WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:03.242
No último vídeo, começamos a
explorar o Teorema de Stokes.

00:00:03.242 --> 00:00:04.700
O que quero fazer neste vídeo

00:00:04.700 --> 00:00:07.060
é ver se este teorema é
consistente com algumas

00:00:07.060 --> 00:00:09.050
coisas que nós já vimos.

00:00:09.050 --> 00:00:12.190
E para fazer isto, vamos imaginar --
deixe-me desenhar os eixos.

00:00:12.190 --> 00:00:14.340
Este é meu eixo z.

00:00:14.340 --> 00:00:16.680
Este é meu eixo x.

00:00:16.680 --> 00:00:19.610
E este é meu eixo y.

00:00:19.610 --> 00:00:23.430
Vamos imaginar agora uma
região no plano xy.

00:00:23.430 --> 00:00:25.770
Vou desenhar da seguinte forma.

00:00:25.770 --> 00:00:30.670
Digamos que esta é minha
região no plano xy.

00:00:30.670 --> 00:00:34.850
Vou chamá-la de Região R.
E também temos aqui

00:00:34.850 --> 00:00:36.580
os limites desta região.

00:00:36.580 --> 00:00:40.564
Digamos que é importante saber o sentido
em que caminhamos sobre o contorno.

00:00:40.564 --> 00:00:43.146
E digamos que vamos caminhar
em sentido anti-horário.

00:00:43.146 --> 00:00:47.150
Portanto, temos este caminho
que contorna a região.

00:00:47.150 --> 00:00:49.890
Podemos chamá-lo de c.

00:00:49.890 --> 00:00:51.950
Portanto chamaremos de c, e iremos

00:00:51.950 --> 00:00:57.010
caminhar no sentido anti-horário.

00:00:57.010 --> 00:01:02.310
Digamos que também temos
um campo vetorial f.

00:01:02.310 --> 00:01:05.360
Cujo componente i será
essencialmente

00:01:05.360 --> 00:01:08.030
funcão de x e y.

00:01:08.030 --> 00:01:12.303
E seu componente j será função
também de x e y.

00:01:12.303 --> 00:01:14.780
Digamos que este campo não
possui componente k.

00:01:14.780 --> 00:01:17.210
Portanto o campo vetorial
nesta região,

00:01:17.210 --> 00:01:18.688
deverá parecer algo deste tipo.

00:01:18.688 --> 00:01:20.432
Estou só fazendo figuras aleatórias.

00:01:20.432 --> 00:01:21.880
E se eu saio desta região,

00:01:21.880 --> 00:01:23.350
se vou na direção z,

00:01:23.350 --> 00:01:25.700
teremos o mesmo padrão
a medida que subimos.

00:01:25.700 --> 00:01:27.930
Portanto este vetor
não se alteraria

00:01:27.930 --> 00:01:29.660
se mudássemos seu componente z.

00:01:29.660 --> 00:01:35.137
E todos os vetores seriam essencialmente
paralelos a, ou se z é igual a zero

00:01:35.137 --> 00:01:39.100
estariam no plano xy.

00:01:39.100 --> 00:01:41.480
Sendo assim, vamos pensar sobre o que

00:01:41.480 --> 00:01:46.010
o Teorema de Stokes nos diz sobre
o valor da integral de linha

00:01:46.010 --> 00:01:48.980
ao longo do contorno
-- deixe-me desenhar

00:01:48.980 --> 00:01:50.456
isto um pouco melhor.

00:01:50.456 --> 00:01:53.232
A integral de linha ao longo

00:01:53.232 --> 00:02:00.904
do contorno c de F ponto dr

00:02:00.904 --> 00:02:05.960
F ponto dr, onde dr é
obviamente

00:02:05.960 --> 00:02:08.280
ao longo do contorno.

00:02:08.280 --> 00:02:11.470
Portanto usamos o Teorema
de Stokes, então este valor

00:02:11.470 --> 00:02:14.593
aqui deve ser igual a
este valor bem aqui.

00:02:14.593 --> 00:02:18.850
Deve ser igual à integral dupla
ao longo da superfície.

00:02:18.850 --> 00:02:21.270
Bem, esta região é de fato
apenas a superfície

00:02:21.270 --> 00:02:23.450
que está sobre o plano xy.

