WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.445
V tomto videu si povíme
něco o různých typech nespojitosti,

00:00:04.447 --> 00:00:08.419
které jste nejspíše už
viděli během algebry nebo jinde,

00:00:08.419 --> 00:00:14.606
řekneme si, jak souvisí s našimi znalostmi
jednostranných a oboustranných limit.

00:00:14.606 --> 00:00:18.517
Nejprve se podívejme,
jaké nespojitosti rozlišujeme.

00:00:18.517 --> 00:00:21.534
Tady vlevo
můžete vidět,

00:00:21.534 --> 00:00:25.422
že tato křivka vypadá jako graf
y rovná se x na druhou,

00:00:25.422 --> 00:00:28.189
dokud se nedostaneme
do bodu x rovno 3,

00:00:28.189 --> 00:00:33.003
v němž máme místo hodnoty
3 na druhou tuto díru

00:00:33.003 --> 00:00:35.703
a funkční hodnota v
bodě 3 je místo toho 4,

00:00:35.703 --> 00:00:39.423
ale pak pokračuje dál jako
y rovná se x na druhou.

00:00:39.423 --> 00:00:47.513
Tomuto říkáme odstranitelná
nespojitost, a to ze zjevných důvodů,

00:00:47.513 --> 00:00:49.797
protože když v tomto bodě
dochází k nespojitosti,

00:00:49.797 --> 00:00:54.533
snadno si dokážete představit, jak funkci
v bodě dodefinovat tak, aby byla spojitá,

00:00:54.533 --> 00:00:57.585
takže tato nespojitost
je odstranitelná.

00:00:57.585 --> 00:01:01.698
Ale jak to souvisí s
naší definicí spojitosti?

00:01:01.698 --> 00:01:05.012
Připomeňme si
naši definici spojitosti:

00:01:05.012 --> 00:01:11.642
řekneme, že f je spojitá,
právě tehdy, když…

00:01:11.642 --> 00:01:16.343
Ještě bychom měli napsat,
že jde o spojitost v bodě x rovno ‚c‘.

00:01:16.343 --> 00:01:27.808
Právě tehdy, když je limita f pro x jdoucí
k ‚c‘ rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘.

00:01:27.808 --> 00:01:30.504
Proč tomu
tohle nevyhovuje?

00:01:30.504 --> 00:01:33.239
Oboustranná
limita existuje.

00:01:33.239 --> 00:01:36.942
Pokud řekneme, že ‚c‘ je
v tomhle případě rovno 3,

00:01:36.942 --> 00:01:43.197
tak je limita pro x
blížící se ke 3 z funkce f(x)…

00:01:43.197 --> 00:01:46.256
Vypadá to, když se
podíváme na graf,

00:01:46.256 --> 00:01:51.195
a já ve skutečnosti vím, že jde o graf y
rovná se x na druhou, až na nespojitost,

00:01:51.195 --> 00:01:53.856
že tato limita je rovna 9.

00:01:53.856 --> 00:01:57.282
Ale problémem je,
že tak jak je graf nakreslený,

00:01:57.282 --> 00:01:59.999
nejde o totéž číslo
jako funkční hodnota.

00:01:59.999 --> 00:02:02.870
Funkční hodnota f(3)…

00:02:02.870 --> 00:02:07.635
Tak jak je funkce
znázorněna se f(3) rovná 4.

00:02:07.635 --> 00:02:11.077
Takže jsme v situaci, kdy
oboustranná limita existuje,

00:02:11.077 --> 00:02:14.034
ale nerovná se
funkční hodnotě.

00:02:14.034 --> 00:02:17.974
V jiných příkladech se vám může stát,
že funkce zde ani nebude definovaná.

00:02:17.974 --> 00:02:19.901
Takže tohle
by zde nebylo.

00:02:19.901 --> 00:02:24.209
V tom případě by limita opět existovala,
ale funkce by zde nebyla definovaná,

00:02:24.209 --> 00:02:29.943
takže ani v jednom případě
nesplníme tuto podmínku spojitosti.

