0:00:00.520,0:00:03.242
在上一个视频中，我们开始学习斯托克斯定理，

0:00:03.242,0:00:04.700
在这个视频中，

0:00:04.700,0:00:07.060
我想来看看，它与我们

0:00:07.060,0:00:09.050
已经学习过的是不是一致。

0:00:09.050,0:00:12.190
为了这个目的，我们想象--我先画出数轴，

0:00:12.190,0:00:14.340
这是我的 z 轴，

0:00:14.340,0:00:16.680
这是我的 x 轴，

0:00:16.680,0:00:19.610
这是我的 y 轴，

0:00:19.610,0:00:23.430
我们想象在 xy 平面有一个区域，

0:00:23.430,0:00:25.770
我把它画出来，

0:00:25.770,0:00:30.670
我们说，这是我在 xy平面的区域，

0:00:30.670,0:00:34.850
我叫它 区域 R，

0:00:34.850,0:00:36.580
我还有这个区域的边界，

0:00:36.580,0:00:39.470
我们关心

0:00:39.470,0:00:40.720
我们沿边界移动的方向，

0:00:40.720,0:00:41.650
我们是

0:00:41.650,0:00:43.180
沿边界逆时针移动，

0:00:43.180,0:00:47.150
这样，我们就有一个环绕这个区域的路径，

0:00:47.150,0:00:49.890
我们可以叫它 c ，

0:00:49.890,0:00:51.950
我们叫它 c ，我们

0:00:51.950,0:00:57.010
要在它上面逆时针移动，

0:00:57.010,0:01:02.310
我们还有一个矢量场，

0:01:02.310,0:01:05.360
实质上，它的 i 分量只是

0:01:05.360,0:01:08.030
x 和 y的函数，

0:01:08.030,0:01:10.310
它的 j 分量

0:01:10.310,0:01:12.530
只是 x 和 y 的函数，

0:01:12.530,0:01:14.780
我们说，它没有 k 分量，

0:01:14.780,0:01:17.230
这样，这个区域上的 矢量场，

0:01:17.230,0:01:18.750
它就会是像这样的。

0:01:18.750,0:01:20.422
我只是随机地画一些矢量，

0:01:20.422,0:01:21.880
如果我离开这个区域，

0:01:21.880,0:01:23.350
如果你沿 z 方向走，

0:01:23.350,0:01:25.700
这只是越走越高，

0:01:25.700,0:01:27.930
而那个矢量

0:01:27.930,0:01:29.660
在你的 z 分量变化时，不会变化。

0:01:29.660,0:01:31.450
所有的矢量实际上

0:01:31.450,0:01:35.790
都平行于--当 z 等于 0 时--

0:01:35.790,0:01:39.100
都在 xy 平面上，

0:01:39.100,0:01:41.480
这样，我们来思考一下，

0:01:41.480,0:01:46.010
根据斯托克斯定理

0:01:46.010,0:01:48.980
在这个路径上的线积分值是什么？

0:01:48.980,0:01:51.470
我画得更好一点，

0:01:51.470,0:02:00.960
f 点 dr 在路径 c 上的线积分，

0:02:00.960,0:02:05.960
f 点 小写 dr，这里很明显 dr

0:02:05.960,0:02:08.280
沿着这个路径。

0:02:08.280,0:02:11.470
我们使用斯托克斯定理，

0:02:11.470,0:02:13.850
这个量应该是

0:02:13.850,0:02:14.610
等于这个量，

0:02:14.610,0:02:18.850
它应该等于这个表面的双重积分，

0:02:18.850,0:02:21.270
这个区域其实只是一个

0:02:21.270,0:02:23.450
位于 xy 平面上的一个表面。

0:02:23.450,0:02:26.077
它就应该是双重积分--

0:02:26.077,0:02:27.660
我来写成相同的 --

0:02:27.660,0:02:31.310
它会是这个区域

0:02:31.310,0:02:35.110
也就是我们的这个表面

0:02:35.110,0:02:37.840
F的旋度 点乘 n 的双重积分，

0:02:37.840,0:02:40.437
所以，我们就需要考虑 F 的旋度点乘 n 是什么，

0:02:40.437,0:02:42.270
ds 就是

0:02:42.270,0:02:45.510
我们这个区域上的一个小面积，

0:02:45.510,0:02:46.220
这里一个小面积，

0:02:46.220,0:02:50.180
我不用 ds 我把它写成 da，

0:02:50.180,0:02:54.000
我们来看，

0:02:54.000,0:02:56.060
