在上一个视频中，我们开始学习斯托克斯定理，
在这个视频中，
我想来看看，它与我们
已经学习过的是不是一致。
为了这个目的，我们想象--我先画出数轴，
这是我的 z 轴，
这是我的 x 轴，
这是我的 y 轴，
我们想象在 xy 平面有一个区域，
我把它画出来，
我们说，这是我在 xy平面的区域，
我叫它 区域 R，
我还有这个区域的边界，
我们关心
我们沿边界移动的方向，
我们是
沿边界逆时针移动，
这样，我们就有一个环绕这个区域的路径，
我们可以叫它 c ，
我们叫它 c ，我们
要在它上面逆时针移动，
我们还有一个矢量场，
实质上，它的 i 分量只是
x 和 y的函数，
它的 j 分量
只是 x 和 y 的函数，
我们说，它没有 k 分量，
这样，这个区域上的 矢量场，
它就会是像这样的。
我只是随机地画一些矢量，
如果我离开这个区域，
如果你沿 z 方向走，
这只是越走越高，
而那个矢量
在你的 z 分量变化时，不会变化。
所有的矢量实际上
都平行于--当 z 等于 0 时--
都在 xy 平面上，
这样，我们来思考一下，
根据斯托克斯定理
在这个路径上的线积分值是什么？
我画得更好一点，
F 点乘 dr 在路径 c 上的线积分，
F 点乘 小写 dr，这里很明显 dr
沿着这个路径。
我们使用斯托克斯定理，
这个量应该是
等于这个量，
它应该等于这个表面的双重积分，
这个区域其实只是一个
位于 xy 平面上的一个表面。
它就应该是双重积分--
我来写成相同的 --
它会是这个区域
也就是我们的这个表面
F的旋度 点乘 n 的双重积分，
所以，我们就需要考虑 F 的旋度点乘 n 是什么，
ds 就是
我们这个区域上的一个小面积，
这里一个小面积，
我不用 ds 我把它写成 da，
我们来看，
F 的旋度点乘 n 是什么，
F 的旋度--我总是这样来记忆，
我们要求出它的行列式，
i，j， k，
对 x 的偏导，对 y 的偏导，
对 z 的偏导，
这正式旋度的定义，
我们要得到这个矢量场
导致其旋转的量有多大，
然后，我来求 i 分量，
它就是我们的函数 P，它只是 x 和 y 的函数，
j 分量，它是函数 Q，
这里没有 z 分量，所以它是 0，
这样，它就等于
如果我们来看 i 分量，
它就是 0 对 y 的偏导，
它就是 0 ，减去
Q 对 z 的偏导，
Q 对 z 的偏导是什么？
Q 根本不是 z 的函数，
它也是 0，
这不难理解，
我们的 i 分量，
它是 0 对 y 的偏导，
它就是 0， 减去
Q 对 z 的偏导，
也是 0 ,
所以 i 分量等于 0，
然后，我们要减去 j 分量，
j 分量， 0 对 x 的偏导是 0，
从它，减去 P
对 z 的偏导，
又是这样， P 根本不是 z 的函数，
它又等于 0 ，
然后，你要加上 k 乘以
Q 对 x 的偏导，
记住， 它只是偏导算子，
所以， Q 对 x 的偏导，
然后，从它减去
P 对 y 的偏导，
这样， F 的旋度就简化成这样了。
现在, n 是什么？
这个单位法向量是什么，
我们是在 xy 平面，
那么，它的单位法向量
就在 z 方向，向上，
它的幅值是 1，
在这种情况下，我们的单位法向量
就是矢量 k ，
所以，实质上我们就是要--F的旋度就是它，
而我们的单位法向量
就等于 k ，
它就是单位向量 k ，
它是向上的，
那么我们求 F 的旋度点乘 k 会是什么结果？
如果我们把它点乘 k ，
它点乘它，
好，那结果就是这一部分，
F 的旋度点乘单位法向量
就等于它，
它就等于Q对 x 的偏导
减去 P 对 y 的偏导。
这很整洁，因为
对这个特殊情况使用斯托克斯定理，
这里是一个在 xy 平面上展开的表面，
在这种情况下，它就归结维格林定理。
这里的这些归结为格林定理，
也就是说，格林定理其实就是斯托克斯定理的一个特例。
我们来吧定理写得更整洁一些，
我们看到格林定理
其实就是斯托克斯定理的一个特例，
这里我们的表面是一个平面，而且它在 xy 平面上。
这让我们感觉良好，
尽管我们还没有证明斯托克斯定理。
但是我特别喜欢它的一点
就是看到格林定理和斯托克斯定理是一致的，
我们看到这里的描述很有意义。
当我们第一次学习格林定理时，我们会想，
这是什么？
这里发生了什么？
但是现在，它告诉我们，
这只是在这个区域沿表面求旋度，
现在我们开始意识到
基于在上一个视频中看到的直观的描述，它很说明问题。