1
00:00:00,520 --> 00:00:03,242
No último vídeo, começamos a
explorar o Teorema de Stokes.

2
00:00:03,242 --> 00:00:04,700
O que quero fazer neste vídeo

3
00:00:04,700 --> 00:00:07,060
é ver se este teorema é
consistente com algumas

4
00:00:07,060 --> 00:00:09,050
coisas que nós já vimos.

5
00:00:09,050 --> 00:00:12,190
E para fazer isto, vamos imaginar --
deixe-me desenhar os eixos.

6
00:00:12,190 --> 00:00:14,340
Este é meu eixo z.

7
00:00:14,340 --> 00:00:16,680
Este é meu eixo x.

8
00:00:16,680 --> 00:00:19,610
E este é meu eixo y.

9
00:00:19,610 --> 00:00:23,430
Vamos imaginar agora uma
região no plano xy.

10
00:00:23,430 --> 00:00:25,770
Vou desenhar da seguinte forma.

11
00:00:25,770 --> 00:00:30,670
Digamos que esta é minha
região no plano xy.

12
00:00:30,670 --> 00:00:34,850
Vou chamá-la de Região R.
E também temos aqui

13
00:00:34,850 --> 00:00:36,580
os limites desta região.

14
00:00:36,580 --> 00:00:40,564
Digamos que é importante saber o sentido
em que caminhamos sobre o contorno.

15
00:00:40,564 --> 00:00:43,146
E digamos que vamos caminhar
em sentido anti-horário.

16
00:00:43,146 --> 00:00:47,150
Portanto, temos este caminho
que contorna a região.

17
00:00:47,150 --> 00:00:49,890
Podemos chamá-lo de c.

18
00:00:49,890 --> 00:00:51,950
Portanto chamaremos de c, e iremos

19
00:00:51,950 --> 00:00:57,010
caminhar no sentido anti-horário.

20
00:00:57,010 --> 00:01:02,310
Digamos que também temos
um campo vetorial f.

21
00:01:02,310 --> 00:01:05,360
Cujo componente i será
essencialmente

22
00:01:05,360 --> 00:01:08,030
funcão de x e y.

23
00:01:08,030 --> 00:01:12,303
E seu componente j será função
também de x e y.

24
00:01:12,303 --> 00:01:14,780
Digamos que este campo não
possui componente k.

25
00:01:14,780 --> 00:01:17,210
Portanto o campo vetorial
nesta região,

26
00:01:17,210 --> 00:01:18,688
deverá parecer algo deste tipo.

27
00:01:18,688 --> 00:01:20,432
Estou só fazendo figuras aleatórias.

28
00:01:20,432 --> 00:01:21,880
E se eu saio desta região,

29
00:01:21,880 --> 00:01:23,350
se vou na direção z,

30
00:01:23,350 --> 00:01:25,700
teremos o mesmo padrão
a medida que subimos.

31
00:01:25,700 --> 00:01:27,930
Portanto este vetor
não se alteraria

32
00:01:27,930 --> 00:01:29,660
se mudássemos seu componente z.

33
00:01:29,660 --> 00:01:35,137
E todos os vetores seriam essencialmente
paralelos a, ou se z é igual a zero

34
00:01:35,137 --> 00:01:39,100
estariam no plano xy.

35
00:01:39,100 --> 00:01:41,480
Sendo assim, vamos pensar sobre o que

36
00:01:41,480 --> 00:01:46,010
o Teorema de Stokes nos diz sobre
o valor da integral de linha

37
00:01:46,010 --> 00:01:48,980
ao longo do contorno
-- deixe-me desenhar

38
00:01:48,980 --> 00:01:50,456
isto um pouco melhor.

39
00:01:50,456 --> 00:01:53,232
A integral de linha ao longo

40
00:01:53,232 --> 00:02:00,904
do contorno c de F ponto dr

41
00:02:00,904 --> 00:02:05,960
F ponto dr, onde dr é
obviamente

42
00:02:05,960 --> 00:02:08,280
ao longo do contorno.

43
00:02:08,280 --> 00:02:11,470
Portanto usamos o Teorema
de Stokes, então este valor

44
00:02:11,470 --> 00:02:14,593
aqui deve ser igual a
este valor bem aqui.

45
00:02:14,593 --> 00:02:18,850
Deve ser igual à integral dupla
ao longo da superfície.

46
00:02:18,850 --> 00:02:21,270
Bem, esta região é de fato
apenas a superfície

47
00:02:21,270 --> 00:02:23,450
que está sobre o plano xy.

