0:00:00.520,0:00:03.242
No último vídeo, começamos a[br]explorar o Teorema de Stokes.

0:00:03.242,0:00:04.700
O que quero fazer neste vídeo

0:00:04.700,0:00:07.060
é ver se este teorema é[br]consistente com algumas

0:00:07.060,0:00:09.050
coisas que nós já vimos.

0:00:09.050,0:00:12.190
E para fazer isto, vamos imaginar --[br]deixe-me desenhar os eixos.

0:00:12.190,0:00:14.340
Este é meu eixo z.

0:00:14.340,0:00:16.680
Este é meu eixo x.

0:00:16.680,0:00:19.610
E este é meu eixo y.

0:00:19.610,0:00:23.430
Vamos imaginar agora uma[br]região no plano xy.

0:00:23.430,0:00:25.770
Vou desenhar da seguinte forma.

0:00:25.770,0:00:30.670
Digamos que esta é minha[br]região no plano xy.

0:00:30.670,0:00:34.850
Vou chamá-la de Região R.[br]E também temos aqui

0:00:34.850,0:00:36.580
os limites desta região.

0:00:36.580,0:00:40.564
Digamos que é importante saber o sentido[br]em que caminhamos sobre o contorno.

0:00:40.564,0:00:43.146
E digamos que vamos caminhar[br]em sentido anti-horário.

0:00:43.146,0:00:47.150
Portanto, temos este caminho[br]que contorna a região.

0:00:47.150,0:00:49.890
Podemos chamá-lo de c.

0:00:49.890,0:00:51.950
Portanto chamaremos de c, e iremos

0:00:51.950,0:00:57.010
caminhar no sentido anti-horário.

0:00:57.010,0:01:02.310
Digamos que também temos[br]um campo vetorial f.

0:01:02.310,0:01:05.360
Cujo componente i será[br]essencialmente

0:01:05.360,0:01:08.030
funcão de x e y.

0:01:08.030,0:01:12.303
E seu componente j será função[br]também de x e y.

0:01:12.303,0:01:14.780
Digamos que este campo não[br]possui componente k.

0:01:14.780,0:01:17.210
Portanto o campo vetorial[br]nesta região,

0:01:17.210,0:01:18.688
deverá parecer algo deste tipo.

0:01:18.688,0:01:20.432
Estou só fazendo figuras aleatórias.

0:01:20.432,0:01:21.880
E se eu saio desta região,

0:01:21.880,0:01:23.350
se vou na direção z,

0:01:23.350,0:01:25.700
teremos o mesmo padrão[br]a medida que subimos.

0:01:25.700,0:01:27.930
Portanto este vetor[br]não se alteraria

0:01:27.930,0:01:29.660
se mudássemos seu componente z.

0:01:29.660,0:01:35.137
E todos os vetores seriam essencialmente[br]paralelos a, ou se z é igual a zero

0:01:35.137,0:01:39.100
estariam no plano xy.

0:01:39.100,0:01:41.480
Sendo assim, vamos pensar sobre o que

0:01:41.480,0:01:46.010
o Teorema de Stokes nos diz sobre[br]o valor da integral de linha

0:01:46.010,0:01:48.980
ao longo do contorno[br]-- deixe-me desenhar

0:01:48.980,0:01:50.456
isto um pouco melhor.

0:01:50.456,0:01:53.232
A integral de linha ao longo

0:01:53.232,0:02:00.904
do contorno c de F ponto dr

0:02:00.904,0:02:05.960
F ponto dr, onde dr é[br]obviamente

0:02:05.960,0:02:08.280
ao longo do contorno.

0:02:08.280,0:02:11.470
Portanto usamos o Teorema[br]de Stokes, então este valor

0:02:11.470,0:02:14.593
aqui deve ser igual a[br]este valor bem aqui.

0:02:14.593,0:02:18.850
Deve ser igual à integral dupla[br]ao longo da superfície.

0:02:18.850,0:02:21.270
Bem, esta região é de fato[br]apenas a superfície

0:02:21.270,0:02:23.450
que está sobre o plano xy.

