WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.520


00:00:00.520 --> 00:00:03.242
W poprzednim filmie, zaczęliśmy poznawać Twierdzenie Stokesa.

00:00:03.242 --> 00:00:04.700
W tym filmie chcę sprawdzić,

00:00:04.700 --> 00:00:07.060
czy jest ono spójne z tym

00:00:07.060 --> 00:00:09.050
co już wcześniej widzieliśmy.

00:00:09.050 --> 00:00:12.190
Aby to zrobić, wyobraźmy sobie... Narysuję osie współrzędnych

00:00:12.190 --> 00:00:14.340
To jest moja oś z.

00:00:14.340 --> 00:00:16.680
To jest moja oś x.

00:00:16.680 --> 00:00:19.610
A to jest oś y.

00:00:19.610 --> 00:00:23.430
Teraz wyobraźmy sobie obszar na płaszczyźnie xy.

00:00:23.430 --> 00:00:25.770
Narysuję go w ten sposób.

00:00:25.770 --> 00:00:30.670
Niech to będzie mój obszar na płaszczyźnie xy.

00:00:30.670 --> 00:00:34.850
Nazwę go obszarem R.

00:00:34.850 --> 00:00:36.580
Mam również brzeg tego obszaru.

00:00:36.580 --> 00:00:39.470
I powiedzmy, że zależy nam na kierunku, w jakim

00:00:39.470 --> 00:00:40.720
przemierzamy ten brzeg.

00:00:40.720 --> 00:00:41.650
Powiedzmy, że przemierzamy go w kierunku

00:00:41.650 --> 00:00:43.180
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

00:00:43.180 --> 00:00:47.150
Mamy więc tą drogę, która biegnie wokół tego obszaru.

00:00:47.150 --> 00:00:49.890
Możemy ją nazwać c.

00:00:49.890 --> 00:00:51.950
Możemy ją nazwać c i będziemy

00:00:51.950 --> 00:00:57.010
ją przemierzać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

00:00:57.010 --> 00:01:02.310
Powiedzmy również, że mamy pole wekorowe F.

00:01:02.310 --> 00:01:05.360
Którego i-ta składowa jest

00:01:05.360 --> 00:01:08.030
po prostu funkcją x i y.

00:01:08.030 --> 00:01:10.310
Oraz jego j-ta składowa będzie

00:01:10.310 --> 00:01:12.530
funkcją x i y.

00:01:12.530 --> 00:01:14.780
Powiedzmy, że nie ma ono k-tej składowej.

00:01:14.780 --> 00:01:17.230
Więc pole wektorowe na tym obszarze

00:01:17.230 --> 00:01:18.750
może wyglądać jakoś tak.

00:01:18.750 --> 00:01:20.422
Rysuję po prostu losowe rzeczy.

00:01:20.422 --> 00:01:21.880
Jeśli opuścimy ten obszar,

00:01:21.880 --> 00:01:23.350
jeśli pójdziemy w kierunku osi z,

00:01:23.350 --> 00:01:25.700
będzie ono wyglądało tak samo, w miarę posuwania się w górę.

00:01:25.700 --> 00:01:27.930
Więc ten wektor nie zmieni się

00:01:27.930 --> 00:01:29.660
jeśli zmienimy współrzędną z.

00:01:29.660 --> 00:01:31.450
Wszystkie wektory będą zasadniczo równoległe

00:01:31.450 --> 00:01:35.790
do płaszczyzny xy

00:01:35.790 --> 00:01:39.100
(lub będą w niej zawarte gdy z=0).

00:01:39.100 --> 00:01:41.480
Teraz, mając to, zastanówmy się

00:01:41.480 --> 00:01:46.010
co Twierdzenie Stokesa powie nam o wartości całki krzywoliniowej

00:01:46.010 --> 00:01:48.980
po tym brzegu.

00:01:48.980 --> 00:01:51.470
Narysuję tą linię trochę schludniej.

00:01:51.470 --> 00:02:00.960
Całka krzywoliniowa po tym brzegu z F razy (skalarnie) dr

00:02:00.960 --> 00:02:05.960
F razy małe dr, gdzie dr

00:02:05.960 --> 00:02:08.280
biegnie wzdłuż brzegu.

00:02:08.280 --> 00:02:11.470
Więc jeśli weźmiemy Twierdzenie Stokesa, ta wielkość

00:02:11.470 --> 00:02:13.850
tutaj powinna być równa tej wielkości

00:02:13.850 --> 00:02:14.610
tutaj.

00:02:14.610 --> 00:02:18.850
Powinna być równa podwójnej całce po powierzchni.

