[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:03.24,Default,,0000,0000,0000,,No último vídeo, começamos a\Nexplorar o Teorema de Stokes.
Dialogue: 0,0:00:03.24,0:00:04.70,Default,,0000,0000,0000,,O que quero fazer neste vídeo
Dialogue: 0,0:00:04.70,0:00:07.06,Default,,0000,0000,0000,,é ver se este teorema é\Nconsistente com algumas
Dialogue: 0,0:00:07.06,0:00:09.05,Default,,0000,0000,0000,,coisas que nós já vimos.
Dialogue: 0,0:00:09.05,0:00:12.19,Default,,0000,0000,0000,,E para fazer isto, vamos imaginar --\Ndeixe-me desenhar os eixos.
Dialogue: 0,0:00:12.19,0:00:14.34,Default,,0000,0000,0000,,Este é meu eixo z.
Dialogue: 0,0:00:14.34,0:00:16.68,Default,,0000,0000,0000,,Este é meu eixo x.
Dialogue: 0,0:00:16.68,0:00:19.61,Default,,0000,0000,0000,,E este é meu eixo y.
Dialogue: 0,0:00:19.61,0:00:23.43,Default,,0000,0000,0000,,Vamos imaginar agora uma\Nregião no plano xy.
Dialogue: 0,0:00:23.43,0:00:25.77,Default,,0000,0000,0000,,Vou desenhar da seguinte forma.
Dialogue: 0,0:00:25.77,0:00:30.67,Default,,0000,0000,0000,,Digamos que esta é minha\Nregião no plano xy.
Dialogue: 0,0:00:30.67,0:00:34.85,Default,,0000,0000,0000,,Vou chamá-la de Região R.\NE também temos aqui
Dialogue: 0,0:00:34.85,0:00:36.58,Default,,0000,0000,0000,,os limites desta região.
Dialogue: 0,0:00:36.58,0:00:40.56,Default,,0000,0000,0000,,Digamos que é importante saber o sentido\Nem que caminhamos sobre o contorno.
Dialogue: 0,0:00:40.56,0:00:43.15,Default,,0000,0000,0000,,E digamos que vamos caminhar\Nem sentido anti-horário.
Dialogue: 0,0:00:43.15,0:00:47.15,Default,,0000,0000,0000,,Portanto, temos este caminho\Nque contorna a região.
Dialogue: 0,0:00:47.15,0:00:49.89,Default,,0000,0000,0000,,Podemos chamá-lo de c.
Dialogue: 0,0:00:49.89,0:00:51.95,Default,,0000,0000,0000,,Portanto chamaremos de c, e iremos
Dialogue: 0,0:00:51.95,0:00:57.01,Default,,0000,0000,0000,,caminhar no sentido anti-horário.
Dialogue: 0,0:00:57.01,0:01:02.31,Default,,0000,0000,0000,,Digamos que também temos\Num campo vetorial f.
Dialogue: 0,0:01:02.31,0:01:05.36,Default,,0000,0000,0000,,Cujo componente i será\Nessencialmente
Dialogue: 0,0:01:05.36,0:01:08.03,Default,,0000,0000,0000,,funcão de x e y.
Dialogue: 0,0:01:08.03,0:01:12.30,Default,,0000,0000,0000,,E seu componente j será função\Ntambém de x e y.
Dialogue: 0,0:01:12.30,0:01:14.78,Default,,0000,0000,0000,,Digamos que este campo não\Npossui componente k.
Dialogue: 0,0:01:14.78,0:01:17.21,Default,,0000,0000,0000,,Portanto o campo vetorial\Nnesta região,
Dialogue: 0,0:01:17.21,0:01:18.69,Default,,0000,0000,0000,,deverá parecer algo deste tipo.
Dialogue: 0,0:01:18.69,0:01:20.43,Default,,0000,0000,0000,,Estou só fazendo figuras aleatórias.
Dialogue: 0,0:01:20.43,0:01:21.88,Default,,0000,0000,0000,,E se eu saio desta região,
Dialogue: 0,0:01:21.88,0:01:23.35,Default,,0000,0000,0000,,se vou na direção z,
Dialogue: 0,0:01:23.35,0:01:25.70,Default,,0000,0000,0000,,teremos o mesmo padrão\Na medida que subimos.
