1
00:00:00,333 --> 00:00:01,795
I denne video skal vi

2
00:00:01,795 --> 00:00:04,447
snakke om forskellige typer af diskontinuiteter.

3
00:00:04,447 --> 00:00:07,359
som du sikkert allerede har hørt om før.

4
00:00:07,359 --> 00:00:11,010
men vi skal se på dem i relation til

5
00:00:11,010 --> 00:00:14,876
både tosidede grænseværdier og
ensidede grænseværdier.

6
00:00:14,876 --> 00:00:18,727
Lad os først gennemgå typerne af diskontinuiteter.

7
00:00:18,727 --> 00:00:22,274
Her til venstre er en kuver

8
00:00:22,274 --> 00:00:25,642
som ligner y er lig x

9
00:00:25,642 --> 00:00:28,502
indtil vi kommer til x er lig 3.

10
00:00:28,502 --> 00:00:31,243
I stedet for at være 3

11
00:00:31,243 --> 00:00:33,111
så har vi i dette punkt et hul

12
00:00:33,111 --> 00:00:35,893
og istedet er funktionen ved 3 defienret som 4.

13
00:00:35,893 --> 00:00:37,420
Men så fortsætter dem

14
00:00:37,420 --> 00:00:39,543
og ser igen ud til at være y er lig x.

15
00:00:39,543 --> 00:00:42,163
Dette kaldes en hævelig diskontinuitet.

16
00:00:42,163 --> 00:00:44,663
s

17
00:00:45,834 --> 00:00:47,523
Og det kaldes den af indlysende årsager.

18
00:00:47,523 --> 00:00:49,821
Du ahr et diskontinuitetspunkt.

19
00:00:49,821 --> 00:00:52,665
Du kan forestille dig hvorda du defienrer funktion

20
00:00:52,665 --> 00:00:54,747
i dette punkt, så den er kontinuert

21
00:00:54,747 --> 00:00:57,853
så denne diskontinuitet hæves eler fjernes.

22
00:00:57,853 --> 00:01:00,140
Men hvad har det at gøre med definertion af

23
00:01:00,140 --> 00:01:01,833
kontinuitet?

24
00:01:01,833 --> 00:01:05,243
Lad os se på definitionen af kontinuitet.

25
00:01:05,243 --> 00:01:07,772
Vi siger f er kontinuert

26
00:01:07,772 --> 00:01:08,689
s

27
00:01:10,156 --> 00:01:11,406
hvis og kun hvis

28
00:01:12,266 --> 00:01:14,343
eller lad mig f er kontinuert

29
00:01:14,343 --> 00:01:17,010
når x er lig c hvis og kun hvis

30
00:01:18,094 --> 00:01:20,594
grænseværdien, når x nærmer sig c

31
00:01:21,750 --> 00:01:26,565
for f(x) er lig med værdien af funktionen

32
00:01:26,565 --> 00:01:28,739
når x er lig c.

33
00:01:28,739 --> 00:01:30,714
Hvorfor fejler den her?

34
00:01:30,714 --> 00:01:33,460
Den tosidede grænseværdi eksisterer faktisk.

35
00:01:33,460 --> 00:01:37,232
Hvis vi siger c er 3,

36
00:01:37,232 --> 00:01:38,708
så er grænseværdien, når x nærmer sig 3

37
00:01:38,708 --> 00:01:40,708
s

38
00:01:41,637 --> 00:01:42,470
for f(x)

39
00:01:43,703 --> 00:01:46,412
som du kan se grafisk

40
00:01:46,412 --> 00:01:48,679
synes den at være y = x

41
00:01:48,679 --> 00:01:51,410
bortset fra denne diskontinuitet.

42
00:01:51,410 --> 00:01:54,066
hvor den er lig 9.

43
00:01:54,066 --> 00:01:57,511
Men problemet er den måde grafen er tegnet

44
00:01:57,511 --> 00:02:00,342
det er ikke det samme som funktionsværdien.

