WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:03.242
在上一个视频中，我们开始学习斯托克斯定理，

00:00:03.242 --> 00:00:04.700
在这个视频中，

00:00:04.700 --> 00:00:07.060
我想来看看，它与我们

00:00:07.060 --> 00:00:09.050
已经学习过的是不是一致。

00:00:09.050 --> 00:00:12.190
为了这个目的，我们想象--我先画出数轴，

00:00:12.190 --> 00:00:14.340
这是我的 z 轴，

00:00:14.340 --> 00:00:16.680
这是我的 x 轴，

00:00:16.680 --> 00:00:19.610
这是我的 y 轴，

00:00:19.610 --> 00:00:23.430
我们想象在 xy 平面有一个区域，

00:00:23.430 --> 00:00:25.770
我把它画出来，

00:00:25.770 --> 00:00:30.670
我们说，这是我在 xy平面的区域，

00:00:30.670 --> 00:00:34.850
我叫它 区域 R，

00:00:34.850 --> 00:00:36.580
我还有这个区域的边界，

00:00:36.580 --> 00:00:39.470
我们关心

00:00:39.470 --> 00:00:40.720
我们沿边界移动的方向，

00:00:40.720 --> 00:00:41.650
我们是

00:00:41.650 --> 00:00:43.180
沿边界逆时针移动，

00:00:43.180 --> 00:00:47.150
这样，我们就有一个环绕这个区域的路径，

00:00:47.150 --> 00:00:49.890
我们可以叫它 c ，

00:00:49.890 --> 00:00:51.950
我们叫它 c ，我们

00:00:51.950 --> 00:00:57.010
要在它上面逆时针移动，

00:00:57.010 --> 00:01:02.310
我们还有一个矢量场，

00:01:02.310 --> 00:01:05.360
实质上，它的 i 分量只是

00:01:05.360 --> 00:01:08.030
x 和 y的函数，

00:01:08.030 --> 00:01:10.310
它的 j 分量

00:01:10.310 --> 00:01:12.530
只是 x 和 y 的函数，

00:01:12.530 --> 00:01:14.780
我们说，它没有 k 分量，

00:01:14.780 --> 00:01:17.230
这样，这个区域上的 矢量场，

00:01:17.230 --> 00:01:18.750
它就会是像这样的。

00:01:18.750 --> 00:01:20.422
我只是随机地画一些矢量，

00:01:20.422 --> 00:01:21.880
如果我离开这个区域，

00:01:21.880 --> 00:01:23.350
如果你沿 z 方向走，

00:01:23.350 --> 00:01:25.700
这只是越走越高，

00:01:25.700 --> 00:01:27.930
而那个矢量

00:01:27.930 --> 00:01:29.660
在你的 z 分量变化时，不会变化。

00:01:29.660 --> 00:01:31.450
所有的矢量实际上

00:01:31.450 --> 00:01:35.790
都平行于--当 z 等于 0 时--

00:01:35.790 --> 00:01:39.100
都在 xy 平面上，

00:01:39.100 --> 00:01:41.480
这样，我们来思考一下，

00:01:41.480 --> 00:01:43.130
根据斯托克斯定理

00:01:43.130 --> 00:01:48.980
在这个路径上的线积分值是什么？

00:01:48.980 --> 00:01:51.470
我画得更好一点，

00:01:51.470 --> 00:02:00.960
F 点乘 dr 在路径 c 上的线积分，

00:02:00.960 --> 00:02:05.960
F 点乘 小写 dr，这里很明显 dr

00:02:05.960 --> 00:02:08.280
沿着这个路径。

00:02:08.280 --> 00:02:11.470
我们使用斯托克斯定理，

00:02:11.470 --> 00:02:13.850
这个量应该是

00:02:13.850 --> 00:02:14.610
等于这个量，

00:02:14.610 --> 00:02:18.850
它应该等于这个表面的双重积分，