00:02:23.450 --> 00:02:26.077
Portanto isto deve ser
a integral dupla --

00:02:26.077 --> 00:02:27.660
deixe-me escrever
no mesmo --

00:02:27.660 --> 00:02:31.310
será a integral dupla de nossa
região, que é na verdade

00:02:31.310 --> 00:02:35.110
a mesma coisa que nossa superfície,

00:02:35.110 --> 00:02:37.840
do rotacional de F ponto n.

00:02:37.840 --> 00:02:40.431
Vamos pensar o que é o rotacional
de F ponto n.

00:02:40.431 --> 00:02:43.020
E o ds seria apenas um pequeno
pedaço de nossa região

00:02:43.020 --> 00:02:46.133
um pedaço desta superfície
achatada bem aqui.

00:02:46.133 --> 00:02:50.180
Portanto em vez de ds,
eu escreverei dA.

00:02:50.180 --> 00:02:54.000
Vamos pensar no que de fato
o rotacional de F ponto n é.

00:02:54.000 --> 00:02:55.995
Vamos pensar no rotacional de F primeiro.

00:02:55.995 --> 00:02:59.252
O rotacional de F -- e a forma
que sempre me recordo

00:02:59.252 --> 00:03:05.733
é que iremos obter o
determinante de ijk,

00:03:05.733 --> 00:03:10.400
derivada parcial em relação a x,
parcial em relação a y,

00:03:10.400 --> 00:03:12.330
e parcial em relação z.

00:03:12.330 --> 00:03:14.450
Esta é apenas a definição
de um rotacional.

00:03:14.450 --> 00:03:17.033
Estamos tentando descobrir o quanto
este campo vetorial

00:03:17.033 --> 00:03:18.910
causaria rotação em algo.

00:03:18.910 --> 00:03:20.980
E então desejamos o
componente i, que é

00:03:20.980 --> 00:03:24.416
nossa função de P, que é
função de x e y,

00:03:24.416 --> 00:03:26.990
o componente j, que é
a função Q.

00:03:26.990 --> 00:03:30.720
E como não há componente
na direção z, temos zero.

00:03:30.720 --> 00:03:32.231
E isto será igual a

00:03:32.231 --> 00:03:35.896
se observamos o componente i, ele será
a derivada parcial de y de zero.

00:03:35.896 --> 00:03:40.867
O resultado disto será zero,
menos a derivada parcial de

00:03:40.867 --> 00:03:43.356
q em relação a z.

00:03:43.356 --> 00:03:46.000
Bem, qual é a derivada parcial de
q em relação a z?

00:03:46.000 --> 00:03:48.006
Bem, q não é de forma
alguma função de z.

00:03:48.006 --> 00:03:50.500
E também será igual a zero
-- deixe-me escrever isto

00:03:50.500 --> 00:03:52.070
para que não fique muito confuso.

00:03:52.070 --> 00:03:56.180
Nossa componente i será a
derivada parcial de zero

00:03:56.180 --> 00:03:57.130
em relação a y.

00:03:57.130 --> 00:04:01.000
Isto será igual a zero menos
a derivada parcial de Q

00:04:01.000 --> 00:04:02.290
em relação a z.

00:04:02.290 --> 00:04:04.340
A derivada parcial de
Q em relação a z

00:04:04.340 --> 00:04:05.711
é igual a zero.

00:04:05.711 --> 00:04:07.500
Temos o componente i igual a zero.

00:04:07.500 --> 00:04:10.101
Na sequência temos de
subtrair o componente j.

00:04:10.101 --> 00:04:16.700
Também a derivada parcial de zero da
componente j em relação a x é zero.

00:04:16.700 --> 00:04:20.079
E disto, iremos subtrair
a derivada parcial de P

00:04:20.079 --> 00:04:22.180
em relação a z.

00:04:22.180 --> 00:04:25.590
Novamente, P não é função de z.

00:04:25.590 --> 00:04:28.133
Logo, teremos zero.

00:04:28.133 --> 00:04:33.468
E além disso temos k positivo
vezes a derivada parcial de Q

00:04:33.468 --> 00:04:34.233
em relação a x.

00:04:34.233 --> 00:04:36.390
Este é apenas o operador
de derivação parcial.

00:04:36.390 --> 00:04:41.067
Logo, a derivada parcial de Q
em relação a x.

00:04:41.160 --> 00:04:43.450
E disto vamos subtrair a
derivada parcial de P

00:04:43.450 --> 00:04:44.965
em relação a y.