45
00:02:00,342 --> 00:02:01,909
Denne funktion f(3),

46
00:02:01,909 --> 00:02:04,864
når den er tegnet således

47
00:02:04,864 --> 00:02:07,890
så er f(3) lig 4.

48
00:02:07,890 --> 00:02:11,305
dette er et tilfælde, hvor den tosidede grænseværdi

49
00:02:11,305 --> 00:02:14,679
eksister, men den er ikke lig funktionsværdien.

50
00:02:14,679 --> 00:02:16,594
Du kan se andre tilfæde, hvor funktione

51
00:02:16,594 --> 00:02:18,144
slet ikke er defineret der,

52
00:02:18,144 --> 00:02:20,144
s

53
00:02:20,144 --> 00:02:22,391
OG igen, denne grænseværdi eksiter muligvis,

54
00:02:22,391 --> 00:02:24,437
men funktione er mulivis ikke defiernerr der.

55
00:02:24,437 --> 00:02:28,273
Uanset, så opfylder du ikke disse kriterier

56
00:02:28,273 --> 00:02:29,523
for kontinuuitet.

57
00:02:30,427 --> 00:02:34,153
Det er derfor enhævelig diskontinuirer

58
00:02:34,153 --> 00:02:36,169
er diskontinuer

59
00:02:36,169 --> 00:02:40,770
med hensn til grænseværdi definere af kontinuitet.

60
00:02:40,770 --> 00:02:43,281
Lad os se på dette andet eksempel.

61
00:02:43,281 --> 00:02:45,924
Hvis tester for kontinuitet ved blot at kigge

62
00:02:45,924 --> 00:02:48,629
så kan vi følge den

63
00:02:48,629 --> 00:02:52,461
og vi ser at ved x er lig 2,

64
00:02:52,461 --> 00:02:55,139
så skal jeg løfte blyanden for at fortsætte.

65
00:02:55,139 --> 00:02:58,222
Det er et ret godt tegn på at diskontinuitet.

66
00:02:58,222 --> 00:03:00,512
Det ser vi også herover.

67
00:03:00,512 --> 00:03:03,595
hvis jeg følger denne funktion så skal jeg løfte min blyant

68
00:03:03,595 --> 00:03:04,518
jeg kan ikke gå til dette punkt.

69
00:03:04,518 --> 00:03:06,018
Jeg skal hoppe herned

70
00:03:06,018 --> 00:03:07,681
og så fortsætte herover.

71
00:03:07,681 --> 00:03:09,686
I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

72
00:03:09,686 --> 00:03:12,355
så vi kan fornemme den er diskontinuert.

73
00:03:12,355 --> 00:03:14,934
Men for denne type af dikskontnuitet,

74
00:03:14,934 --> 00:03:17,381
hvor jeg laver et spring fra et punkt

75
00:03:17,381 --> 00:03:19,584
og jeg laver et spring herned til fr at forsætte

76
00:03:19,584 --> 00:03:22,379
så kaldes det helt naturligt for en spring diskontinuitet.

77
00:03:22,379 --> 00:03:23,546
s

78
00:03:24,432 --> 00:03:25,599
s

79
00:03:27,754 --> 00:03:31,245
Og dette er naturligvis en hævelig diskontinuitet.

80
00:03:31,245 --> 00:03:33,775
Hvordan relatirere det til grænseværdier?

81
00:03:33,775 --> 00:03:37,704
Her eksisterer den venstre og højresidet
grænseværdi

82
00:03:37,704 --> 00:03:39,242
men de er ikke det samme,

83
00:03:39,242 --> 00:03:41,925
så du har ikke en tosidet grænseværdi.

84
00:03:41,925 --> 00:03:45,566
For eksempel med denne her

85
00:03:45,566 --> 00:03:48,580
for alle x-værdier til og med x lig 2

86
00:03:48,580 --> 00:03:51,022
der er det grafen for y er lig x

87
00:03:51,022 --> 00:03:53,159
Og for x større end 2

88
00:03:53,159 --> 00:03:55,179
der er det grafen for √2.

