Default,,0000,0000,0000,,Właściwie ten obszar po prostu Dialogue: 0,0:02:21.27,0:02:23.45,Default,,0000,0000,0000,,leży na płaszczyźnie xy. Dialogue: 0,0:02:23.45,0:02:26.08,Default,,0000,0000,0000,,Więc to powinna być podwójna całka Dialogue: 0,0:02:26.08,0:02:27.66,Default,,0000,0000,0000,,Napiszę to tym samym... Dialogue: 0,0:02:27.66,0:02:31.31,Default,,0000,0000,0000,,To będzie podwójna całka po naszym obszarze, Dialogue: 0,0:02:31.31,0:02:35.11,Default,,0000,0000,0000,,który jest tym samym co nasza powierzchnia Dialogue: 0,0:02:35.11,0:02:37.84,Default,,0000,0000,0000,,z rotacji F razy (skalarnie) n. Dialogue: 0,0:02:37.84,0:02:40.44,Default,,0000,0000,0000,,Zastanówmy się czym jest rotacja F razy (skalarnie) n. Dialogue: 0,0:02:40.44,0:02:42.27,Default,,0000,0000,0000,,Oraz dS będzie po prostu małym kawałkiem Dialogue: 0,0:02:42.27,0:02:45.51,Default,,0000,0000,0000,,naszego regionu, małym kawałkiem naszej płaskiej powierzchni. Dialogue: 0,0:02:45.51,0:02:46.22,Default,,0000,0000,0000,,O, tutaj. Dialogue: 0,0:02:46.22,0:02:50.18,Default,,0000,0000,0000,,Więc zamiast dS napiszę dA. Dialogue: 0,0:02:50.18,0:02:54.00,Default,,0000,0000,0000,,Pomyślmy jednak czym będzie rotacja razy n. Dialogue: 0,0:02:54.00,0:02:56.06,Default,,0000,0000,0000,,Najpierw zajmijmy się rotacją. Dialogue: 0,0:02:56.06,0:02:58.91,Default,,0000,0000,0000,,Więc rotacja F (sposób w jaki zawsze Dialogue: 0,0:02:58.91,0:03:00.81,Default,,0000,0000,0000,,to pamiętam to, że bierzemy Dialogue: 0,0:03:00.81,0:03:06.85,Default,,0000,0000,0000,,wyznacznik tego i, j, k Dialogue: 0,0:03:06.85,0:03:10.82,Default,,0000,0000,0000,,pochodna cząstkowa względem x, pochodna względem y Dialogue: 0,0:03:10.82,0:03:12.33,Default,,0000,0000,0000,,pochodna względem z. Dialogue: 0,0:03:12.33,0:03:14.45,Default,,0000,0000,0000,,To jest po prostu definicja rotacji Dialogue: 0,0:03:14.45,0:03:16.82,Default,,0000,0000,0000,,Próbujemy rozstrzygnąć jak to pole wektorowe powoduje, Dialogue: 0,0:03:16.82,0:03:18.91,Default,,0000,0000,0000,,że coś się kręci. Dialogue: 0,0:03:18.91,0:03:20.98,Default,,0000,0000,0000,,Dalej chcemy składową "i", Dialogue: 0,0:03:20.98,0:03:24.42,Default,,0000,0000,0000,,która jest funkcją p, zależną od x i y. Dialogue: 0,0:03:24.42,0:03:26.99,Default,,0000,0000,0000,,Składowa j, która jest po prostu funkcją q. Dialogue: 0,0:03:26.99,0:03:30.72,Default,,0000,0000,0000,,Nie było składowej z, więc 0. Dialogue: 0,0:03:30.72,0:03:32.89,Default,,0000,0000,0000,,Więc ta rzecz tutaj będzie równa.. Cóż... Dialogue: 0,0:03:32.89,0:03:34.35,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli spojrzymy na składową i, Dialogue: 0,0:03:34.35,0:03:35.96,Default,,0000,0000,0000,,to będzie to pochodna cząstkowa względem y z 0. Dialogue: 0,0:03:35.96,0:03:42.57,Default,,0000,0000,0000,,To będzie po prostu 0. Minus pochodna cząstkowa q Dialogue: 0,0:03:42.57,0:03:43.45,Default,,0000,0000,0000,,względem z. Dialogue: 0,0:03:43.45,0:03:46.00,Default,,0000,0000,0000,,Jaka jest pochodna cząstkowa q względem z? Dialogue: 0,0:03:46.00,0:03:48.19,Default,,0000,0000,0000,,Cóż, q nie jest funkcją zależną od z. Dialogue: 0,0:03:48.19,0:03:50.47,Default,,0000,0000,0000,,Więc to też będzie równe 