00:02:18.850 --> 00:02:21.270
Właściwie ten obszar po prostu

00:02:21.270 --> 00:02:23.450
leży na płaszczyźnie xy.

00:02:23.450 --> 00:02:26.077
Więc to powinna być podwójna całka

00:02:26.077 --> 00:02:27.660
Napiszę to tym samym...

00:02:27.660 --> 00:02:31.310
To będzie podwójna całka po naszym obszarze,

00:02:31.310 --> 00:02:35.110
który jest tym samym co nasza powierzchnia

00:02:35.110 --> 00:02:37.840
z rotacji F razy (skalarnie) n.

00:02:37.840 --> 00:02:40.437
Zastanówmy się czym jest rotacja F razy (skalarnie) n.

00:02:40.437 --> 00:02:42.270
Oraz dS będzie po prostu małym kawałkiem

00:02:42.270 --> 00:02:45.510
naszego regionu, małym kawałkiem naszej płaskiej powierzchni.

00:02:45.510 --> 00:02:46.220
O, tutaj.

00:02:46.220 --> 00:02:50.180
Więc zamiast dS napiszę dA.

00:02:50.180 --> 00:02:54.000
Pomyślmy jednak czym będzie rotacja razy n.

00:02:54.000 --> 00:02:56.060
Najpierw zajmijmy się rotacją.

00:02:56.060 --> 00:02:58.910
Więc rotacja F (sposób w jaki zawsze

00:02:58.910 --> 00:03:00.810
to pamiętam to, że bierzemy

00:03:00.810 --> 00:03:06.850
wyznacznik tego i, j, k

00:03:06.850 --> 00:03:10.820
pochodna cząstkowa względem x, pochodna względem y

00:03:10.820 --> 00:03:12.330
pochodna względem z.

00:03:12.330 --> 00:03:14.450
To jest po prostu definicja rotacji

00:03:14.450 --> 00:03:16.820
Próbujemy rozstrzygnąć jak to pole wektorowe powoduje,

00:03:16.820 --> 00:03:18.910
że coś się kręci.

00:03:18.910 --> 00:03:20.980
Dalej chcemy składową "i",

00:03:20.980 --> 00:03:24.416
która jest funkcją p, zależną od x i y.

00:03:24.416 --> 00:03:26.990
Składowa j, która jest po prostu funkcją q.

00:03:26.990 --> 00:03:30.720
Nie było składowej z, więc 0.

00:03:30.720 --> 00:03:32.892
Więc ta rzecz tutaj będzie równa.. Cóż...

00:03:32.892 --> 00:03:34.350
Jeśli spojrzymy na składową i,

00:03:34.350 --> 00:03:35.960
to będzie to pochodna cząstkowa względem y z 0.

00:03:35.960 --> 00:03:42.570
To będzie po prostu 0. Minus pochodna cząstkowa q

00:03:42.570 --> 00:03:43.450
względem z.

00:03:43.450 --> 00:03:46.000
Jaka jest pochodna cząstkowa q względem z?

00:03:46.000 --> 00:03:48.190
Cóż, q nie jest funkcją zależną od z.

00:03:48.190 --> 00:03:50.470
Więc to też będzie równe 0.

00:03:50.470 --> 00:03:52.330
Zapiszę, żeby nie było wątpliwości.

00:03:52.330 --> 00:03:56.180
Zatem nasza składowa i będzie pochodną cząstkową z 0

00:03:56.180 --> 00:03:57.130
względem y.

00:03:57.130 --> 00:04:01.000
Więc będzie to 0 minus pochodna q

00:04:01.000 --> 00:04:02.290
względem z.

00:04:02.290 --> 00:04:04.340
Pochodna q względem z

00:04:04.340 --> 00:04:05.700
będzie równa 0.

00:04:05.700 --> 00:04:07.500
Więc mam zerową składową i.

00:04:07.500 --> 00:04:10.260
Dalej chcemy odjąć składową j.

00:04:10.260 --> 00:04:16.700
A składowa j to pochodna cząstkowa 0 względem x jest równa 0.

00:04:16.700 --> 00:04:20.079
Dalej od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

00:04:20.079 --> 00:04:22.180
względem z.

00:04:22.180 --> 00:04:25.590
I znów, p nie jest funkcją z.

00:04:25.590 --> 00:04:28.160
Więc to będzie znowu równe 0.

00:04:28.160 --> 00:04:33.911
Dalej jest plus k razy pochodna cząstkowa q

00:04:33.911 --> 00:04:34.410
względem x.

00:04:34.410 --> 00:04:36.320
Pamiętaj, że to jest pochodna cząstkowa.

00:04:36.320 --> 00:04:38.180
Zatem pochodna cząstkowa q względem x.