0:02:23.450,0:02:26.077
Portanto isto deve ser[br]a integral dupla --

0:02:26.077,0:02:27.660
deixe-me escrever[br]no mesmo --

0:02:27.660,0:02:31.310
será a integral dupla de nossa[br]região, que é na verdade

0:02:31.310,0:02:35.110
a mesma coisa que nossa superfície,

0:02:35.110,0:02:37.840
do rotacional de F ponto n.

0:02:37.840,0:02:40.431
Vamos pensar o que é o rotacional[br]de F ponto n.

0:02:40.431,0:02:43.020
E o ds seria apenas um pequeno[br]pedaço de nossa região

0:02:43.020,0:02:46.133
um pedaço desta superfície[br]achatada bem aqui.

0:02:46.133,0:02:50.180
Portanto em vez de ds,[br]eu escreverei dA.

0:02:50.180,0:02:54.000
Vamos pensar no que de fato[br]o rotacional de F ponto n é.

0:02:54.000,0:02:55.995
Vamos pensar no rotacional de F primeiro.

0:02:55.995,0:02:59.252
O rotacional de F -- e a forma[br]que sempre me recordo

0:02:59.252,0:03:05.733
é que iremos obter o[br]determinante de ijk,

0:03:05.733,0:03:10.400
derivada parcial em relação a x,[br]parcial em relação a y,

0:03:10.400,0:03:12.330
e parcial em relação z.

0:03:12.330,0:03:14.450
Esta é apenas a definição[br]de um rotacional.

0:03:14.450,0:03:17.033
Estamos tentando descobrir o quanto[br]este campo vetorial

0:03:17.033,0:03:18.910
causaria rotação em algo.

0:03:18.910,0:03:20.980
E então desejamos o[br]componente i, que é

0:03:20.980,0:03:24.416
nossa função de P, que é[br]função de x e y,

0:03:24.416,0:03:26.990
o componente j, que é[br]a função Q.

0:03:26.990,0:03:30.720
E como não há componente[br]na direção z, temos zero.

0:03:30.720,0:03:32.231
E isto será igual a

0:03:32.231,0:03:35.896
se observamos o componente i, ele será[br]a derivada parcial de y de zero.

0:03:35.896,0:03:40.867
O resultado disto será zero,[br]menos a derivada parcial de

0:03:40.867,0:03:43.356
q em relação a z.

0:03:43.356,0:03:46.000
Bem, qual é a derivada parcial de[br]q em relação a z?

0:03:46.000,0:03:48.006
Bem, q não é de forma[br]alguma função de z.

0:03:48.006,0:03:50.500
E também será igual a zero[br]-- deixe-me escrever isto

0:03:50.500,0:03:52.070
para que não fique muito confuso.

0:03:52.070,0:03:56.180
Nossa componente i será a[br]derivada parcial de zero

0:03:56.180,0:03:57.130
em relação a y.

0:03:57.130,0:04:01.000
Isto será igual a zero menos[br]a derivada parcial de Q

0:04:01.000,0:04:02.290
em relação a z.

0:04:02.290,0:04:04.340
A derivada parcial de[br]Q em relação a z

0:04:04.340,0:04:05.711
é igual a zero.

0:04:05.711,0:04:07.500
Temos o componente i igual a zero.

0:04:07.500,0:04:10.101
Na sequência temos de[br]subtrair o componente j.

0:04:10.101,0:04:16.700
Também a derivada parcial de zero da[br]componente j em relação a x é zero.

0:04:16.700,0:04:20.079
E disto, iremos subtrair[br]a derivada parcial de P

0:04:20.079,0:04:22.180
em relação a z.

0:04:22.180,0:04:25.590
Novamente, P não é função de z.

0:04:25.590,0:04:28.133
Logo, teremos zero.

0:04:28.133,0:04:33.468
E além disso temos k positivo[br]vezes a derivada parcial de Q

0:04:33.468,0:04:34.233
em relação a x.

0:04:34.233,0:04:36.390
Este é apenas o operador[br]de derivação parcial.

0:04:36.390,0:04:41.067
Logo, a derivada parcial de Q[br]em relação a x.

0:04:41.160,0:04:43.450
E disto vamos subtrair a[br]derivada parcial de P

0:04:43.450,0:04:44.965
em relação a y.

