[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:04.45,Default,,0000,0000,0000,,I denne video skal vi snakke om\Nforskellige typer af diskontinuiteter,
Dialogue: 0,0:00:04.45,0:00:08.57,Default,,0000,0000,0000,,som du måske allerede har hørt om før,
Dialogue: 0,0:00:08.57,0:00:11.52,Default,,0000,0000,0000,,men vi skal se på dem i relation til
Dialogue: 0,0:00:11.52,0:00:14.72,Default,,0000,0000,0000,,både tosidede grænseværdier og\Nensidede grænseværdier.
Dialogue: 0,0:00:14.72,0:00:18.53,Default,,0000,0000,0000,,Lad os først gennemgå\Ntyperne af diskontinuiteter.
Dialogue: 0,0:00:18.53,0:00:22.27,Default,,0000,0000,0000,,Her til venstre er en kurve,
Dialogue: 0,0:00:22.27,0:00:25.36,Default,,0000,0000,0000,,som ligner y = x²
Dialogue: 0,0:00:25.36,0:00:28.36,Default,,0000,0000,0000,,indtil vi kommer til x er lig 3.
Dialogue: 0,0:00:28.36,0:00:30.33,Default,,0000,0000,0000,,I stedet for at være 3²,
Dialogue: 0,0:00:30.33,0:00:32.91,Default,,0000,0000,0000,,så har vi i dette punkt et hul og
Dialogue: 0,0:00:32.91,0:00:35.89,Default,,0000,0000,0000,,i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.
Dialogue: 0,0:00:35.89,0:00:39.45,Default,,0000,0000,0000,,Så fortsætter den og ser\Nigen ud til at være y = x².
Dialogue: 0,0:00:39.45,0:00:45.27,Default,,0000,0000,0000,,Dette kaldes en hævelig eller\Npunkt diskontinuitet.
Dialogue: 0,0:00:45.27,0:00:47.52,Default,,0000,0000,0000,,Og det kaldes den af indlysende årsager.
Dialogue: 0,0:00:47.52,0:00:49.60,Default,,0000,0000,0000,,Du er diskontinuert i et punkt.
Dialogue: 0,0:00:49.60,0:00:53.28,Default,,0000,0000,0000,,Du kan forestille dig, hvordan funktionen\Nkan definereres i det punkt,
Dialogue: 0,0:00:53.28,0:00:54.61,Default,,0000,0000,0000,,så den er kontinuert,
Dialogue: 0,0:00:54.61,0:00:56.30,Default,,0000,0000,0000,,så denne diskontinuitet
Dialogue: 0,0:00:56.30,0:00:57.71,Default,,0000,0000,0000,,hæves eller fjernes.
Dialogue: 0,0:00:57.71,0:01:01.74,Default,,0000,0000,0000,,Men hvad har det at gøre\Nmed definitionen af kontinuitet?
Dialogue: 0,0:01:01.74,0:01:05.09,Default,,0000,0000,0000,,Lad os se på definitionen af kontinuitet.
Dialogue: 0,0:01:05.09,0:01:12.05,Default,,0000,0000,0000,,Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis
Dialogue: 0,0:01:12.05,0:01:14.21,Default,,0000,0000,0000,,eller lad mig, skrive f er kontinuert,
Dialogue: 0,0:01:14.21,0:01:17.78,Default,,0000,0000,0000,,når x er lig c, hvis og kun hvis
Dialogue: 0,0:01:17.78,0:01:21.48,Default,,0000,0000,0000,,grænseværdien, når x nærmer sig c,
Dialogue: 0,0:01:21.48,0:01:28.46,Default,,0000,0000,0000,,for f(x) er lig med værdien af funktionen,\Nnår x er lig c.
Dialogue: 0,0:01:28.46,0:01:30.55,Default,,0000,0000,0000,,Hvorfor fejler den her?
Dialogue: 0,0:01:30.55,0:01:33.15,Default,,0000,0000,0000,,Den tosidede grænseværdi eksisterer.
Dialogue: 0,0:01:33.15,0:01:36.99,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi siger, c er 3,
Dialogue: 0,0:01:36.99,0:01:43.54,Default,,0000,0000,0000,,så synes grænseværdien,\Nnår x nærmer sig 3, for f(x),
Dialogue: 0,0:01:43.54,0:01:51.17,Default,,0000,0000,0000,,som du kan se grafisk er y = x²,\Nbortset fra denne diskontinuitet,
Dialogue: 0,0:01:51.17,0:01:53.88,Default,,0000,0000,0000,,at være lig 9.