00:04:38.180 --> 00:04:41.160


00:04:41.160 --> 00:04:43.450
I od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

00:04:43.450 --> 00:04:44.570
względem y.

00:04:44.570 --> 00:04:49.690


00:04:49.690 --> 00:04:56.150
Więc rotacja F upraszcza się do tego wyrażenia.

00:04:56.150 --> 00:04:58.880
Teraz, czym jest n?

00:04:58.880 --> 00:05:02.250
Czym jest wektor normalny

00:05:02.250 --> 00:05:04.300
Jesteśmy na płaszczyźnie xy

00:05:04.300 --> 00:05:05.930
Zatem jednostkowy wektor normalny

00:05:05.930 --> 00:05:07.940
będzie skierowany dokładnie w kierunku osi z.

00:05:07.940 --> 00:05:10.390
i będzie miał długość 1.

00:05:10.390 --> 00:05:12.450
Więc w tym przypadku, nasz jednostkowy wektor normalny

00:05:12.450 --> 00:05:14.660
to po prostu wektor k.

00:05:14.660 --> 00:05:18.490
Więc zasadniczo będziemy brali... To jest rotacja F.

00:05:18.490 --> 00:05:21.880
A nasz jednostkowy wektor normalny

00:05:21.880 --> 00:05:24.510
będzie równy k.

00:05:24.510 --> 00:05:26.920
To będzie po prostu jednostkowy wektor k.

00:05:26.920 --> 00:05:28.230
Będzie skierowany prosto w górę.

00:05:28.230 --> 00:05:31.160
Co się zatem stanie jeśli przemnożymy skalarnie rotację F razy k?

00:05:31.160 --> 00:05:34.030
Jeśli przemnożymy to skalarnie przez k?

00:05:34.030 --> 00:05:36.080
Po prostu mnożymy skalarnie to z tym.

00:05:36.080 --> 00:05:39.730
Cóż, otrzymamy to wyrażenie.

00:05:39.730 --> 00:05:43.930
Zatem rotacja F razy (skalarnie) jednostkowy wektor normalny

00:05:43.930 --> 00:05:45.400
będzie po prostu równe temu.

00:05:45.400 --> 00:05:49.260
Będzie równe pochodnej cząstkowej q względem x

00:05:49.260 --> 00:05:54.980
minus pochodna cząstkowa p względem y.

00:05:54.980 --> 00:05:57.944
I to się zgadza, ponieważ używając Twierdzenia Stokesa

00:05:57.944 --> 00:05:59.610
w tym szczególnym przypadku, mamy do czynienia

00:05:59.610 --> 00:06:03.030
ze spłaszczoną powierzchnią na płaszczyźnie xy.

00:06:03.030 --> 00:06:07.960
W tym przypadku, wszystko się sprowadza do twierdzenia Greena.

00:06:07.960 --> 00:06:12.030
To wyrażenie sprowadza się po prostu do twierdzenia Greena.

00:06:12.030 --> 00:06:15.920
Zatem, jak widzimy, twierdzenie Greena jest tylko szczególnym przypadkiem.

00:06:15.920 --> 00:06:17.840
Napiszę twierdzenie bardziej schludnie.

00:06:17.840 --> 00:06:20.390
Widzimy, że twierdzenie Greena jest tak naprawdę

00:06:20.390 --> 00:06:22.800
szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa,

00:06:22.800 --> 00:06:27.360
gdy nasza powierzchnia jest spłaszczona i leży na płaszczyźnie xy.

00:06:27.360 --> 00:06:30.140
To powinno nas cieszyć,

00:06:30.140 --> 00:06:32.240
mimo że nie udowodniliśmy jeszcze twierdzenia Stokesa.

00:06:32.240 --> 00:06:34.530
Jedną rzeczą jaką lubię to widzieć,

00:06:34.530 --> 00:06:36.780
że twierdzenie Greena i Stokesa są spójne

00:06:36.780 --> 00:06:39.430
i to tutaj zaczyna mieć sens.

00:06:39.430 --> 00:06:40.810
Gdy pierwszy raz uczyliśmy się twierdzenia Greena

00:06:40.810 --> 00:06:41.380
nie było wiadomo o co chodzi.

00:06:41.380 --> 00:06:42.565
Co się tutaj dzieje?

00:06:42.565 --> 00:06:44.190
Ale teraz to mówi nam po prostu,

00:06:44.190 --> 00:06:47.920
że bierzemy rotację w tym obszarze na powierzchni.

00:06:47.920 --> 00:06:50.840
I teraz to zaczyna mieć sens, w oparciu o intuicję,

00:06:50.840 --> 00:06:54.090
jakiej nabraliśmy w poprzednim filmie.