00:02:29.943 --> 00:02:31.183
A to je důvodem,

00:02:31.183 --> 00:02:40.260
proč odstranitelná nespojitost v bodě
není spojitá podle naší definice.

00:02:40.260 --> 00:02:42.971
Nyní se podívejme
na druhý příklad.

00:02:42.971 --> 00:02:45.924
Když zkusím spojitost
posoudit intuitivně tak,

00:02:45.924 --> 00:02:48.289
že kreslím graf
tužkou na papíře,

00:02:48.289 --> 00:02:52.161
vidíme, že jak se dostanu
do bodu x rovno 2,

00:02:52.161 --> 00:02:54.859
musím zvednout tužku
a až pak dál kreslit.

00:02:54.859 --> 00:02:57.942
Takže to nám napovídá,
že zde dochází k nespojitosti.

00:02:57.942 --> 00:03:01.552
Vidíme, že i kdybych
tady kreslil tužkou,

00:03:01.552 --> 00:03:05.748
tak musím zvednout tužku,
abych mohl skočit k bodu dole,

00:03:05.748 --> 00:03:07.701
a pak bych pokračoval
v kreslení nahoře.

00:03:07.701 --> 00:03:09.706
V obou případech bych
zvedl tužku z papíru.

00:03:09.706 --> 00:03:12.202
Intuitivně je zde
tedy nespojitost.

00:03:12.202 --> 00:03:14.614
Tomuto konkrétnímu
typu nespojitosti,

00:03:14.614 --> 00:03:19.364
kdy z jednoho bodu skáču na
druhý, abych mohl pokračovat dál,

00:03:19.364 --> 00:03:27.489
říkáme nespojitost
1. druhu.

00:03:27.489 --> 00:03:31.000
A tohle je
odstranitelná nespojitost.

00:03:31.000 --> 00:03:33.440
Jak to souvisí
s limitami?

00:03:33.440 --> 00:03:37.509
V tomto případě limity
zleva a zprava existují,

00:03:37.509 --> 00:03:41.738
ale nerovnají se sobě, takže
oboustranná limita neexistuje.

00:03:41.738 --> 00:03:44.346
V tomto konkrétním
případě platí,

00:03:44.346 --> 00:03:50.652
že pro všechna x až do 2 včetně
jde o graf funkce y rovná se x na druhou

00:03:50.652 --> 00:03:54.959
a pro x větší než 2
jde o graf odmocniny z x.

00:03:54.959 --> 00:04:10.869
Za těchto okolností se limita z f(x)
pro x blížící se ke 2 zleva rovná 4.

00:04:10.869 --> 00:04:14.347
Blížíme se k této hodnotě,
což je dokonce i funkční hodnota.

00:04:14.347 --> 00:04:20.705
Ale když budeme hledat limitu z f(x)
pro x blížící se ke 2 zprava,

00:04:20.705 --> 00:04:22.515
čemu se bude rovnat?

00:04:22.515 --> 00:04:25.354
Blížíme se zprava, tohle
je graf odmocniny z x,

00:04:25.354 --> 00:04:27.385
tedy se blížíme
k odmocnině ze 2.

00:04:27.385 --> 00:04:30.604
Samozřejmě jen z pohledu na
graf nepoznáte, že jde o odmocninu ze 2.

00:04:30.604 --> 00:04:35.886
Já to vím jen proto, že když jsem vytvářel
tento obrázek, použil jsem tuto funkci.

00:04:35.886 --> 00:04:37.586
Ale už jen od
pohledu je jasné,

00:04:37.586 --> 00:04:42.534
že když se blížíme zprava a zleva,
jdeme vždy k jiné hodnotě.

00:04:42.534 --> 00:04:46.290
A tak i když jednostranné limity
existují, nerovnají se tomu samému,

00:04:46.290 --> 00:04:48.010
takže oboustranná
limita neexistuje.