Dialogue: 0,0:01:25.70,0:01:27.93,Default,,0000,0000,0000,,Portanto este vetor\Nnão se alteraria
Dialogue: 0,0:01:27.93,0:01:29.66,Default,,0000,0000,0000,,se mudássemos seu componente z.
Dialogue: 0,0:01:29.66,0:01:35.14,Default,,0000,0000,0000,,E todos os vetores seriam essencialmente\Nparalelos a, ou se z é igual a zero
Dialogue: 0,0:01:35.14,0:01:39.10,Default,,0000,0000,0000,,estariam no plano xy.
Dialogue: 0,0:01:39.10,0:01:41.48,Default,,0000,0000,0000,,Sendo assim, vamos pensar sobre o que
Dialogue: 0,0:01:41.48,0:01:46.01,Default,,0000,0000,0000,,o Teorema de Stokes nos diz sobre\No valor da integral de linha
Dialogue: 0,0:01:46.01,0:01:48.98,Default,,0000,0000,0000,,ao longo do contorno\N-- deixe-me desenhar
Dialogue: 0,0:01:48.98,0:01:50.46,Default,,0000,0000,0000,,isto um pouco melhor.
Dialogue: 0,0:01:50.46,0:01:53.23,Default,,0000,0000,0000,,A integral de linha ao longo
Dialogue: 0,0:01:53.23,0:02:00.90,Default,,0000,0000,0000,,do contorno c de F ponto dr
Dialogue: 0,0:02:00.90,0:02:05.96,Default,,0000,0000,0000,,F ponto dr, onde dr é\Nobviamente
Dialogue: 0,0:02:05.96,0:02:08.28,Default,,0000,0000,0000,,ao longo do contorno.
Dialogue: 0,0:02:08.28,0:02:11.47,Default,,0000,0000,0000,,Portanto usamos o Teorema\Nde Stokes, então este valor
Dialogue: 0,0:02:11.47,0:02:14.59,Default,,0000,0000,0000,,aqui deve ser igual a\Neste valor bem aqui.
Dialogue: 0,0:02:14.59,0:02:18.85,Default,,0000,0000,0000,,Deve ser igual à integral dupla\Nao longo da superfície.
Dialogue: 0,0:02:18.85,0:02:21.27,Default,,0000,0000,0000,,Bem, esta região é de fato\Napenas a superfície
Dialogue: 0,0:02:21.27,0:02:23.45,Default,,0000,0000,0000,,que está sobre o plano xy.
Dialogue: 0,0:02:23.45,0:02:26.08,Default,,0000,0000,0000,,Portanto isto deve ser\Na integral dupla --
Dialogue: 0,0:02:26.08,0:02:27.66,Default,,0000,0000,0000,,deixe-me escrever\Nno mesmo --
Dialogue: 0,0:02:27.66,0:02:31.31,Default,,0000,0000,0000,,será a integral dupla de nossa\Nregião, que é na verdade
Dialogue: 0,0:02:31.31,0:02:35.11,Default,,0000,0000,0000,,a mesma coisa que nossa superfície,
Dialogue: 0,0:02:35.11,0:02:37.84,Default,,0000,0000,0000,,do rotacional de F ponto n.
Dialogue: 0,0:02:37.84,0:02:40.43,Default,,0000,0000,0000,,Vamos pensar o que é o rotacional\Nde F ponto n.
Dialogue: 0,0:02:40.43,0:02:43.02,Default,,0000,0000,0000,,E o ds seria apenas um pequeno\Npedaço de nossa região
Dialogue: 0,0:02:43.02,0:02:46.13,Default,,0000,0000,0000,,um pedaço desta superfície\Nachatada bem aqui.
Dialogue: 0,0:02:46.13,0:02:50.18,Default,,0000,0000,0000,,Portanto em vez de ds,\Neu escreverei dA.
Dialogue: 0,0:02:50.18,0:02:54.00,Default,,0000,0000,0000,,Vamos pensar no que de fato\No rotacional de F ponto n é.
