Bu videoda cəbr və ya
riyaziyyat dərslərindən tanış olduğumuz,
ancaq sonradan bir tərəfli və iki tərəfli limit
anlayışı ilə əlaqələndirdiyimiz
müxtəlif kəsilmə növləri haqqında danışacağıq.
Gəlin əvəlcə kəsilən funksiyaların növlərini nəzərdən keçirək.
Burada solda gördüyünüz əyri
x- 3 qiymətinə çatana qədər
y bərabərdir x kvadratı funksiyasına bənzəyir.
Burada 3-ün kvadratı əvəzinə
boşluq görürük
və burada funksiya 3 qiymətində 4-də təyin olunub.
Sonra isə əyri y bərabərdir
x-in kvadratı şəklində davam edir.
Bu, nöqtə və ya
aradan qaldırıla bilən kəsilmə olaraq bilinir.
Bu, aydın səbəblərdən belə adlandırılıb.
Bu nöqtə kəsilmə nöqtəsidir.
Funksiyanı yenidən həmin
nöqtədə təyin etsək, onda o, kəsilməz olacaq.
Bu kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilər.
Onda bu kəsilməz funksiyanın tərifi ilə
necə əlaqəlidir?
Gəlin kəsilməzliyin tərifini xatırlayaq.
Əgər
f funksiyası
x-in
c qiymətində
təyin olunubsa və
limit x c-yə yaxınlaşdıqda,
f(x) funksiyanın c-dəki qiymətinə bərabər olarsa,
o zaman kəsilməz olur.
Bəs bu, niyə o şərti ödəmir?
Əslində burada 2 tərəfli limit mövcüddur.
Bu halda c-nin 3 olduğunu desək,
limit
x 3-ə yaxınlaşdıqda
f(x),
bunu qrafiki olaraq yoxlasaq,
əslində bilirəm ki, burdakı
kəsilmə nöqtəsi xaric bu, y bərabərdir x kvadratının qrafikidir.
Onda 9-a bərabər olacaq.
Problem isə ondadır ki, qrafikdəki qiymətlə
funksiyanın qiyməti eyni deyil.
f(3)-ün qiyməti
qrafikə əsasən
4-ə bərabərdir.
Bu halda, 2 tərəfli limit mövcuddur, amma
bu funksiyanın qiymətinə bərabər deyil.
Bəzi hallar ola bilər ki,
funksiya ümumiyyətlə orada təyin olunmayıb,
yəni, hətta bu, burada yoxdur.
Dediyimiz kimi ola bilər ki, limit mövcuddur,
amma funksiya orada təyin olunmayıb.
Beləliklə, bu hal kəsilməzliyin
şərtinə uyğun deyil.
Bu, aradan qaldırıla bilən kəsilmənin
limit tərifinə görə
niyə kəsilən olduğunun izahı idi.
Gəlin indi ikinci nümunəyə baxaq.
Əgər kəsilməzlik testinə baxsaq,
bunu izləsək,
görəcəyik ki, x-in iki nöqtəsinə çatanda
funksiyanın ardını çəkə bilmək üçün qələmi lövhədən çəkməliyəm.
Kəsilən funksiyalar üçün bu, yaxşıdır.
Biz bunu burada da görürük.
Əgər bu funksiyanı davam etdirmək istəyirəmsə, qələmimi çəkməliyəm.
Yoxsa, bu nöqtəyə gedə bilmərəm.
Aşağıya gəlib
buradan davam etməliyəm.
Beləliklə, hər iki halda mən qələmi çəkməliyəm.
Beləliklə, intuitiv olaraq, kəsiləndir.
Kəsilmənin bu növündə,
harada ki, mən bir nöqtədən digərinə keçirəm
və aşağıdan davam edirəm
bu, sıçrayışlı
kəsilmə
adlanır.
Bu isə aradan qaldırıla bilən kəsilmə nöqtəsidir.
Bu limitlə necə əlaqəlidir?
Burada sağ və sol limitləri mövcuddur,
ancaq onlar eyni deyillər,
yəni iki tərəfli limitimiz yoxdur.