48
00:02:23,450 --> 00:02:26,077
Portanto isto deve ser
a integral dupla --

49
00:02:26,077 --> 00:02:27,660
deixe-me escrever
no mesmo --

50
00:02:27,660 --> 00:02:31,310
será a integral dupla de nossa
região, que é na verdade

51
00:02:31,310 --> 00:02:35,110
a mesma coisa que nossa superfície,

52
00:02:35,110 --> 00:02:37,840
do rotacional de F ponto n.

53
00:02:37,840 --> 00:02:40,431
Vamos pensar o que é o rotacional
de F ponto n.

54
00:02:40,431 --> 00:02:43,020
E o ds seria apenas um pequeno
pedaço de nossa região

55
00:02:43,020 --> 00:02:46,133
um pedaço desta superfície
achatada bem aqui.

56
00:02:46,133 --> 00:02:50,180
Portanto em vez de ds,
eu escreverei dA.

57
00:02:50,180 --> 00:02:54,000
Vamos pensar no que de fato
o rotacional de F ponto n é.

58
00:02:54,000 --> 00:02:55,995
Vamos pensar no rotacional de F primeiro.

59
00:02:55,995 --> 00:02:59,252
O rotacional de F -- e a forma
que sempre me recordo

60
00:02:59,252 --> 00:03:05,733
é que iremos obter o
determinante de ijk,

61
00:03:05,733 --> 00:03:10,400
derivada parcial em relação a x,
parcial em relação a y,

62
00:03:10,400 --> 00:03:12,330
e parcial em relação z.

63
00:03:12,330 --> 00:03:14,450
Esta é apenas a definição
de um rotacional.

64
00:03:14,450 --> 00:03:17,033
Estamos tentando descobrir o quanto
este campo vetorial

65
00:03:17,033 --> 00:03:18,910
causaria rotação em algo.

66
00:03:18,910 --> 00:03:20,980
E então desejamos o
componente i, que é

67
00:03:20,980 --> 00:03:24,416
nossa função de P, que é
função de x e y,

68
00:03:24,416 --> 00:03:26,990
o componente j, que é
a função Q.

69
00:03:26,990 --> 00:03:30,720
E como não há componente
na direção z, temos zero.

70
00:03:30,720 --> 00:03:32,231
E isto será igual a

71
00:03:32,231 --> 00:03:35,896
se observamos o componente i, ele será
a derivada parcial de y de zero.

72
00:03:35,896 --> 00:03:40,867
O resultado disto será zero,
menos a derivada parcial de

73
00:03:40,867 --> 00:03:43,356
q em relação a z.

74
00:03:43,356 --> 00:03:46,000
Bem, qual é a derivada parcial de
q em relação a z?

75
00:03:46,000 --> 00:03:48,006
Bem, q não é de forma
alguma função de z.

76
00:03:48,006 --> 00:03:50,500
E também será igual a zero
-- deixe-me escrever isto

77
00:03:50,500 --> 00:03:52,070
para que não fique muito confuso.

78
00:03:52,070 --> 00:03:56,180
Nossa componente i será a
derivada parcial de zero

79
00:03:56,180 --> 00:03:57,130
em relação a y.

80
00:03:57,130 --> 00:04:01,000
Isto será igual a zero menos
a derivada parcial de Q

81
00:04:01,000 --> 00:04:02,290
em relação a z.

82
00:04:02,290 --> 00:04:04,340
A derivada parcial de
Q em relação a z

83
00:04:04,340 --> 00:04:05,711
é igual a zero.

84
00:04:05,711 --> 00:04:07,500
Temos o componente i igual a zero.

85
00:04:07,500 --> 00:04:10,101
Na sequência temos de
subtrair o componente j.

86
00:04:10,101 --> 00:04:16,700
Também a derivada parcial de zero da
componente j em relação a x é zero.

87
00:04:16,700 --> 00:04:20,079
E disto, iremos subtrair
a derivada parcial de P

88
00:04:20,079 --> 00:04:22,180
em relação a z.

89
00:04:22,180 --> 00:04:25,590
Novamente, P não é função de z.

90
00:04:25,590 --> 00:04:28,133
Logo, teremos zero.

91
00:04:28,133 --> 00:04:33,468
E além disso temos k positivo
vezes a derivada parcial de Q

92
00:04:33,468 --> 00:04:34,233
em relação a x.

93
00:04:34,233 --> 00:04:36,390
Este é apenas o operador
de derivação parcial.

94
00:04:36,390 --> 00:04:41,067
Logo, a derivada parcial de Q
em relação a x.

95
00:04:41,160 --> 00:04:43,450
E disto vamos subtrair a
derivada parcial de P

96
00:04:43,450 --> 00:04:44,965
em relação a y.