Dialogue: 0,0:02:54.00,0:02:55.100,Default,,0000,0000,0000,,Vamos pensar no rotacional de F primeiro.
Dialogue: 0,0:02:55.100,0:02:59.25,Default,,0000,0000,0000,,O rotacional de F -- e a forma\Nque sempre me recordo
Dialogue: 0,0:02:59.25,0:03:05.73,Default,,0000,0000,0000,,é que iremos obter o\Ndeterminante de ijk,
Dialogue: 0,0:03:05.73,0:03:10.40,Default,,0000,0000,0000,,derivada parcial em relação a x,\Nparcial em relação a y,
Dialogue: 0,0:03:10.40,0:03:12.33,Default,,0000,0000,0000,,e parcial em relação z.
Dialogue: 0,0:03:12.33,0:03:14.45,Default,,0000,0000,0000,,Esta é apenas a definição\Nde um rotacional.
Dialogue: 0,0:03:14.45,0:03:17.03,Default,,0000,0000,0000,,Estamos tentando descobrir o quanto\Neste campo vetorial
Dialogue: 0,0:03:17.03,0:03:18.91,Default,,0000,0000,0000,,causaria rotação em algo.
Dialogue: 0,0:03:18.91,0:03:20.98,Default,,0000,0000,0000,,E então desejamos o\Ncomponente i, que é
Dialogue: 0,0:03:20.98,0:03:24.42,Default,,0000,0000,0000,,nossa função de P, que é\Nfunção de x e y,
Dialogue: 0,0:03:24.42,0:03:26.99,Default,,0000,0000,0000,,o componente j, que é\Na função Q.
Dialogue: 0,0:03:26.99,0:03:30.72,Default,,0000,0000,0000,,E como não há componente\Nna direção z, temos zero.
Dialogue: 0,0:03:30.72,0:03:32.23,Default,,0000,0000,0000,,E isto será igual a
Dialogue: 0,0:03:32.23,0:03:35.90,Default,,0000,0000,0000,,se observamos o componente i, ele será\Na derivada parcial de y de zero.
Dialogue: 0,0:03:35.90,0:03:40.87,Default,,0000,0000,0000,,O resultado disto será zero,\Nmenos a derivada parcial de
Dialogue: 0,0:03:40.87,0:03:43.36,Default,,0000,0000,0000,,q em relação a z.
Dialogue: 0,0:03:43.36,0:03:46.00,Default,,0000,0000,0000,,Bem, qual é a derivada parcial de\Nq em relação a z?
Dialogue: 0,0:03:46.00,0:03:48.01,Default,,0000,0000,0000,,Bem, q não é de forma\Nalguma função de z.
Dialogue: 0,0:03:48.01,0:03:50.50,Default,,0000,0000,0000,,E também será igual a zero\N-- deixe-me escrever isto
Dialogue: 0,0:03:50.50,0:03:52.07,Default,,0000,0000,0000,,para que não fique muito confuso.
Dialogue: 0,0:03:52.07,0:03:56.18,Default,,0000,0000,0000,,Nossa componente i será a\Nderivada parcial de zero
Dialogue: 0,0:03:56.18,0:03:57.13,Default,,0000,0000,0000,,em relação a y.
Dialogue: 0,0:03:57.13,0:04:01.00,Default,,0000,0000,0000,,Isto será igual a zero menos\Na derivada parcial de Q
Dialogue: 0,0:04:01.00,0:04:02.29,Default,,0000,0000,0000,,em relação a z.
Dialogue: 0,0:04:02.29,0:04:04.34,Default,,0000,0000,0000,,A derivada parcial de\NQ em relação a z
Dialogue: 0,0:04:04.34,0:04:05.71,Default,,0000,0000,0000,,é igual a zero.
Dialogue: 0,0:04:05.71,0:04:07.50,Default,,0000,0000,0000,,Temos o componente i igual a zero.
Dialogue: 0,0:04:07.50,0:04:10.10,Default,,0000,0000,0000,,Na sequência temos de\Nsubtrair o componente j.
