I denne video skal vi
snakke om forskellige typer af diskontinuiteter.
som du sikkert allerede har hørt om før.
men vi skal se på dem i relation til
både tosidede grænseværdier og ensidede grænseværdier.
Lad os først gennemgå typerne af diskontinuiteter.
Her til venstre er en kuver
som ligner y er lig x
indtil vi kommer til x er lig 3.
I stedet for at være 3
så har vi i dette punkt et hul
og istedet er funktionen ved 3 defienret som 4.
Men så fortsætter dem
og ser igen ud til at være y er lig x.
Dette kaldes en hævelig diskontinuitet.
s
Og det kaldes den af indlysende årsager.
Du ahr et diskontinuitetspunkt.
Du kan forestille dig hvorda du defienrer funktion
i dette punkt, så den er kontinuert
så denne diskontinuitet hæves eler fjernes.
Men hvad har det at gøre med definertion af
kontinuitet?
Lad os se på definitionen af kontinuitet.
Vi siger f er kontinuert
s
hvis og kun hvis
eller lad mig f er kontinuert
når x er lig c hvis og kun hvis
grænseværdien, når x nærmer sig c
for f(x) er lig med værdien af funktionen
når x er lig c.
Hvorfor fejler den her?
Den tosidede grænseværdi eksisterer faktisk.
Hvis vi siger c er 3,
så er grænseværdien, når x nærmer sig 3
s
for f(x)
som du kan se grafisk
synes den at være y = x
bortset fra denne diskontinuitet.
hvor den er lig 9.
Men problemet er den måde grafen er tegnet
det er ikke det samme som funktionsværdien.
Denne funktion f(3),
når den er tegnet således
så er f(3) lig 4.
dette er et tilfælde, hvor den tosidede grænseværdi
eksister, men den er ikke lig funktionsværdien.
Du kan se andre tilfæde, hvor funktione
slet ikke er defineret der,
s
OG igen, denne grænseværdi eksiter muligvis,
men funktione er mulivis ikke defiernerr der.
Uanset, så opfylder du ikke disse kriterier
for kontinuuitet.
Det er derfor enhævelig diskontinuirer
er diskontinuer
med hensn til grænseværdi definere af kontinuitet.
Lad os se på dette andet eksempel.
Hvis tester for kontinuitet ved blot at kigge
så kan vi følge den
og vi ser at ved x er lig 2,
så skal jeg løfte blyanden for at fortsætte.
Det er et ret godt tegn på at diskontinuitet.
Det ser vi også herover.
hvis jeg følger denne funktion så skal jeg løfte min blyant
jeg kan ikke gå til dette punkt.
Jeg skal hoppe herned
og så fortsætte herover.
I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant
så vi kan fornemme den er diskontinuert.
Men for denne type af dikskontnuitet,
hvor jeg laver et spring fra et punkt
og jeg laver et spring herned til fr at forsætte
så kaldes det helt naturligt for en spring diskontinuitet.
s
Og dette er naturligvis en hævelig diskontinuitet.
Hvordan relatirere det til grænseværdier?
Her eksisterer den venstre og højresidet grænseværdi
men de er ikke det samme,
så du har ikke en tosidet grænseværdi.
For eksempel med denne her
for alle x-værdier til og med x lig 2
der er det grafen for y er lig x
Og for x større end 2
der er det grafen for √2.
I dette tilfælde
hvis du finder grænseværdien af
f(x)
når x nærmer sig 2
fra
venstre
s
så bliver den lig 4,
du nærmer dig dinne værdi,
Og det er faktisk funktionsværdien.
Men når du bestemmer grænseværdien når x nærmser sig 2
fra højre for f(x),
hvad er den så lig?
Når vi nærmser os fra højre,
så der den faktisk √x
så den næemwe aif √2
Du kan ikke se det er √2 blot ved at se på den,
s
jeg ved det er det, fordi
jeg det er den funktion jeg definerede inde på Desmos
da jeg lavede funktionen.
Men visuelt er det tydeligt
at du nærmer dig to forskellige værdier
når du nærmer dig fra venstre
og når du nærmer dig fra højre.
Så selv om de ensidet grænseværdier eksisterer,
så nærmer de sig ikke det samme,
så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke.
Og hvis den tosidet grænseværdi ikke eksiteer,
så kan den med sikerhed ikke være
lig funktionsværdien, selv hvis funktionen er defineret.
Det er derfor en spring diskontinuitet dumper prøven.
Igen det er ret intuitivt.
Du kan se her, jeg skal springe
jeg skal løfte min blyant.
Disse to ting er ikke forbundet med hinanden.
Filsidst, så kan du se her,
når du lærte om
det der hedder en asymptotisk diskontinuitet
s
ss
s
Og du har her en asymptote.
Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.
Hvis jeg forsøger at følge grafen fra
vense
så vil jeg blot fortsætte
Jeg vil følge den uendeligt
da den er udendelig
den er ubegrænset så når jeg
kommer tættere og tættere på x er lig 2 fra vensre
og hvis jeg forsøger at komme til x er lig 2 fra højre
så vil jeg igen forsætte ubegrænset opad.
NÅr jeg siger ubegrænset
så går den mod uendlig
og det er jo faktisk umuligt
i et almindeligt dødeligt menneske at følge den hele vejen.
Men du kan fornemme, at je
ikke kan tegne den herfra og dertil uden at løfte min blyant.
Du kan relaterer det til grænseværdier
ved at sige
at både venstre og højresidet grænseværdier er ubegrænset
så de eksistere officielt ikke.
Hvis de ikke eksiterr, så kan vi ikke opfylde disse betingelser.
SÅ vi kan sige at
grænseværdien
når x nærmer sig 2 fra vesntre sie for f(x)
er ubegrænset i den negative retning.
Du kan nogle gange se man skirver det som
minus uendelig
men så er man lidt løs med matematikken.
Det er mere korrekt at sige den er ubegrænset
s
På samme måde kan vi sige at grænseværdien
når x nærmer sig 2
fra øjre
for f(x)
er ubegrænset mod plus uendlig.
Og igen,
dette er også ubegrænset.
s
og fordi den eer ubegrænset, så eksiterr denne grænseværdi ikke
og kan ikke opfylde disse betindler
SÅ vi er diskontinuert.
Dette er en punkt eller hævelig diskontinuitet
en spring diskontinuitet, jeg springer
og her har vi disse asymptotoer, en lodret asypmtote
Det er en asymptotisk diskontinuitet.