97
00:04:44,965 --> 00:04:49,566
Derviada parcial de P em relação a y.

98
00:04:49,586 --> 00:04:56,150
O rotacional de F é simplificado
para esta forma.

99
00:04:56,150 --> 00:04:58,880
Agora, o que é n?

100
00:04:58,880 --> 00:05:02,250
Qual é o vetor unitário normal?

101
00:05:02,250 --> 00:05:04,300
Bem, estamos no plano xy.

102
00:05:04,300 --> 00:05:05,930
Logo, o vetor normal unitário

103
00:05:05,930 --> 00:05:07,940
será na direção z.

104
00:05:07,940 --> 00:05:10,390
Ele terá magnitude de um.

105
00:05:10,390 --> 00:05:12,450
Neste caso, nosso vetor
unitário normal

106
00:05:12,450 --> 00:05:14,660
será simplesmente o vetor k.

107
00:05:14,660 --> 00:05:16,097
Iremos essencialmente tomar...

108
00:05:16,097 --> 00:05:18,333
Então o rotacional de F é isto.

109
00:05:18,333 --> 00:05:24,348
E nosso vetor normal unitário
é simplesmente igual a k.

110
00:05:24,510 --> 00:05:26,920
Ele será igual ao
vetor unitário k.

111
00:05:26,920 --> 00:05:28,230
E direcionado
para cima.

112
00:05:28,230 --> 00:05:31,131
E o que acontece se obtemos
o rotacional de F ponto k?

113
00:05:31,131 --> 00:05:33,830
Se nós obtivermos o produto
escalar com o vetor k.

114
00:05:33,830 --> 00:05:36,080
Se fizermos o produto
escalar disso com isto.

115
00:05:36,080 --> 00:05:39,730
Bem, nós obteremos apenas
esta parte bem aqui.

116
00:05:39,730 --> 00:05:43,930
O rotacional de F vezes o vetor
normal unitário será igual

117
00:05:43,930 --> 00:05:45,400
a este negócio bem aqui.

118
00:05:45,400 --> 00:05:49,597
Ele será igual à derivada parcial
de Q em relação a x

119
00:05:49,597 --> 00:05:54,959
menos a derivada parcial
de P em relação a y.

120
00:05:54,959 --> 00:05:57,867
E isto é legal pois usando
o Teorema de Stokes

121
00:05:57,867 --> 00:05:59,790
neste caso especial, onde resolvemos

122
00:05:59,790 --> 00:06:02,600
uma superfície plana no plano x

123
00:06:02,600 --> 00:06:07,898
e que nesta situação, se resume
ao Teorema de Green.

124
00:06:07,898 --> 00:06:12,030
Isto bem aqui é a redução
ao Teorema de Green.

125
00:06:12,030 --> 00:06:15,872
Então o que o Teorema de Green é, é
essencialmente um caso especial --

126
00:06:15,872 --> 00:06:17,840
deixe-me escrever Teorema
um pouco melhor.

127
00:06:17,840 --> 00:06:20,390
Vemos que o Teorema de Green é na verdade

128
00:06:20,390 --> 00:06:22,800
um caso especial do Teorema de Stokes,

129
00:06:22,800 --> 00:06:27,230
onde a superfície é achatada, e
se encontra no plano xy.

130
00:06:27,230 --> 00:06:30,140
Isto deveria nos fazer sentir muito
bem, apesar de não termos

131
00:06:30,140 --> 00:06:32,240
ainda provado o Teorema de Stokes.

132
00:06:32,240 --> 00:06:34,530
Mas uma coisa que gosto disto é ver que

133
00:06:34,530 --> 00:06:36,618
o Teorema de Green e Stokes
são consistentes

134
00:06:36,618 --> 00:06:39,071
faz com que isto aqui comece
a fazer sentido.

135
00:06:39,071 --> 00:06:40,523
Ao conhecer o Teorema de Green

136
00:06:40,523 --> 00:06:41,619
Pensamos: o que é isto?

137
00:06:41,619 --> 00:06:42,964
O que está acontecendo aqui?

138
00:06:42,964 --> 00:06:44,501
E agora ele diz que está tomando

139
00:06:44,501 --> 00:06:47,920
o rotacional desta região ao
longo desta superfície.

140
00:06:47,920 --> 00:06:50,840
E agora faz muito mais sentido
baseado na intuição que

141
00:06:50,840 --> 00:06:52,345
vimos no último vídeo.

142
00:06:52,345 --> 00:06:53,775
Legendado por [Bernardo Blasi Villari]
Revisado por: [ Marcos Pereira ]