0:00:00.000,0:00:04.447
I denne video skal vi snakke om[br]forskellige typer af diskontinuiteter,

0:00:04.447,0:00:08.571
som du måske allerede har hørt om før,

0:00:08.571,0:00:11.521
men vi skal se på dem i relation til

0:00:11.521,0:00:14.722
både tosidede grænseværdier og[br]ensidede grænseværdier.

0:00:14.722,0:00:18.532
Lad os først gennemgå[br]typerne af diskontinuiteter.

0:00:18.532,0:00:22.274
Her til venstre er en kurve,

0:00:22.274,0:00:25.362
som ligner y = x²

0:00:25.362,0:00:28.365
indtil vi kommer til x er lig 3.

0:00:28.365,0:00:30.332
I stedet for at være 3²,

0:00:30.332,0:00:32.911
så har vi i dette punkt et hul og

0:00:32.911,0:00:35.893
i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.

0:00:35.893,0:00:39.453
Så fortsætter den og ser[br]igen ud til at være y = x².

0:00:39.453,0:00:45.274
Dette kaldes en hævelig eller[br]punkt diskontinuitet.

0:00:45.274,0:00:47.523
Og det kaldes den af indlysende årsager.

0:00:47.523,0:00:49.603
Du er diskontinuert i et punkt.

0:00:49.603,0:00:53.281
Du kan forestille dig, hvordan funktionen[br]kan definereres i det punkt,

0:00:53.281,0:00:54.607
så den er kontinuert,

0:00:54.607,0:00:56.300
så denne diskontinuitet

0:00:56.300,0:00:57.714
hæves eller fjernes.

0:00:57.714,0:01:01.739
Men hvad har det at gøre[br]med definitionen af kontinuitet?

0:01:01.739,0:01:05.092
Lad os se på definitionen af kontinuitet.

0:01:05.092,0:01:12.051
Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis

0:01:12.051,0:01:14.213
eller lad mig, skrive f er kontinuert,

0:01:14.213,0:01:17.784
når x er lig c, hvis og kun hvis

0:01:17.784,0:01:21.478
grænseværdien, når x nærmer sig c,

0:01:21.478,0:01:28.460
for f(x) er lig med værdien af funktionen,[br]når x er lig c.

0:01:28.460,0:01:30.554
Hvorfor fejler den her?

0:01:30.554,0:01:33.150
Den tosidede grænseværdi eksisterer.

0:01:33.150,0:01:36.988
Hvis vi siger, c er 3,

0:01:36.988,0:01:43.537
så synes grænseværdien,[br]når x nærmer sig 3, for f(x),

0:01:43.537,0:01:51.170
som du kan se grafisk er y = x²,[br]bortset fra denne diskontinuitet,

0:01:51.170,0:01:53.884
at være lig 9.

0:01:53.884,0:01:57.511
Men problemet er, når grafen er[br]tegnet på denne måde,

0:01:57.511,0:02:00.122
så er det ikke det samme[br]som funktionsværdien.

0:02:00.122,0:02:02.997
For denne funktion, så er f(3),

0:02:02.997,0:02:04.695
når den er tegnet således,

0:02:04.695,0:02:07.702
så er f(3) lig 4.

0:02:07.702,0:02:11.172
I dette tilfælde eksisterer[br]den tosidede grænseværdi,

0:02:11.172,0:02:14.316
men den er ikke lig funktionsværdien.

0:02:14.316,0:02:18.074
Du kan have andre tilfælde, hvor[br]funktionen slet ikke er defineret der,

0:02:18.074,0:02:19.835
så den her er der ikke.

0:02:19.835,0:02:22.148
Altså, grænseværdi eksisterer,

0:02:22.148,0:02:24.307
men funktionen er muligvis[br]ikke defineret der.

0:02:24.307,0:02:30.165
Uanset, så opfylder du ikke dette[br]kriterie for kontinuitet.

0:02:30.165,0:02:36.033
Derfor vil en hævelig diskontinuitet[br]give en diskontinuert funktion,

0:02:36.033,0:02:40.474
når vi bruger grænseværdi[br]som en definitionen af kontinuitet.

0:02:40.474,0:02:43.049
Lad os se på dette andet eksempel.

0:02:43.049,0:02:48.478
Hvis vi tester for kontinuitet[br]ved blot at følge kurven,

0:02:48.478,0:02:54.897
så skal vi, ved x er lig 2, løfte[br]blyanten for at fortsætte.

0:02:54.897,0:02:57.962
Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.

0:02:57.962,0:03:00.441
Det ser vi også herover.

0:03:00.441,0:03:03.064
Hvis jeg følger denne kuve,[br]så skal jeg løfte min blyant

0:03:03.064,0:03:04.518
for at komme til dette punkt.

0:03:04.518,0:03:07.681
Jeg skal hoppe herned og[br]så fortsætte heroppe.

0:03:07.681,0:03:09.677
I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

0:03:09.677,0:03:12.170
så vi kan fornemme, den er diskontinuert.

0:03:12.170,0:03:14.703
For denne type af diskontiuitet,

0:03:14.703,0:03:19.414
hvor jeg laver et spring fra et[br]punkt og fortsætter derfra,

0:03:19.414,0:03:27.358
så kaldes det helt logisk for[br]en spring diskontinuitet.

0:03:27.358,0:03:31.115
Dette var en hævelig diskontinuitet.

0:03:31.115,0:03:33.645
Hvordan relaterer den her [br]til grænseværdier?

0:03:33.645,0:03:37.655
Her eksisterer den venstre-[br]og højresidet grænseværdi,

0:03:37.655,0:03:39.193
men de er ikke det samme,

0:03:39.193,0:03:41.745
så du har ikke en tosidet grænseværdi.

