No último vídeo, começamos a explorar o Teorema de Stokes.
O que quero fazer neste vídeo
é ver se este teorema é consistente com algumas
coisas que nós já vimos.
E para fazer isto, vamos imaginar -- deixe-me desenhar os eixos.
Este é meu eixo z.
Este é meu eixo x.
E este é meu eixo y.
Vamos imaginar agora uma região no plano xy.
Vou desenhar da seguinte forma.
Digamos que esta é minha região no plano xy.
Vou chamá-la de Região R. E também temos aqui
os limites desta região.
Digamos que é importante saber o sentido em que caminhamos sobre o contorno.
E digamos que vamos caminhar em sentido anti-horário.
Portanto, temos este caminho que contorna a região.
Podemos chamá-lo de c.
Portanto chamaremos de c, e iremos
caminhar no sentido anti-horário.
Digamos que também temos um campo vetorial f.
Cujo componente i será essencialmente
funcão de x e y.
E seu componente j será função também de x e y.
Digamos que este campo não possui componente k.
Portanto o campo vetorial nesta região,
deverá parecer algo deste tipo.
Estou só fazendo figuras aleatórias.
E se eu saio desta região,
se vou na direção z,
teremos o mesmo padrão a medida que subimos.
Portanto este vetor não se alteraria
se mudássemos seu componente z.
E todos os vetores seriam essencialmente paralelos a, ou se z é igual a zero
estariam no plano xy.
Sendo assim, vamos pensar sobre o que
o Teorema de Stokes nos diz sobre o valor da integral de linha
ao longo do contorno -- deixe-me desenhar
isto um pouco melhor.
A integral de linha ao longo
do contorno c de F ponto dr
F ponto dr, onde dr é obviamente
ao longo do contorno.
Portanto usamos o Teorema de Stokes, então este valor
aqui deve ser igual a este valor bem aqui.
Deve ser igual à integral dupla ao longo da superfície.
Bem, esta região é de fato apenas a superfície
que está sobre o plano xy.
Portanto isto deve ser a integral dupla --
deixe-me escrever no mesmo --
será a integral dupla de nossa região, que é na verdade
a mesma coisa que nossa superfície,
do rotacional de F ponto n.
Vamos pensar o que é o rotacional de F ponto n.
E o ds seria apenas um pequeno pedaço de nossa região
um pedaço desta superfície achatada bem aqui.
Portanto em vez de ds, eu escreverei dA.
Vamos pensar no que de fato o rotacional de F ponto n é.
Vamos pensar no rotacional de F primeiro.
O rotacional de F -- e a forma que sempre me recordo
é que iremos obter o determinante de ijk,
derivada parcial em relação a x, parcial em relação a y,
e parcial em relação z.
Esta é apenas a definição de um rotacional.
Estamos tentando descobrir o quanto este campo vetorial
causaria rotação em algo.
E então desejamos o componente i, que é
nossa função de P, que é função de x e y,
o componente j, que é a função Q.
E como não há componente na direção z, temos zero.
E isto será igual a
se observamos o componente i, ele será a derivada parcial de y de zero.
O resultado disto será zero, menos a derivada parcial de
q em relação a z.
Bem, qual é a derivada parcial de q em relação a z?
Bem, q não é de forma alguma função de z.
E também será igual a zero -- deixe-me escrever isto
para que não fique muito confuso.
Nossa componente i será a derivada parcial de zero
em relação a y.
Isto será igual a zero menos a derivada parcial de Q
em relação a z.
A derivada parcial de Q em relação a z
é igual a zero.
Temos o componente i igual a zero.
Na sequência temos de subtrair o componente j.
Também a derivada parcial de zero da componente j em relação a x é zero.
E disto, iremos subtrair a derivada parcial de P
em relação a z.
Novamente, P não é função de z.
Logo, teremos zero.
E além disso temos k positivo vezes a derivada parcial de Q
em relação a x.
Este é apenas o operador de derivação parcial.
Logo, a derivada parcial de Q em relação a x.
E disto vamos subtrair a derivada parcial de P
em relação a y.
Derviada parcial de P em relação a y.
O rotacional de F é simplificado para esta forma.
Agora, o que é n?
Qual é o vetor unitário normal?
Bem, estamos no plano xy.
Logo, o vetor normal unitário
será na direção z.
Ele terá magnitude de um.
Neste caso, nosso vetor unitário normal
será simplesmente o vetor k.
Iremos essencialmente tomar...
Então o rotacional de F é isto.
E nosso vetor normal unitário é simplesmente igual a k.
Ele será igual ao vetor unitário k.
E direcionado para cima.
E o que acontece se obtemos o rotacional de F ponto k?
Se nós obtivermos o produto escalar com o vetor k.
Se fizermos o produto escalar disso com isto.
Bem, nós obteremos apenas esta parte bem aqui.
O rotacional de F vezes o vetor normal unitário será igual
a este negócio bem aqui.
Ele será igual à derivada parcial de Q em relação a x
menos a derivada parcial de P em relação a y.
E isto é legal pois usando o Teorema de Stokes
neste caso especial, onde resolvemos
uma superfície plana no plano x
e que nesta situação, se resume ao Teorema de Green.
Isto bem aqui é a redução ao Teorema de Green.
Então o que o Teorema de Green é, é essencialmente um caso especial --
deixe-me escrever Teorema um pouco melhor.
Vemos que o Teorema de Green é na verdade
um caso especial do Teorema de Stokes,
onde a superfície é achatada, e se encontra no plano xy.
Isto deveria nos fazer sentir muito bem, apesar de não termos
ainda provado o Teorema de Stokes.
Mas uma coisa que gosto disto é ver que
o Teorema de Green e Stokes são consistentes
faz com que isto aqui comece a fazer sentido.
Ao conhecer o Teorema de Green
Pensamos: o que é isto?
O que está acontecendo aqui?
E agora ele diz que está tomando
o rotacional desta região ao longo desta superfície.
E agora faz muito mais sentido baseado na intuição que
vimos no último vídeo.
Legendado por [Bernardo Blasi Villari] Revisado por: [ Marcos Pereira ]