00:04:44.965 --> 00:04:49.566
Derviada parcial de P em relação a y.

00:04:49.586 --> 00:04:56.150
O rotacional de F é simplificado
para esta forma.

00:04:56.150 --> 00:04:58.880
Agora, o que é n?

00:04:58.880 --> 00:05:02.250
Qual é o vetor unitário normal?

00:05:02.250 --> 00:05:04.300
Bem, estamos no plano xy.

00:05:04.300 --> 00:05:05.930
Logo, o vetor normal unitário

00:05:05.930 --> 00:05:07.940
será na direção z.

00:05:07.940 --> 00:05:10.390
Ele terá magnitude de um.

00:05:10.390 --> 00:05:12.450
Neste caso, nosso vetor
unitário normal

00:05:12.450 --> 00:05:14.660
será simplesmente o vetor k.

00:05:14.660 --> 00:05:16.097
Iremos essencialmente tomar...

00:05:16.097 --> 00:05:18.333
Então o rotacional de F é isto.

00:05:18.333 --> 00:05:24.348
E nosso vetor normal unitário
é simplesmente igual a k.

00:05:24.510 --> 00:05:26.920
Ele será igual ao
vetor unitário k.

00:05:26.920 --> 00:05:28.230
E direcionado
para cima.

00:05:28.230 --> 00:05:31.131
E o que acontece se obtemos
o rotacional de F ponto k?

00:05:31.131 --> 00:05:33.830
Se nós obtivermos o produto
escalar com o vetor k.

00:05:33.830 --> 00:05:36.080
Se fizermos o produto
escalar disso com isto.

00:05:36.080 --> 00:05:39.730
Bem, nós obteremos apenas
esta parte bem aqui.

00:05:39.730 --> 00:05:43.930
O rotacional de F vezes o vetor
normal unitário será igual

00:05:43.930 --> 00:05:45.400
a este negócio bem aqui.

00:05:45.400 --> 00:05:49.597
Ele será igual à derivada parcial
de Q em relação a x

00:05:49.597 --> 00:05:54.959
menos a derivada parcial
de P em relação a y.

00:05:54.959 --> 00:05:57.867
E isto é legal pois usando
o Teorema de Stokes

00:05:57.867 --> 00:05:59.790
neste caso especial, onde resolvemos

00:05:59.790 --> 00:06:02.600
uma superfície plana no plano x

00:06:02.600 --> 00:06:07.898
e que nesta situação, se resume
ao Teorema de Green.

00:06:07.898 --> 00:06:12.030
Isto bem aqui é a redução
ao Teorema de Green.

00:06:12.030 --> 00:06:15.872
Então o que o Teorema de Green é, é
essencialmente um caso especial --

00:06:15.872 --> 00:06:17.840
deixe-me escrever Teorema
um pouco melhor.

00:06:17.840 --> 00:06:20.390
Vemos que o Teorema de Green é na verdade

00:06:20.390 --> 00:06:22.800
um caso especial do Teorema de Stokes,

00:06:22.800 --> 00:06:27.230
onde a superfície é achatada, e
se encontra no plano xy.

00:06:27.230 --> 00:06:30.140
Isto deveria nos fazer sentir muito
bem, apesar de não termos

00:06:30.140 --> 00:06:32.240
ainda provado o Teorema de Stokes.

00:06:32.240 --> 00:06:34.530
Mas uma coisa que gosto disto é ver que

00:06:34.530 --> 00:06:36.618
o Teorema de Green e Stokes
são consistentes

00:06:36.618 --> 00:06:39.071
faz com que isto aqui comece
a fazer sentido.

00:06:39.071 --> 00:06:40.523
Ao conhecer o Teorema de Green

00:06:40.523 --> 00:06:41.619
Pensamos: o que é isto?

00:06:41.619 --> 00:06:42.964
O que está acontecendo aqui?

00:06:42.964 --> 00:06:44.501
E agora ele diz que está tomando

00:06:44.501 --> 00:06:47.920
o rotacional desta região ao
longo desta superfície.

00:06:47.920 --> 00:06:50.840
E agora faz muito mais sentido
baseado na intuição que

00:06:50.840 --> 00:06:52.345
vimos no último vídeo.

00:06:52.345 --> 00:06:53.775
Legendado por [Bernardo Blasi Villari]
Revisado por: [ Marcos Pereira ]