00:02:18.850 --> 00:02:21.270
这个区域其实只是一个

00:02:21.270 --> 00:02:23.450
位于 xy 平面上的一个表面。

00:02:23.450 --> 00:02:26.077
它就应该是双重积分--

00:02:26.077 --> 00:02:27.660
我来写成相同的 --

00:02:27.660 --> 00:02:31.310
它会是这个区域

00:02:31.310 --> 00:02:35.110
也就是我们的这个表面

00:02:35.110 --> 00:02:37.840
F的旋度 点乘 n 的双重积分，

00:02:37.840 --> 00:02:40.437
所以，我们就需要考虑 F 的旋度点乘 n 是什么，

00:02:40.437 --> 00:02:42.270
ds 就是

00:02:42.270 --> 00:02:45.510
我们这个区域上的一个小面积，

00:02:45.510 --> 00:02:46.220
这里一个小面积，

00:02:46.220 --> 00:02:50.180
我不用 ds 我把它写成 da，

00:02:50.180 --> 00:02:54.000
我们来看，

00:02:54.000 --> 00:02:56.060
F 的旋度点乘 n 是什么，

00:02:56.060 --> 00:02:58.910
F 的旋度--我总是这样来记忆，

00:02:58.910 --> 00:03:00.810
我们要求出它的行列式，

00:03:00.810 --> 00:03:06.850
i，j， k，

00:03:06.850 --> 00:03:10.820
对 x 的偏导，对 y 的偏导，

00:03:10.820 --> 00:03:12.330
对 z 的偏导，

00:03:12.330 --> 00:03:14.450
这正式旋度的定义，

00:03:14.450 --> 00:03:16.820
我们要得到这个矢量场

00:03:16.820 --> 00:03:18.910
导致其旋转的量有多大，

00:03:18.910 --> 00:03:20.980
然后，我来求 i 分量，

00:03:20.980 --> 00:03:24.416
它就是我们的函数 P，它只是 x 和 y 的函数，

00:03:24.416 --> 00:03:26.990
j 分量，它是函数 Q，

00:03:26.990 --> 00:03:30.720
这里没有 z 分量，所以它是 0，

00:03:30.720 --> 00:03:32.892
这样，它就等于

00:03:32.892 --> 00:03:34.350
如果我们来看 i 分量，

00:03:34.350 --> 00:03:35.960
它就是 0 对 y 的偏导，

00:03:35.960 --> 00:03:42.570
它就是 0 ，减去

00:03:42.570 --> 00:03:43.450
Q 对 z 的偏导，

00:03:43.450 --> 00:03:46.000
Q 对 z 的偏导是什么？

00:03:46.000 --> 00:03:48.190
Q 根本不是 z 的函数，

00:03:48.190 --> 00:03:50.470
它也是 0，

00:03:50.470 --> 00:03:52.330
这不难理解，

00:03:52.330 --> 00:03:56.180
我们的 i 分量，

00:03:56.180 --> 00:03:57.130
它是 0 对 y 的偏导，

00:03:57.130 --> 00:04:01.000
它就是 0， 减去

00:04:01.000 --> 00:04:02.290
Q 对 z 的偏导，

00:04:02.290 --> 00:04:04.340
Q 对 z 的偏导，

00:04:04.340 --> 00:04:05.700
也是 0 ,

00:04:05.700 --> 00:04:07.500
所以 i 分量等于 0，

00:04:07.500 --> 00:04:10.260
然后，我们要减去 j 分量，

00:04:10.260 --> 00:04:16.700
j 分量， 0 对 x 的偏导是 0，

00:04:16.700 --> 00:04:20.079
从它，减去 P

00:04:20.079 --> 00:04:22.180
对 z 的偏导，

00:04:22.180 --> 00:04:25.590
又是这样， P 根本不是 z 的函数，

00:04:25.590 --> 00:04:28.160
它又等于 0 ，

00:04:28.160 --> 00:04:33.911
然后，你要加上 k 乘以

00:04:33.911 --> 00:04:34.410
