0:00:00.520,0:00:03.242
在上一个视频中，我们开始学习斯托克斯定理，

0:00:03.242,0:00:04.700
在这个视频中，

0:00:04.700,0:00:07.060
我想来看看，它与我们

0:00:07.060,0:00:09.050
已经学习过的是不是一致。

0:00:09.050,0:00:12.190
为了这个目的，我们想象--我先画出数轴，

0:00:12.190,0:00:14.340
这是我的 z 轴，

0:00:14.340,0:00:16.680
这是我的 x 轴，

0:00:16.680,0:00:19.610
这是我的 y 轴，

0:00:19.610,0:00:23.430
我们想象在 xy 平面有一个区域，

0:00:23.430,0:00:25.770
我把它画出来，

0:00:25.770,0:00:30.670
我们说，这是我在 xy平面的区域，

0:00:30.670,0:00:34.850
我叫它 区域 R，

0:00:34.850,0:00:36.580
我还有这个区域的边界，

0:00:36.580,0:00:39.470
我们关心

0:00:39.470,0:00:40.720
我们沿边界移动的方向，

0:00:40.720,0:00:41.650
我们是

0:00:41.650,0:00:43.180
沿边界逆时针移动，

0:00:43.180,0:00:47.150
这样，我们就有一个环绕这个区域的路径，

0:00:47.150,0:00:49.890
我们可以叫它 c ，

0:00:49.890,0:00:51.950
我们叫它 c ，我们

0:00:51.950,0:00:57.010
要在它上面逆时针移动，

0:00:57.010,0:01:02.310
我们还有一个矢量场，

0:01:02.310,0:01:05.360
实质上，它的 i 分量只是

0:01:05.360,0:01:08.030
x 和 y的函数，

0:01:08.030,0:01:10.310
它的 j 分量

0:01:10.310,0:01:12.530
只是 x 和 y 的函数，

0:01:12.530,0:01:14.780
我们说，它没有 k 分量，

0:01:14.780,0:01:17.230
这样，这个区域上的 矢量场，

0:01:17.230,0:01:18.750
它就会是像这样的。

0:01:18.750,0:01:20.422
我只是随机地画一些矢量，

0:01:20.422,0:01:21.880
如果我离开这个区域，

0:01:21.880,0:01:23.350
如果你沿 z 方向走，

0:01:23.350,0:01:25.700
这只是越走越高，

0:01:25.700,0:01:27.930
而那个矢量

0:01:27.930,0:01:29.660
在你的 z 分量变化时，不会变化。

0:01:29.660,0:01:31.450
所有的矢量实际上

0:01:31.450,0:01:35.790
都平行于--当 z 等于 0 时--

0:01:35.790,0:01:39.100
都在 xy 平面上，

0:01:39.100,0:01:41.480
这样，我们来思考一下，

0:01:41.480,0:01:43.130
根据斯托克斯定理

0:01:43.130,0:01:48.980
在这个路径上的线积分值是什么？

0:01:48.980,0:01:51.470
我画得更好一点，

0:01:51.470,0:02:00.960
F 点乘 dr 在路径 c 上的线积分，

0:02:00.960,0:02:05.960
F 点乘 小写 dr，这里很明显 dr

0:02:05.960,0:02:08.280
沿着这个路径。

0:02:08.280,0:02:11.470
我们使用斯托克斯定理，

0:02:11.470,0:02:13.850
这个量应该是

0:02:13.850,0:02:14.610
等于这个量，

0:02:14.610,0:02:18.850
它应该等于这个表面的双重积分，

0:02:18.850,0:02:21.270
这个区域其实只是一个

0:02:21.270,0:02:23.450
位于 xy 平面上的一个表面。

0:02:23.450,0:02:26.077
它就应该是双重积分--

0:02:26.077,0:02:27.660
我来写成相同的 --

0:02:27.660,0:02:31.310
它会是这个区域

0:02:31.310,0:02:35.110
也就是我们的这个表面

0:02:35.110,0:02:37.840
F的旋度 点乘 n 的双重积分，

0:02:37.840,0:02:40.437
所以，我们就需要考虑 F 的旋度点乘 n 是什么，

0:02:40.437,0:02:42.270
ds 就是

0:02:42.270,0:02:45.510
我们这个区域上的一个小面积，

0:02:45.510,0:02:46.220
这里一个小面积，

0:02:46.220,0:02:50.180
我不用 ds 我把它写成 da，

0:02:50.180,0:02:54.000
我们来看，

0:02:54.000,0:02:56.060
F 的旋度点乘 n 是什么，

0:02:56.060,0:02:58.910
F 的旋度--我总是这样来记忆，

0:02:58.910,0:03:00.810
我们要求出它的行列式，

0:03:00.810,0:03:06.850
i，j， k，

0:03:06.850,0:03:10.820
对 x 的偏导，对 y 的偏导，

0:03:10.820,0:03:12.330
对 z 的偏导，

0:03:12.330,0:03:14.450
这正式旋度的定义，

0:03:14.450,0:03:16.820
我们要得到这个矢量场

0:03:16.820,0:03:18.910
导致其旋转的量有多大，

0:03:18.910,0:03:20.980
然后，我来求 i 分量，

0:03:20.980,0:03:24.416
它就是我们的函数 P，它只是 x 和 y 的函数，

0:03:24.416,0:03:26.990
j 分量，它是函数 Q，