Dialogue: 0,0:01:53.88,0:01:57.51,Default,,0000,0000,0000,,Men problemet er, når grafen er\Ntegnet på denne måde,
Dialogue: 0,0:01:57.51,0:02:00.12,Default,,0000,0000,0000,,så er det ikke det samme\Nsom funktionsværdien.
Dialogue: 0,0:02:00.12,0:02:02.100,Default,,0000,0000,0000,,For denne funktion, så er f(3),
Dialogue: 0,0:02:02.100,0:02:04.70,Default,,0000,0000,0000,,når den er tegnet således,
Dialogue: 0,0:02:04.70,0:02:07.70,Default,,0000,0000,0000,,så er f(3) lig 4.
Dialogue: 0,0:02:07.70,0:02:11.17,Default,,0000,0000,0000,,I dette tilfælde eksisterer\Nden tosidede grænseværdi,
Dialogue: 0,0:02:11.17,0:02:14.32,Default,,0000,0000,0000,,men den er ikke lig funktionsværdien.
Dialogue: 0,0:02:14.32,0:02:18.07,Default,,0000,0000,0000,,Du kan have andre tilfælde, hvor\Nfunktionen slet ikke er defineret der,
Dialogue: 0,0:02:18.07,0:02:19.84,Default,,0000,0000,0000,,så den her er der ikke.
Dialogue: 0,0:02:19.84,0:02:22.15,Default,,0000,0000,0000,,Altså, grænseværdi eksisterer,
Dialogue: 0,0:02:22.15,0:02:24.31,Default,,0000,0000,0000,,men funktionen er muligvis\Nikke defineret der.
Dialogue: 0,0:02:24.31,0:02:30.16,Default,,0000,0000,0000,,Uanset, så opfylder du ikke dette\Nkriterie for kontinuitet.
Dialogue: 0,0:02:30.16,0:02:36.03,Default,,0000,0000,0000,,Derfor vil en hævelig diskontinuitet\Ngive en diskontinuert funktion,
Dialogue: 0,0:02:36.03,0:02:40.47,Default,,0000,0000,0000,,når vi bruger grænseværdi\Nsom en definitionen af kontinuitet.
Dialogue: 0,0:02:40.47,0:02:43.05,Default,,0000,0000,0000,,Lad os se på dette andet eksempel.
Dialogue: 0,0:02:43.05,0:02:48.48,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi tester for kontinuitet\Nved blot at følge kurven,
Dialogue: 0,0:02:48.48,0:02:54.90,Default,,0000,0000,0000,,så skal vi, ved x er lig 2, løfte\Nblyanten for at fortsætte.
Dialogue: 0,0:02:54.90,0:02:57.96,Default,,0000,0000,0000,,Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.
Dialogue: 0,0:02:57.96,0:03:00.44,Default,,0000,0000,0000,,Det ser vi også herover.
Dialogue: 0,0:03:00.44,0:03:03.06,Default,,0000,0000,0000,,Hvis jeg følger denne kuve,\Nså skal jeg løfte min blyant
Dialogue: 0,0:03:03.06,0:03:04.52,Default,,0000,0000,0000,,for at komme til dette punkt.
Dialogue: 0,0:03:04.52,0:03:07.68,Default,,0000,0000,0000,,Jeg skal hoppe herned og\Nså fortsætte heroppe.
Dialogue: 0,0:03:07.68,0:03:09.68,Default,,0000,0000,0000,,I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant
Dialogue: 0,0:03:09.68,0:03:12.17,Default,,0000,0000,0000,,så vi kan fornemme, den er diskontinuert.
Dialogue: 0,0:03:12.17,0:03:14.70,Default,,0000,0000,0000,,For denne type af diskontiuitet,
Dialogue: 0,0:03:14.70,0:03:19.41,Default,,0000,0000,0000,,hvor jeg laver et spring fra et\Npunkt og fortsætter derfra,
Dialogue: 0,0:03:19.41,0:03:27.36,Default,,0000,0000,0000,,så kaldes det helt logisk for\Nen spring diskontinuitet.
Dialogue: 0,0:03:27.36,0:03:31.12,Default,,0000,0000,0000,,Dette var en hævelig diskontinuitet.