Q 对 x 的偏导，

00:04:34.410 --> 00:04:36.320
记住， 它只是偏导算子，

00:04:36.320 --> 00:04:41.160
所以， Q 对 x 的偏导，

00:04:41.160 --> 00:04:43.450
然后，从它减去

00:04:43.450 --> 00:04:49.690
P 对 y 的偏导，

00:04:49.690 --> 00:04:56.150
这样， F 的旋度就简化成这样了。

00:04:56.150 --> 00:04:58.880
现在, n 是什么？

00:04:58.880 --> 00:05:02.250
这个单位法向量是什么，

00:05:02.250 --> 00:05:04.300
我们是在 xy 平面，

00:05:04.300 --> 00:05:05.930
那么，它的单位法向量

00:05:05.930 --> 00:05:07.940
就在 z 方向，向上，

00:05:07.940 --> 00:05:10.390
它的幅值是 1，

00:05:10.390 --> 00:05:12.450
在这种情况下，我们的单位法向量

00:05:12.450 --> 00:05:14.660
就是矢量 k ，

00:05:14.660 --> 00:05:18.490
所以，实质上我们就是要--F的旋度就是它，

00:05:18.490 --> 00:05:21.880
而我们的单位法向量

00:05:21.880 --> 00:05:24.510
就等于 k ，

00:05:24.510 --> 00:05:26.920
它就是单位向量 k ，

00:05:26.920 --> 00:05:28.230
它是向上的，

00:05:28.230 --> 00:05:31.160
那么我们求 F 的旋度点乘 k 会是什么结果？

00:05:31.160 --> 00:05:34.030
如果我们把它点乘 k ，

00:05:34.030 --> 00:05:36.080
它点乘它，

00:05:36.080 --> 00:05:39.730
好，那结果就是这一部分，

00:05:39.730 --> 00:05:43.930
F 的旋度点乘单位法向量

00:05:43.930 --> 00:05:45.400
就等于它，

00:05:45.400 --> 00:05:49.260
它就等于Q对 x 的偏导

00:05:49.260 --> 00:05:54.980
减去 P 对 y 的偏导。

00:05:54.980 --> 00:05:57.944
这很整洁，因为

00:05:57.944 --> 00:05:59.610
对这个特殊情况使用斯托克斯定理，

00:05:59.610 --> 00:06:03.030
这里是一个在 xy 平面上展开的表面，

00:06:03.030 --> 00:06:07.960
在这种情况下，它就归结维格林定理。

00:06:07.960 --> 00:06:12.030
这里的这些归结为格林定理，

00:06:12.030 --> 00:06:15.920
也就是说，格林定理其实就是斯托克斯定理的一个特例。

00:06:15.920 --> 00:06:17.840
我们来吧定理写得更整洁一些，

00:06:17.840 --> 00:06:20.390
我们看到格林定理

00:06:20.390 --> 00:06:22.800
其实就是斯托克斯定理的一个特例，

00:06:22.800 --> 00:06:27.360
这里我们的表面是一个平面，而且它在 xy 平面上。

00:06:27.360 --> 00:06:30.140
这让我们感觉良好，

00:06:30.140 --> 00:06:32.240
尽管我们还没有证明斯托克斯定理。

00:06:32.240 --> 00:06:34.530
但是我特别喜欢它的一点

00:06:34.530 --> 00:06:36.780
就是看到格林定理和斯托克斯定理是一致的，

00:06:36.780 --> 00:06:39.430
我们看到这里的描述很有意义。

00:06:39.430 --> 00:06:40.810
当我们第一次学习格林定理时，我们会想，

00:06:40.810 --> 00:06:41.380
这是什么？

00:06:41.380 --> 00:06:42.565
这里发生了什么？

00:06:42.565 --> 00:06:44.190
但是现在，它告诉我们，

00:06:44.190 --> 00:06:47.920
这只是在这个区域沿表面求旋度，

00:06:47.920 --> 00:06:50.840
现在我们开始意识到

00:06:50.840 --> 00:06:54.090
基于在上一个视频中看到的直观的描述，它很说明问题。