1
00:00:00,333 --> 00:00:01,795
В това видео ще говорим

2
00:00:01,795 --> 00:00:04,447
за различните видове
прекъсвания,

3
00:00:04,447 --> 00:00:07,359
които вероятно си спомняш
от часовете по алгебра.

4
00:00:07,359 --> 00:00:11,010
Тук ще ги свържем
с нашето разбиране

5
00:00:11,010 --> 00:00:14,876
за граници:
леви, десни и двустранни.

6
00:00:14,876 --> 00:00:18,727
Най-напред да си припомним
видовете прекъсвания.

7
00:00:18,727 --> 00:00:22,274
Тук отляво виждаме крива,

8
00:00:22,274 --> 00:00:25,642
кяото иглежда е равна на
у=х²,

9
00:00:25,642 --> 00:00:28,502
освен за х=3,

10
00:00:28,502 --> 00:00:31,243
където вместо 3²

11
00:00:31,243 --> 00:00:33,111
в тази точка имаме прескачане

12
00:00:33,111 --> 00:00:35,893
и вместо като f(3),
функцията е зададена като 4.

13
00:00:35,893 --> 00:00:37,420
След това отново изглежда,

14
00:00:37,420 --> 00:00:39,543
че следва кривата
у=х².

15
00:00:39,543 --> 00:00:42,163
Този случай е известен

16
00:00:42,163 --> 00:00:45,680
като отстранима
точка на прекъсване.

17
00:00:45,840 --> 00:00:47,520
Наванието ѝ
говори само за себе си.

18
00:00:47,523 --> 00:00:49,821
В тази точка имаме
прекъсване.

19
00:00:49,821 --> 00:00:52,665
Може да си представиш
как променяш дефиницията

20
00:00:52,665 --> 00:00:54,747
в тази точка, за да стане
непрекъсната функция

21
00:00:54,747 --> 00:00:57,853
и така да отстраниш
това прекъсване.

22
00:00:57,853 --> 00:01:00,140
Да видим как това се връзва
с нашето определение

23
00:01:00,140 --> 00:01:01,833
за непрекъснатост?

24
00:01:01,833 --> 00:01:05,243
Нека си припомним
определението:

25
00:01:05,243 --> 00:01:10,000
каваме, че функцията f
е непрекъсната,

26
00:01:10,160 --> 00:01:12,120
или още по-точно,

27
00:01:12,260 --> 00:01:14,340
функцията f е непрекъсната

28
00:01:14,340 --> 00:01:17,900
в точката x = c
тогава и само тогава,

29
00:01:18,100 --> 00:01:21,560
когато границата
при х, клонящо към с

30
00:01:21,740 --> 00:01:26,560
на f(x) е равна на
самата стойност на функцията

31
00:01:26,565 --> 00:01:28,739
за х = с.

32
00:01:28,739 --> 00:01:30,714
Защо не е изпълнено
за тази графика?

33
00:01:30,714 --> 00:01:33,460
Тук двустранната граница
съществува,

34
00:01:33,460 --> 00:01:37,232
в този случай с е равно на 3

35
00:01:37,232 --> 00:01:38,708
и границата

36
00:01:38,708 --> 00:01:40,708
за х, клонящо към 3

37
00:01:41,637 --> 00:01:42,470
на f(x)

38
00:01:43,703 --> 00:01:46,412
може да се намери на графиката,

39
00:01:46,412 --> 00:01:48,679
а и в случая знам, че тя е
на у=х²

40
00:01:48,679 --> 00:01:51,410
освен в тази точка на прекъсване

41
00:01:51,410 --> 00:01:54,066
и границата е равна на 9.

42
00:01:54,066 --> 00:01:57,511
Проблемът тук е,

43
00:01:57,511 --> 00:02:00,342
че това не е равно на
стойността на функцията.

44
00:02:00,342 --> 00:02:01,909
За х = 3 тази функция,

45
00:02:01,909 --> 00:02:04,864
f(3) на тази графика

46
00:02:04,864 --> 00:02:07,890
всъщност е равно на 4.

47
00:02:07,890 --> 00:02:11,305
В тази ситуация двустранната граница
съществува,

48
00:02:11,305 --> 00:02:14,679
но не е равна на стойността
на функцията.

49
00:02:14,679 --> 00:02:16,594
Имаме и други случаи,
в които функцията

50
00:02:16,594 --> 00:02:18,144
дори не е определена
във въпросната точка,

51
00:02:18,144 --> 00:02:20,144
тя дори няма стойност там.

52
00:02:20,144 --> 00:02:22,391
И отново, тогава
границата може и да съществува,

53
00:02:22,391 --> 00:02:24,437
но самата функция
да не е дефинирана там.

54
00:02:24,437 --> 00:02:28,273
И в двата описани случая
няма да е изпълнено условието

55
00:02:28,280 --> 00:02:30,240
за непрекъснатост.

