在上一个视频中，我们开始学习斯托克斯定理， 在这个视频中， 我想来看看，它与我们 已经学习过的是不是一致。 为了这个目的，我们想象--我先画出数轴， 这是我的 z 轴， 这是我的 x 轴， 这是我的 y 轴， 我们想象在 xy 平面有一个区域， 我把它画出来， 我们说，这是我在 xy平面的区域， 我叫它 区域 R， 我还有这个区域的边界， 我们关心 我们沿边界移动的方向， 我们是 沿边界逆时针移动， 这样，我们就有一个环绕这个区域的路径， 我们可以叫它 c ， 我们叫它 c ，我们 要在它上面逆时针移动， 我们还有一个矢量场， 实质上，它的 i 分量只是 x 和 y的函数， 它的 j 分量 只是 x 和 y 的函数， 我们说，它没有 k 分量， 这样，这个区域上的 矢量场， 它就会是像这样的。 我只是随机地画一些矢量， 如果我离开这个区域， 如果你沿 z 方向走， 这只是越走越高， 而那个矢量 在你的 z 分量变化时，不会变化。 所有的矢量实际上 都平行于--当 z 等于 0 时-- 都在 xy 平面上， 这样，我们来思考一下， 根据斯托克斯定理 在这个路径上的线积分值是什么？ 我画得更好一点， F 点乘 dr 在路径 c 上的线积分， F 点乘 小写 dr，这里很明显 dr 沿着这个路径。 我们使用斯托克斯定理， 这个量应该是 等于这个量， 它应该等于这个表面的双重积分， 这个区域其实只是一个 位于 xy 平面上的一个表面。 它就应该是双重积分-- 我来写成相同的 -- 它会是这个区域 也就是我们的这个表面 F的旋度 点乘 n 的双重积分， 所以，我们就需要考虑 F 的旋度点乘 n 是什么， ds 就是 我们这个区域上的一个小面积， 这里一个小面积， 我不用 ds 我把它写成 da， 我们来看， F 的旋度点乘 n 是什么， F 的旋度--我总是这样来记忆， 我们要求出它的行列式， i，j， k， 对 x 的偏导，对 y 的偏导， 对 z 的偏导， 这正式旋度的定义， 我们要得到这个矢量场 导致其旋转的量有多大， 然后，我来求 i 分量， 它就是我们的函数 P，它只是 x 和 y 的函数， j 分量，它是函数 Q， 这里没有 z 分量，所以它是 0， 这样，它就等于 如果我们来看 i 分量， 它就是 0 对 y 的偏导， 它就是 0 ，减去 Q 对 z 的偏导， Q 对 z 的偏导是什么？ Q 根本不是 z 的函数， 它也是 0， 这不难理解， 我们的 i 分量， 它是 0 对 y 的偏导， 它就是 0， 减去 Q 对 z 的偏导， Q 对 z 的偏导， 也是 0 , 所以 i 分量等于 0， 然后，我们要减去 j 分量， j 分量， 0 对 x 的偏导是 0， 从它，减去 P 对 z 的偏导， 又是这样， P 根本不是 z 的函数， 它又等于 0 ， 然后，你要加上 k 乘以 Q 对 x 的偏导， 记住， 它只是偏导算子， 所以， Q 对 x 的偏导， 然后，从它减去 P 对 y 的偏导， 这样， F 的旋度就简化成这样了。 现在, n 是什么？ 这个单位法向量是什么， 我们是在 xy 平面， 那么，它的单位法向量 就在 z 方向，向上， 它的幅值是 1， 在这种情况下，我们的单位法向量 就是矢量 k ， 所以，实质上我们就是要--F的旋度就是它， 而我们的单位法向量 就等于 k ， 它就是单位向量 k ， 它是向上的， 那么我们求 F 的旋度点乘 k 会是什么结果？ 如果我们把它点乘 k ， 它点乘它， 好，那结果就是这一部分， F 的旋度点乘单位法向量 就等于它， 它就等于Q对 x 的偏导 减去 P 对 y 的偏导。 这很整洁，因为 对这个特殊情况使用斯托克斯定理， 这里是一个在 xy 平面上展开的表面， 在这种情况下，它就归结维格林定理。 这里的这些归结为格林定理， 也就是说，格林定理其实就是斯托克斯定理的一个特例。 我们来吧定理写得更整洁一些， 我们看到格林定理 其实就是斯托克斯定理的一个特例， 这里我们的表面是一个平面，而且它在 xy 平面上。 这让我们感觉良好， 尽管我们还没有证明斯托克斯定理。 但是我特别喜欢它的一点 就是看到格林定理和斯托克斯定理是一致的， 我们看到这里的描述很有意义。 当我们第一次学习格林定理时，我们会想， 这是什么？ 这里发生了什么？ 但是现在，它告诉我们， 这只是在这个区域沿表面求旋度， 现在我们开始意识到 基于在上一个视频中看到的直观的描述，它很说明问题。