0:04:44.965,0:04:49.566
Derviada parcial de P em relação a y.

0:04:49.586,0:04:56.150
O rotacional de F é simplificado[br]para esta forma.

0:04:56.150,0:04:58.880
Agora, o que é n?

0:04:58.880,0:05:02.250
Qual é o vetor unitário normal?

0:05:02.250,0:05:04.300
Bem, estamos no plano xy.

0:05:04.300,0:05:05.930
Logo, o vetor normal unitário

0:05:05.930,0:05:07.940
será na direção z.

0:05:07.940,0:05:10.390
Ele terá magnitude de um.

0:05:10.390,0:05:12.450
Neste caso, nosso vetor[br]unitário normal

0:05:12.450,0:05:14.660
será simplesmente o vetor k.

0:05:14.660,0:05:16.097
Iremos essencialmente tomar...

0:05:16.097,0:05:18.333
Então o rotacional de F é isto.

0:05:18.333,0:05:24.348
E nosso vetor normal unitário[br]é simplesmente igual a k.

0:05:24.510,0:05:26.920
Ele será igual ao[br]vetor unitário k.

0:05:26.920,0:05:28.230
E direcionado[br]para cima.

0:05:28.230,0:05:31.131
E o que acontece se obtemos[br]o rotacional de F ponto k?

0:05:31.131,0:05:33.830
Se nós obtivermos o produto[br]escalar com o vetor k.

0:05:33.830,0:05:36.080
Se fizermos o produto[br]escalar disso com isto.

0:05:36.080,0:05:39.730
Bem, nós obteremos apenas[br]esta parte bem aqui.

0:05:39.730,0:05:43.930
O rotacional de F vezes o vetor[br]normal unitário será igual

0:05:43.930,0:05:45.400
a este negócio bem aqui.

0:05:45.400,0:05:49.597
Ele será igual à derivada parcial[br]de Q em relação a x

0:05:49.597,0:05:54.959
menos a derivada parcial[br]de P em relação a y.

0:05:54.959,0:05:57.867
E isto é legal pois usando[br]o Teorema de Stokes

0:05:57.867,0:05:59.790
neste caso especial, onde resolvemos

0:05:59.790,0:06:02.600
uma superfície plana no plano x

0:06:02.600,0:06:07.898
e que nesta situação, se resume[br]ao Teorema de Green.

0:06:07.898,0:06:12.030
Isto bem aqui é a redução[br]ao Teorema de Green.

0:06:12.030,0:06:15.872
Então o que o Teorema de Green é, é[br]essencialmente um caso especial --

0:06:15.872,0:06:17.840
deixe-me escrever Teorema[br]um pouco melhor.

0:06:17.840,0:06:20.390
Vemos que o Teorema de Green é na verdade

0:06:20.390,0:06:22.800
um caso especial do Teorema de Stokes,

0:06:22.800,0:06:27.230
onde a superfície é achatada, e[br]se encontra no plano xy.

0:06:27.230,0:06:30.140
Isto deveria nos fazer sentir muito[br]bem, apesar de não termos

0:06:30.140,0:06:32.240
ainda provado o Teorema de Stokes.

0:06:32.240,0:06:34.530
Mas uma coisa que gosto disto é ver que

0:06:34.530,0:06:36.618
o Teorema de Green e Stokes[br]são consistentes

0:06:36.618,0:06:39.071
faz com que isto aqui comece[br]a fazer sentido.

0:06:39.071,0:06:40.523
Ao conhecer o Teorema de Green

0:06:40.523,0:06:41.619
Pensamos: o que é isto?

0:06:41.619,0:06:42.964
O que está acontecendo aqui?

0:06:42.964,0:06:44.501
E agora ele diz que está tomando

0:06:44.501,0:06:47.920
o rotacional desta região ao[br]longo desta superfície.

0:06:47.920,0:06:50.840
E agora faz muito mais sentido[br]baseado na intuição que

0:06:50.840,0:06:52.345
vimos no último vídeo.

0:06:52.345,0:06:53.775
Legendado por [Bernardo Blasi Villari][br]Revisado por: [ Marcos Pereira ]