00:04:48.010 --> 00:04:52.338
A když oboustranná limita neexistuje,
tak se určitě nerovná funkční hodnotě,

00:04:52.338 --> 00:04:54.354
i když je zde funkce
definovaná.

00:04:54.354 --> 00:04:58.405
Proto nespojitost 1. druhu
nesplňuje tuto podmínku.

00:04:58.405 --> 00:04:59.829
Je to opět
intuitivní.

00:04:59.829 --> 00:05:01.366
Vidíme, že musím
udělat skok,

00:05:01.366 --> 00:05:05.808
musím zvednout tužku, protože
tyto body nejsou propojené.

00:05:05.808 --> 00:05:13.434
A nakonec tady máme to,
čemu se často říká nespojitost 2. druhu.

00:05:13.434 --> 00:05:23.721
Nespojitost 2. druhu.

00:05:23.721 --> 00:05:26.706
Intuitivně vidíme, že
zde máme asymptotu,

00:05:26.706 --> 00:05:30.179
jde o svislou asymptotu
procházející bodem x rovno 2.

00:05:30.179 --> 00:05:36.605
Kdybych zkoušel tužkou kreslit graf,
zleva bych takto šel dál a dál,

00:05:36.605 --> 00:05:43.134
vlastně bych to dělal věčně,
hodnoty by neomezeně klesaly,

00:05:43.134 --> 00:05:46.142
jak bych se zleva čím dál tím
víc blížil k bodu x rovno 2.

00:05:46.142 --> 00:05:50.942
Kdybych se k bodu x rovno 2 blížil
zprava, tak bych šel neomezeně nahoru.

00:05:50.942 --> 00:05:52.757
Ale i kdybych mohl…

00:05:52.757 --> 00:05:54.967
Když říkám neomezeně,
tak to jde do nekonečna,

00:05:54.967 --> 00:05:56.607
takže je ve
skutečnosti nemožné,

00:05:56.607 --> 00:06:02.340
aby běžný smrtelník za svůj
život nakreslil celý graf.

00:06:02.340 --> 00:06:03.391
Ale víte,
co myslím.

00:06:03.391 --> 00:06:08.626
Určitě se odsud sem nedostanu bez toho,
aniž bych zvedl tužku z papíru.

00:06:08.626 --> 00:06:12.245
Pokud toto chceme spojit s
našimi znalostmi limit,

00:06:12.245 --> 00:06:16.680
tak obě jednostranné
limity jsou nevlastní,

00:06:16.680 --> 00:06:18.229
takže řekneme,
že neexistují,

00:06:18.229 --> 00:06:21.345
a tudíž nemůžeme
splnit tuto podmínku.

00:06:21.345 --> 00:06:28.071
Takže limita f(x) pro
x blížící se ke 2 zleva,

00:06:28.071 --> 00:06:30.987
vidíme, že jdeme neomezeně
záporným směrem,

00:06:30.987 --> 00:06:34.371
takže občas uvidíte někoho napsat
něco jako toto: záporné nekonečno.

00:06:34.371 --> 00:06:36.715
Toto je ale
spíše intuitivní zápis,

00:06:36.715 --> 00:06:42.420
matematicky přesnější je říci,
že limita je nevlastní.

00:06:42.420 --> 00:06:49.600
Rovněž limita f(x) pro x blížící se
ke 2 zprava jde neomezeně dál a dál,

00:06:49.600 --> 00:06:52.725
tentokrát ke kladnému
nekonečnu.

00:06:52.725 --> 00:06:57.572
Tato limita je
tedy opět nevlastní.

00:06:57.572 --> 00:07:01.361
Protože je nevlastní,
tak tato limita neexistuje

00:07:01.361 --> 00:07:04.703
a nemůže tak splnit tuto podmínku,
tudíž dochází k nespojitosti.

00:07:04.703 --> 00:07:09.777
Takže tohle je odstranitelná nespojitost,
nespojitost 1. druhu, když takhle skáču,

00:07:09.777 --> 00:07:15.045
a když máme takovouto svislou asymptotu,
tak je to nespojitost 2. druhu.