89
00:03:55,179 --> 00:03:57,059
I dette tilfælde

90
00:03:57,059 --> 00:03:59,417
hvis du finder grænseværdien af

91
00:03:59,417 --> 00:04:00,250
f(x)

92
00:04:01,502 --> 00:04:03,002
når x nærmer sig 2

93
00:04:04,209 --> 00:04:05,042
fra

94
00:04:06,000 --> 00:04:07,167
venstre

95
00:04:08,191 --> 00:04:09,570
s

96
00:04:09,570 --> 00:04:11,010
så bliver den lig 4,

97
00:04:11,010 --> 00:04:12,192
du nærmer dig dinne værdi,

98
00:04:12,192 --> 00:04:14,683
Og det er faktisk funktionsværdien.

99
00:04:14,683 --> 00:04:18,598
Men når du bestemmer grænseværdien når x nærmser sig 2

100
00:04:18,598 --> 00:04:20,995
fra højre for f(x),

101
00:04:20,995 --> 00:04:22,881
hvad er den så lig?

102
00:04:22,881 --> 00:04:24,070
Når vi nærmser os fra højre,

103
00:04:24,070 --> 00:04:25,534
så der den faktisk √x

104
00:04:25,534 --> 00:04:28,606
så den næemwe aif √2

105
00:04:28,606 --> 00:04:29,714
Du kan ikke se det er √2 blot ved at se på den,

106
00:04:29,714 --> 00:04:30,716
s

107
00:04:30,716 --> 00:04:32,417
jeg ved det er det, fordi

108
00:04:32,417 --> 00:04:34,394
jeg det er den funktion jeg definerede inde på Desmos

109
00:04:34,394 --> 00:04:36,157
da jeg lavede funktionen.

110
00:04:36,157 --> 00:04:37,842
Men visuelt er det tydeligt

111
00:04:37,842 --> 00:04:39,586
at du nærmer dig to forskellige værdier

112
00:04:39,586 --> 00:04:41,066
når du nærmer dig fra venstre

113
00:04:41,066 --> 00:04:42,770
og når du nærmer dig fra højre.

114
00:04:42,770 --> 00:04:44,917
Så selv om de ensidet grænseværdier eksisterer,

115
00:04:44,917 --> 00:04:46,401
så nærmer de sig ikke det samme,

116
00:04:46,401 --> 00:04:48,230
så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke.

117
00:04:48,230 --> 00:04:49,850
Og hvis den tosidet grænseværdi ikke eksiteer,

118
00:04:49,850 --> 00:04:51,541
så kan den med sikerhed ikke være

119
00:04:51,541 --> 00:04:54,508
lig funktionsværdien, selv hvis funktionen er defineret.

120
00:04:54,508 --> 00:04:58,744
Det er derfor en spring diskontinuitet dumper prøven.

121
00:04:58,744 --> 00:04:59,885
Igen det er ret intuitivt.

122
00:04:59,885 --> 00:05:01,459
Du kan se her, jeg skal springe

123
00:05:01,459 --> 00:05:02,546
jeg skal løfte min blyant.

124
00:05:02,546 --> 00:05:06,158
Disse to ting er ikke forbundet med hinanden.

125
00:05:06,158 --> 00:05:08,752
Filsidst, så kan du se her,

126
00:05:08,752 --> 00:05:10,000
når du lærte om

127
00:05:10,000 --> 00:05:13,617
det der hedder en asymptotisk diskontinuitet

128
00:05:13,617 --> 00:05:14,534
s

129
00:05:17,462 --> 00:05:19,124
s

130
00:05:19,124 --> 00:05:20,291
ss

131
00:05:21,508 --> 00:05:22,675
s

132
00:05:23,780 --> 00:05:27,525
Og du har her en asymptote.