56
00:02:30,420 --> 00:02:34,140
Това представлява
отстранимата точка на прекъсване,

57
00:02:34,153 --> 00:02:36,169
това я прави прекъсната

58
00:02:36,169 --> 00:02:40,770
според нашето определение
за непрекъснатост.

59
00:02:40,770 --> 00:02:43,281
Сега да видим втория пример.

60
00:02:43,281 --> 00:02:45,924
Имаме интуитивен
тест за непрекъснатост:

61
00:02:45,924 --> 00:02:48,629
да се опитаме да
повторим линията.

62
00:02:48,629 --> 00:02:52,461
Виждаме, че когато достигнем
до х = 2,

63
00:02:52,461 --> 00:02:55,139
ще трябва да вдигнем молива
и да продължим от друго място.

64
00:02:55,139 --> 00:02:58,222
Това ни показва ясно,
че имаме прекъсване.

65
00:02:58,222 --> 00:03:00,512
Виждаме това и тук.

66
00:03:00,512 --> 00:03:03,595
Повтарям линията на тази функция
и пак трябва да вдигна молива,

67
00:03:03,595 --> 00:03:04,518
иначе не мога да мина
през тази точка.

68
00:03:04,518 --> 00:03:06,018
Трябва да скоча надолу дотук

69
00:03:06,018 --> 00:03:07,681
и да продължа пак горе.

70
00:03:07,681 --> 00:03:09,686
И в двата случая
трябва да вдигна молива.

71
00:03:09,686 --> 00:03:12,355
Интуицията ми казва,
че има прекъсване.

72
00:03:12,355 --> 00:03:14,934
Но този конкретен вид прекъсване,

73
00:03:14,934 --> 00:03:17,381
при който правя скок
от една точка

74
00:03:17,381 --> 00:03:19,584
към друга точка, за да продължа,

75
00:03:19,584 --> 00:03:22,379
се нарича прекъсване

76
00:03:22,380 --> 00:03:27,600
от първи род.

77
00:03:27,760 --> 00:03:31,245
То е различно от
отстранимото.

78
00:03:31,245 --> 00:03:33,775
Как се връзва това
с границите?

79
00:03:33,775 --> 00:03:37,704
Тук лявата и дясната граница
съществуват поотделно,

80
00:03:37,704 --> 00:03:39,242
но не са равни
помежду си.

81
00:03:39,242 --> 00:03:41,925
Следователно няма
двустранна граница.

82
00:03:41,925 --> 00:03:45,566
В нашия пример

83
00:03:45,566 --> 00:03:48,580
за всички стойности на х
до и включително х = 2

84
00:03:48,580 --> 00:03:51,022
това е графиката на у = х².

85
00:03:51,022 --> 00:03:53,159
А след х=2

86
00:03:53,159 --> 00:03:55,179
става графиката
на корен квадратен от х.

87
00:03:55,179 --> 00:03:57,059
В този сценарий

88
00:03:57,059 --> 00:04:01,380
имаме такива граници на f(x),

89
00:04:01,380 --> 00:04:05,040
когато х клони към 2:

90
00:04:06,000 --> 00:04:11,000
лявата граница е равна на 4,

91
00:04:11,010 --> 00:04:12,192
това е стойността,
към която функцията се стреми

92
00:04:12,192 --> 00:04:14,683
и тя е равна на самата
функция.

93
00:04:14,683 --> 00:04:18,598
Но ако погледнем

94
00:04:18,598 --> 00:04:20,995
дясната граница,

95
00:04:20,995 --> 00:04:22,881
колко ще е тя?

96
00:04:22,881 --> 00:04:24,070
Когато се приближаваме
отдясно

97
00:04:24,070 --> 00:04:25,534
имаме корен от х,

98
00:04:25,534 --> 00:04:28,606
затова дясната граница
е корен от 2.

99
00:04:28,606 --> 00:04:30,700
Няма как да го определиш,
ако само гледаш графиката.

100
00:04:30,716 --> 00:04:32,417
Знам колко е, защото

101
00:04:32,417 --> 00:04:34,394
използвах сайта Desmos,

102
00:04:34,394 --> 00:04:36,157
за да дефинирам тази функция.

103
00:04:36,157 --> 00:04:37,842
Но дори и на пръв поглед
се вижда,

104
00:04:37,842 --> 00:04:39,586
че се доближаваме
до две различни числа,

105
00:04:39,586 --> 00:04:41,066
когато се приближаваме
отляво

106
00:04:41,066 --> 00:04:42,770
или отдясно.

107
00:04:42,770 --> 00:04:44,917
И макар че съществуват
лявата и дясната граница,

108
00:04:44,917 --> 00:04:46,401
те не са равни

109
00:04:46,401 --> 00:04:48,230
и двустранната граница
не съществува.