Dialogue: 0,0:04:10.10,0:04:16.70,Default,,0000,0000,0000,,Também a derivada parcial de zero da\Ncomponente j em relação a x é zero.
Dialogue: 0,0:04:16.70,0:04:20.08,Default,,0000,0000,0000,,E disto, iremos subtrair\Na derivada parcial de P
Dialogue: 0,0:04:20.08,0:04:22.18,Default,,0000,0000,0000,,em relação a z.
Dialogue: 0,0:04:22.18,0:04:25.59,Default,,0000,0000,0000,,Novamente, P não é função de z.
Dialogue: 0,0:04:25.59,0:04:28.13,Default,,0000,0000,0000,,Logo, teremos zero.
Dialogue: 0,0:04:28.13,0:04:33.47,Default,,0000,0000,0000,,E além disso temos k positivo\Nvezes a derivada parcial de Q
Dialogue: 0,0:04:33.47,0:04:34.23,Default,,0000,0000,0000,,em relação a x.
Dialogue: 0,0:04:34.23,0:04:36.39,Default,,0000,0000,0000,,Este é apenas o operador\Nde derivação parcial.
Dialogue: 0,0:04:36.39,0:04:41.07,Default,,0000,0000,0000,,Logo, a derivada parcial de Q\Nem relação a x.
Dialogue: 0,0:04:41.16,0:04:43.45,Default,,0000,0000,0000,,E disto vamos subtrair a\Nderivada parcial de P
Dialogue: 0,0:04:43.45,0:04:44.96,Default,,0000,0000,0000,,em relação a y.
Dialogue: 0,0:04:44.96,0:04:49.57,Default,,0000,0000,0000,,Derviada parcial de P em relação a y.
Dialogue: 0,0:04:49.59,0:04:56.15,Default,,0000,0000,0000,,O rotacional de F é simplificado\Npara esta forma.
Dialogue: 0,0:04:56.15,0:04:58.88,Default,,0000,0000,0000,,Agora, o que é n?
Dialogue: 0,0:04:58.88,0:05:02.25,Default,,0000,0000,0000,,Qual é o vetor unitário normal?
Dialogue: 0,0:05:02.25,0:05:04.30,Default,,0000,0000,0000,,Bem, estamos no plano xy.
Dialogue: 0,0:05:04.30,0:05:05.93,Default,,0000,0000,0000,,Logo, o vetor normal unitário
Dialogue: 0,0:05:05.93,0:05:07.94,Default,,0000,0000,0000,,será na direção z.
Dialogue: 0,0:05:07.94,0:05:10.39,Default,,0000,0000,0000,,Ele terá magnitude de um.
Dialogue: 0,0:05:10.39,0:05:12.45,Default,,0000,0000,0000,,Neste caso, nosso vetor\Nunitário normal
Dialogue: 0,0:05:12.45,0:05:14.66,Default,,0000,0000,0000,,será simplesmente o vetor k.
Dialogue: 0,0:05:14.66,0:05:16.10,Default,,0000,0000,0000,,Iremos essencialmente tomar...
Dialogue: 0,0:05:16.10,0:05:18.33,Default,,0000,0000,0000,,Então o rotacional de F é isto.
Dialogue: 0,0:05:18.33,0:05:24.35,Default,,0000,0000,0000,,E nosso vetor normal unitário\Né simplesmente igual a k.
Dialogue: 0,0:05:24.51,0:05:26.92,Default,,0000,0000,0000,,Ele será igual ao\Nvetor unitário k.
Dialogue: 0,0:05:26.92,0:05:28.23,Default,,0000,0000,0000,,E direcionado\Npara cima.
Dialogue: 0,0:05:28.23,0:05:31.13,Default,,0000,0000,0000,,E o que acontece se obtemos\No rotacional de F ponto k?
Dialogue: 0,0:05:31.13,0:05:33.83,Default,,0000,0000,0000,,Se nós obtivermos o produto\Nescalar com o vetor k.
Dialogue: 0,0:05:33.83,0:05:36.08,Default,,0000,0000,0000,,Se fizermos o produto\Nescalar disso com isto.
Dialogue: 0,0:05:36.08,0:05:39.73,Default,,0000,0000,0000,,Bem, nós obteremos apenas\Nesta parte bem aqui.