F 的旋度点乘 n 是什么，

0:02:56.060,0:02:58.910
F 的旋度--我总是这样来记忆，

0:02:58.910,0:03:00.810
我们要求出它的行列式，

0:03:00.810,0:03:06.850
i，j， k，

0:03:06.850,0:03:10.820
对 x 的偏导，对 y 的偏导，

0:03:10.820,0:03:12.330
对 z 的偏导，

0:03:12.330,0:03:14.450
这正式旋度的定义，

0:03:14.450,0:03:16.820
我们要得到这个矢量场

0:03:16.820,0:03:18.910
导致其旋转的量有多大，

0:03:18.910,0:03:20.980
然后，我来求 i 分量，

0:03:20.980,0:03:24.416
它就是我们的函数 P，它只是 x 和 y 的函数，

0:03:24.416,0:03:26.990


0:03:26.990,0:03:30.720


0:03:30.720,0:03:32.892


0:03:32.892,0:03:34.350


0:03:34.350,0:03:35.960


0:03:35.960,0:03:42.570


0:03:42.570,0:03:43.450


0:03:43.450,0:03:46.000


0:03:46.000,0:03:48.190


0:03:48.190,0:03:50.470


0:03:50.470,0:03:52.330


0:03:52.330,0:03:56.180


0:03:56.180,0:03:57.130


0:03:57.130,0:04:01.000


0:04:01.000,0:04:02.290


0:04:02.290,0:04:04.340


0:04:04.340,0:04:05.700


0:04:05.700,0:04:07.500


0:04:07.500,0:04:10.260


0:04:10.260,0:04:16.700


0:04:16.700,0:04:20.079


0:04:20.079,0:04:22.180


0:04:22.180,0:04:25.590


0:04:25.590,0:04:28.160


0:04:28.160,0:04:33.911


0:04:33.911,0:04:34.410


0:04:34.410,0:04:36.320


0:04:36.320,0:04:38.180


0:04:41.160,0:04:43.450


0:04:43.450,0:04:44.570


0:04:49.690,0:04:56.150


0:04:56.150,0:04:58.880


0:04:58.880,0:05:02.250


0:05:02.250,0:05:04.300


0:05:04.300,0:05:05.930


0:05:05.930,0:05:07.940


0:05:07.940,0:05:10.390


0:05:10.390,0:05:12.450


0:05:12.450,0:05:14.660


0:05:14.660,0:05:18.490


0:05:18.490,0:05:21.880


0:05:21.880,0:05:24.510


0:05:24.510,0:05:26.920


0:05:26.920,0:05:28.230


0:05:28.230,0:05:31.160


0:05:31.160,0:05:34.030


0:05:34.030,0:05:36.080


0:05:36.080,0:05:39.730


0:05:39.730,0:05:43.930


0:05:43.930,0:05:45.400


0:05:45.400,0:05:49.260


0:05:49.260,0:05:54.980


0:05:54.980,0:05:57.944


0:05:57.944,0:05:59.610


0:05:59.610,0:06:03.030


0:06:03.030,0:06:07.960


0:06:07.960,0:06:12.030


0:06:12.030,0:06:15.920


0:06:15.920,0:06:17.840


0:06:17.840,0:06:20.390


0:06:20.390,0:06:22.800


0:06:22.800,0:06:27.360


0:06:27.360,0:06:30.140


0:06:30.140,0:06:32.240


0:06:32.240,0:06:34.530


0:06:34.530,0:06:36.780


0:06:36.780,0:06:39.430


0:06:39.430,0:06:40.810


0:06:40.810,0:06:41.380


0:06:41.380,0:06:42.565


0:06:42.565,0:06:44.190


0:06:44.190,0:06:47.920


0:06:47.920,0:06:50.840


0:06:50.840,0:06:54.090