0. Dialogue: 0,0:03:50.47,0:03:52.33,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszę, żeby nie było wątpliwości. Dialogue: 0,0:03:52.33,0:03:56.18,Default,,0000,0000,0000,,Zatem nasza składowa i będzie pochodną cząstkową z 0 Dialogue: 0,0:03:56.18,0:03:57.13,Default,,0000,0000,0000,,względem y. Dialogue: 0,0:03:57.13,0:04:01.00,Default,,0000,0000,0000,,Więc będzie to 0 minus pochodna q Dialogue: 0,0:04:01.00,0:04:02.29,Default,,0000,0000,0000,,względem z. Dialogue: 0,0:04:02.29,0:04:04.34,Default,,0000,0000,0000,,Pochodna q względem z Dialogue: 0,0:04:04.34,0:04:05.70,Default,,0000,0000,0000,,będzie równa 0. Dialogue: 0,0:04:05.70,0:04:07.50,Default,,0000,0000,0000,,Więc mam zerową składową i. Dialogue: 0,0:04:07.50,0:04:10.26,Default,,0000,0000,0000,,Dalej chcemy odjąć składową j. Dialogue: 0,0:04:10.26,0:04:16.70,Default,,0000,0000,0000,,A składowa j to pochodna cząstkowa 0 względem x jest równa 0. Dialogue: 0,0:04:16.70,0:04:20.08,Default,,0000,0000,0000,,Dalej od tego odejmujemy pochodną cząstkową p Dialogue: 0,0:04:20.08,0:04:22.18,Default,,0000,0000,0000,,względem z. Dialogue: 0,0:04:22.18,0:04:25.59,Default,,0000,0000,0000,,I znów, p nie jest funkcją z. Dialogue: 0,0:04:25.59,0:04:28.16,Default,,0000,0000,0000,,Więc to będzie znowu równe 0. Dialogue: 0,0:04:28.16,0:04:33.91,Default,,0000,0000,0000,,Dalej jest plus k razy pochodna cząstkowa q Dialogue: 0,0:04:33.91,0:04:34.41,Default,,0000,0000,0000,,względem x. Dialogue: 0,0:04:34.41,0:04:36.32,Default,,0000,0000,0000,,Pamiętaj, że to jest pochodna cząstkowa. Dialogue: 0,0:04:36.32,0:04:38.18,Default,,0000,0000,0000,,Zatem pochodna cząstkowa q względem x. Dialogue: 0,0:04:38.18,0:04:41.16,Default,,0000,0000,0000,, Dialogue: 0,0:04:41.16,0:04:43.45,Default,,0000,0000,0000,,I od tego odejmujemy pochodną cząstkową p Dialogue: 0,0:04:43.45,0:04:44.57,Default,,0000,0000,0000,,względem y. Dialogue: 0,0:04:44.57,0:04:49.69,Default,,0000,0000,0000,, Dialogue: 0,0:04:49.69,0:04:56.15,Default,,0000,0000,0000,,Więc rotacja F upraszcza się do tego wyrażenia. Dialogue: 0,0:04:56.15,0:04:58.88,Default,,0000,0000,0000,,Teraz, czym jest n? Dialogue: 0,0:04:58.88,0:05:02.25,Default,,0000,0000,0000,,Czym jest wektor normalny Dialogue: 0,0:05:02.25,0:05:04.30,Default,,0000,0000,0000,,Jesteśmy na płaszczyźnie xy Dialogue: 0,0:05:04.30,0:05:05.93,Default,,0000,0000,0000,,Zatem jednostkowy wektor normalny Dialogue: 0,0:05:05.93,0:05:07.94,Default,,0000,0000,0000,,będzie skierowany dokładnie w kierunku osi z. Dialogue: 0,0:05:07.94,0:05:10.39,Default,,0000,0000,0000,,i będzie miał długość 1. Dialogue: 0,0:05:10.39,0:05:12.45,Default,,0000,0000,0000,,Więc w tym przypadku, nasz jednostkowy wektor normalny Dialogue: 0,0:05:12.45,0:05:14.66,Default,,0000,0000,0000,,to po prostu wektor k. Dialogue: 0,0:05:14.66,0:05:18.49,Default,,0000,0000,0000,,Więc zasadniczo będziemy brali... To jest rotacja F. Dialogue: 0,0:05:18.49,0:05:21.88,Default,,0000,0000,0000,,A nasz jednostkowy wektor normalny Dialogue: 0,0:05:21.88,0:05:24.51,Default,,0000,0000,0000,,będzie równy k. Dialogue: 0,0:05:24.51,0:05:26.92,Default,,0000,0000,0000,,To będzie po prostu jednostkowy wektor k. Dialogue: 0,0:05:26.92,0:05:28.23,Default,,0000,0000,0000,,Będzie