133
00:05:27,525 --> 00:05:30,388
Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

134
00:05:30,388 --> 00:05:33,602
Hvis jeg forsøger at følge grafen fra

135
00:05:33,602 --> 00:05:34,855
vense

136
00:05:34,855 --> 00:05:36,803
så vil jeg blot fortsætte

137
00:05:36,803 --> 00:05:40,134
Jeg vil følge den uendeligt

138
00:05:40,134 --> 00:05:42,126
da den er udendelig

139
00:05:42,126 --> 00:05:44,484
den er ubegrænset så når jeg

140
00:05:44,484 --> 00:05:46,332
kommer tættere og tættere på x er lig 2 fra vensre

141
00:05:46,332 --> 00:05:48,936
og hvis jeg forsøger at komme til x er lig 2 fra højre

142
00:05:48,936 --> 00:05:51,132
så vil jeg igen forsætte ubegrænset opad.

143
00:05:51,132 --> 00:05:52,757
NÅr jeg siger ubegrænset

144
00:05:52,757 --> 00:05:55,067
så går den mod uendlig

145
00:05:55,067 --> 00:05:57,317
og det er jo faktisk umuligt

146
00:05:58,634 --> 00:06:02,367
i et almindeligt dødeligt menneske at følge den hele vejen.

147
00:06:02,367 --> 00:06:04,418
Men du kan fornemme, at je

148
00:06:04,418 --> 00:06:08,656
ikke kan tegne den herfra og dertil
uden at løfte min blyant.

149
00:06:08,656 --> 00:06:12,466
Du kan relaterer det til grænseværdier

150
00:06:12,466 --> 00:06:13,715
ved at sige

151
00:06:13,715 --> 00:06:16,930
at både venstre og højresidet grænseværdier er ubegrænset

152
00:06:16,930 --> 00:06:18,398
så de eksistere officielt ikke.

153
00:06:18,398 --> 00:06:21,675
Hvis de ikke eksiterr, så kan vi ikke opfylde disse betingelser.

154
00:06:21,675 --> 00:06:23,076
SÅ vi kan sige at

155
00:06:23,076 --> 00:06:24,363
grænseværdien

156
00:06:24,363 --> 00:06:28,450
når x nærmer sig 2 fra vesntre sie for f(x)

157
00:06:28,450 --> 00:06:31,053
er ubegrænset i den negative retning.

158
00:06:31,053 --> 00:06:33,352
Du kan nogle gange se man skirver det som

159
00:06:33,352 --> 00:06:34,601
minus uendelig

160
00:06:34,601 --> 00:06:36,975
men så er man lidt løs med matematikken.

161
00:06:36,975 --> 00:06:41,010
Det er mere korrekt at sige den er ubegrænset

162
00:06:41,010 --> 00:06:42,617
s

163
00:06:42,617 --> 00:06:44,920
På samme måde kan vi sige at grænseværdien

164
00:06:44,920 --> 00:06:46,751
når x nærmer sig 2

165
00:06:46,751 --> 00:06:48,606
fra øjre

166
00:06:48,606 --> 00:06:49,918
for f(x)

167
00:06:49,918 --> 00:06:52,953
er ubegrænset mod plus uendlig.

168
00:06:52,953 --> 00:06:54,367
Og igen,

169
00:06:54,367 --> 00:06:55,786
dette er også ubegrænset.

170
00:06:55,786 --> 00:06:57,983
s

171
00:06:57,983 --> 00:06:59,297
s

172
00:06:59,297 --> 00:07:01,440
og fordi den eer ubegrænset, så eksiterr denne grænseværdi ikke

173
00:07:01,440 --> 00:07:02,631
og kan ikke opfylde disse betindler

174
00:07:02,631 --> 00:07:04,950
SÅ vi er diskontinuert.

175
00:07:04,950 --> 00:07:07,696
Dette er en punkt eller hævelig diskontinuitet

176
00:07:07,696 --> 00:07:09,931
en spring diskontinuitet, jeg springer

177
00:07:09,931 --> 00:07:12,217
og her har vi disse asymptotoer, en lodret asypmtote

178
00:07:12,217 --> 00:07:15,045
Det er en asymptotisk diskontinuitet.