0:03:41.745,0:03:44.236
For eksempel med denne graf

0:03:44.236,0:03:48.425
for alle x-værdier til og med x lig 2,

0:03:48.425,0:03:50.887
der er det grafen for y = x².

0:03:50.887,0:03:52.970
Og for x større end 2,

0:03:52.970,0:03:55.051
der er det grafen for √2.

0:03:55.051,0:04:01.207
Når du i dette tilfælde finder[br]grænseværdien for f(x),

0:04:01.207,0:04:09.332
når x nærmer sig 2 fra venstre,

0:04:09.332,0:04:12.129
så er den lig 4,[br]da du nærmer dig denne værdi.

0:04:12.129,0:04:14.433
Og det er faktisk funktionsværdien.

0:04:14.433,0:04:16.712
Men når du finder grænseværdien,

0:04:16.712,0:04:20.807
når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),

0:04:20.807,0:04:22.727
hvad er den så lig?

0:04:22.727,0:04:24.070
Når vi nærmer os fra højre,

0:04:24.070,0:04:25.534
så der den √x

0:04:25.534,0:04:27.538
så den nærmer sig √2.

0:04:27.538,0:04:30.555
Du kan ikke se, det er √2[br]ved blot at se på den.

0:04:30.555,0:04:31.700
Jeg ved det er √x,

0:04:31.700,0:04:36.031
fordi det er den funktion, jeg definerede[br]på Desmos, da jeg lavede grafen.

0:04:36.031,0:04:37.720
Men visuelt er det tydeligt,

0:04:37.720,0:04:39.780
at du nærmer dig to forskellige værdier,

0:04:39.780,0:04:42.636
når du nærmer dig fra venstre[br]og når du nærmer dig fra højre.

0:04:42.636,0:04:46.368
Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer,[br]så nærmer de sig ikke det samme,

0:04:46.368,0:04:49.751
så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke

0:04:49.751,0:04:52.484
og kan derfor ikke være[br]lig funktionsværdien,

0:04:52.484,0:04:54.452
selv hvis funktionen er defineret.

0:04:54.452,0:04:58.614
Det er derfor en spring diskontinuitet[br]dumper i dette kriterie.

0:04:58.614,0:04:59.885
Det er igen ret intuitivt.

0:04:59.885,0:05:01.359
Du kan se, at jeg skal springe.

0:05:01.359,0:05:02.597
Jeg skal løfte min blyant.

0:05:02.597,0:05:05.811
Disse to kurver er ikke[br]forbundet med hinanden.

0:05:05.811,0:05:10.859
Til sidst kan du se det, der hedder en

0:05:10.859,0:05:23.711
uendelige eller asymptote diskontinuitet.

0:05:23.711,0:05:26.676
Du kan her se en asymptote.

0:05:26.676,0:05:30.267
Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

0:05:30.267,0:05:34.196
Hvis jeg forsøger at følge[br]grafen fra venstre,

0:05:34.196,0:05:38.683
så vil jeg blot fortsætte nedad uendeligt,

0:05:38.683,0:05:43.424
da den er den er ubegrænset,

0:05:43.424,0:05:46.234
når jeg kommer tættere og[br]tættere på x er lig 2 fra venstre.

0:05:46.234,0:05:48.905
Hvis jeg forsøger at komme[br]til x er lig 2 fra højre,

0:05:48.905,0:05:50.962
så vil jeg forsætte ubegrænset opad.

0:05:50.962,0:05:52.757
Når jeg siger ubegrænset,

0:05:52.757,0:05:55.067
så går den mod uendelig,

0:05:55.067,0:05:57.694
så det er jo faktisk umuligt for et

0:05:57.694,0:06:02.201
almindeligt dødeligt menneske[br]at følge den hele vejen.

0:06:02.201,0:06:08.439
Men du se, at jeg ikke kan tegne den[br]herfra og dertil uden at løfte min blyant.

0:06:08.439,0:06:12.289
Du kan relatere det til grænseværdier

0:06:12.289,0:06:16.930
ved at sige at både venstre- og[br]højresidet grænseværdi er ubegrænset,

0:06:16.930,0:06:18.238
så de eksisterer ikke.

0:06:18.238,0:06:21.326
Hvis de ikke eksisterer, så kan[br]vi ikke opfylde disse betingelser.

0:06:21.326,0:06:27.059
Vi kan sige, at grænseværdien,[br]når x nærmer sig 2 fra venstre side,

0:06:27.059,0:06:30.842
for f(x) er ubegrænset[br]i den negative retning.

0:06:30.842,0:06:34.500
Du kan nogle gange se det[br]skrevet som minus uendelig,

0:06:34.500,0:06:36.760
men så er man lidt løs med matematikken.

0:06:36.760,0:06:42.437
Det er mere korrekt,[br]at sige den er ubegrænset.

0:06:42.437,0:06:44.750
På samme måde kan vi sige,[br]at grænseværdien,

0:06:44.750,0:06:57.618
når x nærmer sig 2 fra højre,[br]for f(x) er ubegrænset mod plus uendelig.

0:06:57.618,0:06:59.306
Da den er ubegrænset,

0:06:59.306,0:07:02.835
så eksisterer denne grænseværdi ikke[br]og kan ikke opfylde disse betingelser.

0:07:02.835,0:07:04.846
Den er diskontinuert.

0:07:04.846,0:07:07.696
Dette er en hævelig diskontinuitet.

0:07:07.696,0:07:09.931
En spring diskontinuitet, jeg springer.

0:07:09.931,0:07:12.217
Og her har vi en lodret asymptote,

0:07:12.217,0:07:15.045
så det er en uendelig diskontinuitet.