skierowany prosto w górę. Dialogue: 0,0:05:28.23,0:05:31.16,Default,,0000,0000,0000,,Co się zatem stanie jeśli przemnożymy skalarnie rotację F razy k? Dialogue: 0,0:05:31.16,0:05:34.03,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli przemnożymy to skalarnie przez k? Dialogue: 0,0:05:34.03,0:05:36.08,Default,,0000,0000,0000,,Po prostu mnożymy skalarnie to z tym. Dialogue: 0,0:05:36.08,0:05:39.73,Default,,0000,0000,0000,,Cóż, otrzymamy to wyrażenie. Dialogue: 0,0:05:39.73,0:05:43.93,Default,,0000,0000,0000,,Zatem rotacja F razy (skalarnie) jednostkowy wektor normalny Dialogue: 0,0:05:43.93,0:05:45.40,Default,,0000,0000,0000,,będzie po prostu równe temu. Dialogue: 0,0:05:45.40,0:05:49.26,Default,,0000,0000,0000,,Będzie równe pochodnej cząstkowej q względem x Dialogue: 0,0:05:49.26,0:05:54.98,Default,,0000,0000,0000,,minus pochodna cząstkowa p względem y. Dialogue: 0,0:05:54.98,0:05:57.94,Default,,0000,0000,0000,,I to się zgadza, ponieważ używając Twierdzenia Stokesa Dialogue: 0,0:05:57.94,0:05:59.61,Default,,0000,0000,0000,,w tym szczególnym przypadku, mamy do czynienia Dialogue: 0,0:05:59.61,0:06:03.03,Default,,0000,0000,0000,,ze spłaszczoną powierzchnią na płaszczyźnie xy. Dialogue: 0,0:06:03.03,0:06:07.96,Default,,0000,0000,0000,,W tym przypadku, wszystko się sprowadza do twierdzenia Greena. Dialogue: 0,0:06:07.96,0:06:12.03,Default,,0000,0000,0000,,To wyrażenie sprowadza się po prostu do twierdzenia Greena. Dialogue: 0,0:06:12.03,0:06:15.92,Default,,0000,0000,0000,,Zatem, jak widzimy, twierdzenie Greena jest tylko szczególnym przypadkiem. Dialogue: 0,0:06:15.92,0:06:17.84,Default,,0000,0000,0000,,Napiszę twierdzenie bardziej schludnie. Dialogue: 0,0:06:17.84,0:06:20.39,Default,,0000,0000,0000,,Widzimy, że twierdzenie Greena jest tak naprawdę Dialogue: 0,0:06:20.39,0:06:22.80,Default,,0000,0000,0000,,szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa, Dialogue: 0,0:06:22.80,0:06:27.36,Default,,0000,0000,0000,,gdy nasza powierzchnia jest spłaszczona i leży na płaszczyźnie xy. Dialogue: 0,0:06:27.36,0:06:30.14,Default,,0000,0000,0000,,To powinno nas cieszyć, Dialogue: 0,0:06:30.14,0:06:32.24,Default,,0000,0000,0000,,mimo że nie udowodniliśmy jeszcze twierdzenia Stokesa. Dialogue: 0,0:06:32.24,0:06:34.53,Default,,0000,0000,0000,,Jedną rzeczą jaką lubię to widzieć, Dialogue: 0,0:06:34.53,0:06:36.78,Default,,0000,0000,0000,,że twierdzenie Greena i Stokesa są spójne Dialogue: 0,0:06:36.78,0:06:39.43,Default,,0000,0000,0000,,i to tutaj zaczyna mieć sens. Dialogue: 0,0:06:39.43,0:06:40.81,Default,,0000,0000,0000,,Gdy pierwszy raz uczyliśmy się twierdzenia Greena Dialogue: 0,0:06:40.81,0:06:41.38,Default,,0000,0000,0000,,nie było wiadomo o co chodzi. Dialogue: 0,0:06:41.38,0:06:42.56,Default,,0000,0000,0000,,Co się tutaj dzieje? Dialogue: 0,0:06:42.56,0:06:44.19,Default,,0000,0000,0000,,Ale teraz to mówi nam po prostu, Dialogue: 0,0:06:44.19,0:06:47.92,Default,,0000,0000,0000,,że bierzemy rotację w tym obszarze na powierzchni. Dialogue: 0,0:06:47.92,0:06:50.84,Default,,0000,0000,0000,,I teraz to zaczyna mieć sens, w oparciu o intuicję, Dialogue: 0,0:06:50.84,0:06:54.09,Default,,0000,0000,0000,,jakiej nabraliśmy w poprzednim filmie.