Dialogue: 0,0:05:39.73,0:05:43.93,Default,,0000,0000,0000,,O rotacional de F vezes o vetor\Nnormal unitário será igual
Dialogue: 0,0:05:43.93,0:05:45.40,Default,,0000,0000,0000,,a este negócio bem aqui.
Dialogue: 0,0:05:45.40,0:05:49.60,Default,,0000,0000,0000,,Ele será igual à derivada parcial\Nde Q em relação a x
Dialogue: 0,0:05:49.60,0:05:54.96,Default,,0000,0000,0000,,menos a derivada parcial\Nde P em relação a y.
Dialogue: 0,0:05:54.96,0:05:57.87,Default,,0000,0000,0000,,E isto é legal pois usando\No Teorema de Stokes
Dialogue: 0,0:05:57.87,0:05:59.79,Default,,0000,0000,0000,,neste caso especial, onde resolvemos
Dialogue: 0,0:05:59.79,0:06:02.60,Default,,0000,0000,0000,,uma superfície plana no plano x
Dialogue: 0,0:06:02.60,0:06:07.90,Default,,0000,0000,0000,,e que nesta situação, se resume\Nao Teorema de Green.
Dialogue: 0,0:06:07.90,0:06:12.03,Default,,0000,0000,0000,,Isto bem aqui é a redução\Nao Teorema de Green.
Dialogue: 0,0:06:12.03,0:06:15.87,Default,,0000,0000,0000,,Então o que o Teorema de Green é, é\Nessencialmente um caso especial --
Dialogue: 0,0:06:15.87,0:06:17.84,Default,,0000,0000,0000,,deixe-me escrever Teorema\Num pouco melhor.
Dialogue: 0,0:06:17.84,0:06:20.39,Default,,0000,0000,0000,,Vemos que o Teorema de Green é na verdade
Dialogue: 0,0:06:20.39,0:06:22.80,Default,,0000,0000,0000,,um caso especial do Teorema de Stokes,
Dialogue: 0,0:06:22.80,0:06:27.23,Default,,0000,0000,0000,,onde a superfície é achatada, e\Nse encontra no plano xy.
Dialogue: 0,0:06:27.23,0:06:30.14,Default,,0000,0000,0000,,Isto deveria nos fazer sentir muito\Nbem, apesar de não termos
Dialogue: 0,0:06:30.14,0:06:32.24,Default,,0000,0000,0000,,ainda provado o Teorema de Stokes.
Dialogue: 0,0:06:32.24,0:06:34.53,Default,,0000,0000,0000,,Mas uma coisa que gosto disto é ver que
Dialogue: 0,0:06:34.53,0:06:36.62,Default,,0000,0000,0000,,o Teorema de Green e Stokes\Nsão consistentes
Dialogue: 0,0:06:36.62,0:06:39.07,Default,,0000,0000,0000,,faz com que isto aqui comece\Na fazer sentido.
Dialogue: 0,0:06:39.07,0:06:40.52,Default,,0000,0000,0000,,Ao conhecer o Teorema de Green
Dialogue: 0,0:06:40.52,0:06:41.62,Default,,0000,0000,0000,,Pensamos: o que é isto?
Dialogue: 0,0:06:41.62,0:06:42.96,Default,,0000,0000,0000,,O que está acontecendo aqui?
Dialogue: 0,0:06:42.96,0:06:44.50,Default,,0000,0000,0000,,E agora ele diz que está tomando
Dialogue: 0,0:06:44.50,0:06:47.92,Default,,0000,0000,0000,,o rotacional desta região ao\Nlongo desta superfície.
Dialogue: 0,0:06:47.92,0:06:50.84,Default,,0000,0000,0000,,E agora faz muito mais sentido\Nbaseado na intuição que
Dialogue: 0,0:06:50.84,0:06:52.34,Default,,0000,0000,0000,,vimos no último vídeo.
Dialogue: 0,0:06:52.34,0:06:53.78,Default,,0000,0000,0000,,Legendado por [Bernardo Blasi Villari]\NRevisado por: [ Marcos Pereira ]