110
00:04:48,230 --> 00:04:49,850
Щом няма двустранна граница,

111
00:04:49,850 --> 00:04:51,541
то тя със сигурност не може

112
00:04:51,541 --> 00:04:54,508
да бъде равна на функцията,
дори и функцията да е определена.

113
00:04:54,508 --> 00:04:58,744
Затова прекъсването от първи род
не отговаря на определението.

114
00:04:58,744 --> 00:04:59,885
Тук също е интуитивно.

115
00:04:59,885 --> 00:05:01,459
Виждам, че тук трябва
да скоча,

116
00:05:01,459 --> 00:05:02,546
да вдигна молива.

117
00:05:02,546 --> 00:05:06,158
Тези две линии
не са свързани.

118
00:05:06,158 --> 00:05:08,752
И накрая виждаме
един случай,

119
00:05:08,752 --> 00:05:10,000
който понякога се нарича

120
00:05:10,000 --> 00:05:13,617
прекъсване от втори род,

121
00:05:13,617 --> 00:05:22,600
или прекъсване при асимптота.

122
00:05:23,780 --> 00:05:27,525
Тук имаме асимптота:

123
00:05:27,525 --> 00:05:30,388
вертикалната асимптота за х = 2.

124
00:05:30,388 --> 00:05:33,602
Ако опитам да повторя графиката,

125
00:05:33,602 --> 00:05:34,855
като започна отляво,

126
00:05:34,855 --> 00:05:36,803
ще продължа вечно.

127
00:05:36,803 --> 00:05:40,134
Няма да мога да спра
да чертая този клон,

128
00:05:40,134 --> 00:05:42,126
защото той е неограничен,

129
00:05:42,126 --> 00:05:44,484
отива в безкрайност,
когато се доближавам

130
00:05:44,484 --> 00:05:46,332
до х = 2 отляво.

131
00:05:46,332 --> 00:05:48,936
А когато се стремя
към х = 2 отдясно,

132
00:05:48,936 --> 00:05:51,132
отново съм неограничен,
но този път отгоре.

133
00:05:51,132 --> 00:05:52,757
Дори и да можех да стигна дотам,

134
00:05:52,757 --> 00:05:55,067
което всъщност е безкрайност

135
00:05:55,067 --> 00:05:57,317
и е невъзможно

136
00:05:58,634 --> 00:06:02,367
за един краен живот да се повтори
цялата линия,

137
00:06:02,367 --> 00:06:04,418
но се разбира, че дори тогава
няма да има начин

138
00:06:04,418 --> 00:06:08,656
да се стигне от единия клон до другия
без вдигане на молива.

139
00:06:08,656 --> 00:06:12,466
За да го свържем с нашето разбиране за граници,

140
00:06:12,466 --> 00:06:13,715
тук имаме, че

141
00:06:13,715 --> 00:06:16,930
и лявата, и дясната граница
са неистински,

142
00:06:16,930 --> 00:06:18,398
тоест по твърдото определение
дори не съществуват.

143
00:06:18,398 --> 00:06:21,675
Тъй като не съществуват,
то условието не е изпълнено.

144
00:06:21,675 --> 00:06:24,300
Ако разгледаме
лявата граница

145
00:06:24,363 --> 00:06:28,450
на f(x)
при х, клонящо към 2

146
00:06:28,450 --> 00:06:31,053
виждаме, че тя е неограничена
в отрицателна посока.

147
00:06:31,053 --> 00:06:33,352
Понякога това се нарича

148
00:06:33,352 --> 00:06:34,601
минус безкрайност.

149
00:06:34,601 --> 00:06:36,975
Но това не е съвсем
прието навсякъде.

150
00:06:36,980 --> 00:06:40,340
По-коректният начин е
да се нарече функцията

151
00:06:40,340 --> 00:06:42,617
неограничена.

152
00:06:42,617 --> 00:06:44,920
Аналогично и за

153
00:06:44,920 --> 00:06:46,751
дясната граница

154
00:06:46,751 --> 00:06:49,900
на f(x) при х,
клонящо към 2:

155
00:06:49,918 --> 00:06:52,953
тя е неограничена
към плюс безкрайност.

156
00:06:52,953 --> 00:06:54,367
Отново имаме,

157
00:06:54,367 --> 00:06:55,786
че този клон

158
00:06:55,786 --> 00:06:57,983
е неограничен.

159
00:06:57,983 --> 00:06:59,297
От тук следва,

160
00:06:59,297 --> 00:07:01,440
че двустранната граница
не съществува

161
00:07:01,440 --> 00:07:02,631
и графиката не отговаря
на условието за непрекъснатост.

162
00:07:02,631 --> 00:07:04,950
Затова тя е прекъсната.

163
00:07:04,950 --> 00:07:07,696
Да обобщим:
първото е отстранима точка на прекъсване,

164
00:07:07,696 --> 00:07:09,931
второто е прекъсване от първи род,
или скок,

165
00:07:09,931 --> 00:07:15,000
и накрая имаме прекъсване
от втори род, с асимптота.