0:03:26.990,0:03:30.720
这里没有 z 分量，所以它是 0，

0:03:30.720,0:03:32.892
这样，它就等于

0:03:32.892,0:03:34.350
如果我们来看 i 分量，

0:03:34.350,0:03:35.960
它就是 0 对 y 的偏导，

0:03:35.960,0:03:42.570
它就是 0 ，减去

0:03:42.570,0:03:43.450
Q 对 z 的偏导，

0:03:43.450,0:03:46.000
Q 对 z 的偏导是什么？

0:03:46.000,0:03:48.190
Q 根本不是 z 的函数，

0:03:48.190,0:03:50.470
它也是 0，

0:03:50.470,0:03:52.330
这不难理解，

0:03:52.330,0:03:56.180
我们的 i 分量，

0:03:56.180,0:03:57.130
它是 0 对 y 的偏导，

0:03:57.130,0:04:01.000
它就是 0， 减去

0:04:01.000,0:04:02.290
Q 对 z 的偏导，

0:04:02.290,0:04:04.340
Q 对 z 的偏导，

0:04:04.340,0:04:05.700
也是 0 ,

0:04:05.700,0:04:07.500
所以 i 分量等于 0，

0:04:07.500,0:04:10.260
然后，我们要减去 j 分量，

0:04:10.260,0:04:16.700
j 分量， 0 对 x 的偏导是 0，

0:04:16.700,0:04:20.079
从它，减去 P

0:04:20.079,0:04:22.180
对 z 的偏导，

0:04:22.180,0:04:25.590
又是这样， P 根本不是 z 的函数，

0:04:25.590,0:04:28.160
它又等于 0 ，

0:04:28.160,0:04:33.911
然后，你要加上 k 乘以

0:04:33.911,0:04:34.410
Q 对 x 的偏导，

0:04:34.410,0:04:36.320
记住， 它只是偏导算子，

0:04:36.320,0:04:41.160
所以， Q 对 x 的偏导，

0:04:41.160,0:04:43.450
然后，从它减去

0:04:43.450,0:04:49.690
P 对 y 的偏导，

0:04:49.690,0:04:56.150
这样， F 的旋度就简化成这样了。

0:04:56.150,0:04:58.880
现在, n 是什么？

0:04:58.880,0:05:02.250
这个单位法向量是什么，

0:05:02.250,0:05:04.300
我们是在 xy 平面，

0:05:04.300,0:05:05.930
那么，它的单位法向量

0:05:05.930,0:05:07.940
就在 z 方向，向上，

0:05:07.940,0:05:10.390
它的幅值是 1，

0:05:10.390,0:05:12.450
在这种情况下，我们的单位法向量

0:05:12.450,0:05:14.660
就是矢量 k ，

0:05:14.660,0:05:18.490
所以，实质上我们就是要--F的旋度就是它，

0:05:18.490,0:05:21.880
而我们的单位法向量

0:05:21.880,0:05:24.510
就等于 k ，

0:05:24.510,0:05:26.920
它就是单位向量 k ，

0:05:26.920,0:05:28.230
它是向上的，

0:05:28.230,0:05:31.160
那么我们求 F 的旋度点乘 k 会是什么结果？

0:05:31.160,0:05:34.030
如果我们把它点乘 k ，

0:05:34.030,0:05:36.080
它点乘它，

0:05:36.080,0:05:39.730
好，那结果就是这一部分，

0:05:39.730,0:05:43.930
F 的旋度点乘单位法向量

0:05:43.930,0:05:45.400
就等于它，

0:05:45.400,0:05:49.260
它就等于Q对 x 的偏导

0:05:49.260,0:05:54.980
减去 P 对 y 的偏导。

0:05:54.980,0:05:57.944
这很整洁，因为

0:05:57.944,0:05:59.610
对这个特殊情况使用斯托克斯定理，

0:05:59.610,0:06:03.030
这里是一个在 xy 平面上展开的表面，

0:06:03.030,0:06:07.960
在这种情况下，它就归结维格林定理。

0:06:07.960,0:06:12.030
这里的这些归结为格林定理，

0:06:12.030,0:06:15.920
也就是说，格林定理其实就是斯托克斯定理的一个特例。

0:06:15.920,0:06:17.840
我们来吧定理写得更整洁一些，

0:06:17.840,0:06:20.390
我们看到格林定理

0:06:20.390,0:06:22.800
其实就是斯托克斯定理的一个特例，

0:06:22.800,0:06:27.360
这里我们的表面是一个平面，而且它在 xy 平面上。

0:06:27.360,0:06:30.140
这让我们感觉良好，

0:06:30.140,0:06:32.240
尽管我们还没有证明斯托克斯定理。

0:06:32.240,0:06:34.530
但是我特别喜欢它的一点

0:06:34.530,0:06:36.780
就是看到格林定理和斯托克斯定理是一致的，

0:06:36.780,0:06:39.430
我们看到这里的描述很有意义。

0:06:39.430,0:06:40.810
当我们第一次学习格林定理时，我们会想，

0:06:40.810,0:06:41.380
这是什么？

0:06:41.380,0:06:42.565
这里发生了什么？

0:06:42.565,0:06:44.190
但是现在，它告诉我们，

0:06:44.190,0:06:47.920
这只是在这个区域沿表面求旋度，

0:06:47.920,0:06:50.840
现在我们开始意识到

0:06:50.840,0:06:54.090
基于在上一个视频中看到的直观的描述，它很说明问题。