Məsələn, xüsusilə bunun üçün,
bütün x dəyərləri və x ikiyə bərabər halı da daxil,
qrafik y bərabərdir x-in kvadratıdır.
Onda x-in 2 dən böyük halı üçün,
bu x-in kökaltı funksiyasının qrafikidir.
Bu halda,
əgər
limit
x
2-yə
soldan
yaxınlaşırsa,
f(x) 4-ə bərabər olacaq,
bu qiymətə yaxınlaşırıq.
Bu əslində funksiyanın qiymətidir.
Əgər x sağdan 2-yə
yaxınlaşdıqda f(x)-in limitini götürürsünüzsə,
bu nəyə bərabər olacaq?
Sağdan yaxınlaşdıqda,
bu əslində x-in kvadrat köküdür,
yəni bu 2-nin kvadrat kökünə yaxınlaşır.
Sadəcə buna baxaraq bunun
2-nin kvadrat kökü olduğunu bilməyəcəksiniz.
Mən bilirəm,
çünki Desmosda işləyəndə
təyin etdiyim funksiya bu idi.
Amma bu gözlə görüləcək şəkildə aydındır ki,
iki fərqli qiymətə yaxınlaşırsınız
soldan və
sağdan yaxınlaşırsınız.
Baxmayaraq ki, tək tərəfli limit mövcuddur,
onlar eyni qiymətə yaxınlaşmırlar,
yəni iki tərəfli limit mövcud deyil.
Əgər iki tərəfli limit mövcud deyilsə,
funksiya orada təyin olunmuş olsa belə,
bu, funksiyanın oradakı qiymətinə bərabər ola bilməz.
Buna görə də, sıçrayışlı kəsilmə bu testi keçə bilmir.
İndi yenidən vurğulayım ki,bu intiutivdir.
Görürsünüz ki,mən sıçrayış etdim,
qələmimi çəkdim.
Bu iki əyri bir-birinə bağlı deyil.
Nəhayət ki, siz burada
riyaziyyatda keçdiyiniz
2-ci növ
kəsilmə kimi
tanınan
funksiya
görürsünüz.
Burada bir asimptotunuz var.
Bu, x-i ikiyə bərabər olan şaquli asimptotdur.
Əgər qrafiki
soldan izləsəm,
sadəcə ilərləməyə davam edəcəm.
Əslində,bunun bir sonu yoxdur,
sonsuzluğa qədər davam edir,
mən soldan x bərabər 2-yə yaxınlaşdıqca
bu, sərhədsiz olacaq.
Əgər x-in 2-yə bərabər olduğu hala sağdan yaxınlaşsam,
yenidən sonsuzluq əldə edəcəyəm.
Mən bunun sonsuzluğa getdiyini və
sərhədsiz olduğunu bildiyim halda
izləməyə davam etmək
mümkün deyil.
Ancaq qələmi çəkmədən
burdan buraya keçməyin mümkün olmadığını bilirik.
Əgər siz bunu limit anlayışı ilə
əlaqələndirmək istəyirsinizsə,
hər iki sol və sağ limitlər sərhədsizdir,
yəni onlar əslində mövcud sayılmıllar.
Əgər onlar mövcud deyillərsə, onda bu şərtlər də ödənmir.
Əgər
limit x 2-yə soldan
yaxınlaşsa idi,
f(x)-in sərhədsiz olaraq mənfi istiqamətə getdiyini deyə bilərdik.
Bəzən bunu mənfi sonsuzluq
kimi yazırlar.
Bu riyaziyyatda çox da düz deyil.
Bunu daha doğru yolu sadəcə
sərhədsiz olduğunu yazmaqdır.
Əgər limit
x 2-yə
sağdan yaxınlaşırsa,
f(x)
müsbət sonsuzluğa doğru sərhədsiz olacaq.
Təkrardan,
bu da həmçinin,
bu da sərhədsizdir.
Bu sonsuz olduğundan
və limit mövcud olmadığından,
şərtləri ödəmir.
Yəni kəsilən olacaq.
Beləliklə, bu, aradan qaldırıla bilən kəsilmə,
bu, sıçrayışlı kəsilmə, sıçrama edirik,
sonda isə bu, asimptotlarla,
yəni ikinci növ kəsilmədir.