Dialogue: 0,0:03:31.12,0:03:33.64,Default,,0000,0000,0000,,Hvordan relaterer den her \Ntil grænseværdier?
Dialogue: 0,0:03:33.64,0:03:37.66,Default,,0000,0000,0000,,Her eksisterer den venstre-\Nog højresidet grænseværdi,
Dialogue: 0,0:03:37.66,0:03:39.19,Default,,0000,0000,0000,,men de er ikke det samme,
Dialogue: 0,0:03:39.19,0:03:41.74,Default,,0000,0000,0000,,så du har ikke en tosidet grænseværdi.
Dialogue: 0,0:03:41.74,0:03:44.24,Default,,0000,0000,0000,,For eksempel med denne graf
Dialogue: 0,0:03:44.24,0:03:48.42,Default,,0000,0000,0000,,for alle x-værdier til og med x lig 2,
Dialogue: 0,0:03:48.42,0:03:50.89,Default,,0000,0000,0000,,der er det grafen for y = x².
Dialogue: 0,0:03:50.89,0:03:52.97,Default,,0000,0000,0000,,Og for x større end 2,
Dialogue: 0,0:03:52.97,0:03:55.05,Default,,0000,0000,0000,,der er det grafen for √2.
Dialogue: 0,0:03:55.05,0:04:01.21,Default,,0000,0000,0000,,Når du i dette tilfælde finder\Ngrænseværdien for f(x),
Dialogue: 0,0:04:01.21,0:04:09.33,Default,,0000,0000,0000,,når x nærmer sig 2 fra venstre,
Dialogue: 0,0:04:09.33,0:04:12.13,Default,,0000,0000,0000,,så er den lig 4,\Nda du nærmer dig denne værdi.
Dialogue: 0,0:04:12.13,0:04:14.43,Default,,0000,0000,0000,,Og det er faktisk funktionsværdien.
Dialogue: 0,0:04:14.43,0:04:16.71,Default,,0000,0000,0000,,Men når du finder grænseværdien,
Dialogue: 0,0:04:16.71,0:04:20.81,Default,,0000,0000,0000,,når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),
Dialogue: 0,0:04:20.81,0:04:22.73,Default,,0000,0000,0000,,hvad er den så lig?
Dialogue: 0,0:04:22.73,0:04:24.07,Default,,0000,0000,0000,,Når vi nærmer os fra højre,
Dialogue: 0,0:04:24.07,0:04:25.53,Default,,0000,0000,0000,,så der den √x
Dialogue: 0,0:04:25.53,0:04:27.54,Default,,0000,0000,0000,,så den nærmer sig √2.
Dialogue: 0,0:04:27.54,0:04:30.56,Default,,0000,0000,0000,,Du kan ikke se, det er √2\Nved blot at se på den.
Dialogue: 0,0:04:30.56,0:04:31.70,Default,,0000,0000,0000,,Jeg ved det er √x,
Dialogue: 0,0:04:31.70,0:04:36.03,Default,,0000,0000,0000,,fordi det er den funktion, jeg definerede\Npå Desmos, da jeg lavede grafen.
Dialogue: 0,0:04:36.03,0:04:37.72,Default,,0000,0000,0000,,Men visuelt er det tydeligt,
Dialogue: 0,0:04:37.72,0:04:39.78,Default,,0000,0000,0000,,at du nærmer dig to forskellige værdier,
Dialogue: 0,0:04:39.78,0:04:42.64,Default,,0000,0000,0000,,når du nærmer dig fra venstre\Nog når du nærmer dig fra højre.
Dialogue: 0,0:04:42.64,0:04:46.37,Default,,0000,0000,0000,,Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer,\Nså nærmer de sig ikke det samme,
Dialogue: 0,0:04:46.37,0:04:49.75,Default,,0000,0000,0000,,så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke
Dialogue: 0,0:04:49.75,0:04:52.48,Default,,0000,0000,0000,,og kan derfor ikke være\Nlig funktionsværdien,
Dialogue: 0,0:04:52.48,0:04:54.45,Default,,0000,0000,0000,,selv hvis funktionen er defineret.
Dialogue: 0,0:04:54.45,0:04:58.61,Default,,0000,0000,0000,,Det er derfor en spring diskontinuitet\Ndumper i dette kriterie.
Dialogue: 0,0:04:58.61,0:04:59.88,Default,,0000,0000,0000,,Det er igen ret intuitivt.
Dialogue: 0,0:04:59.88,0:05:01.36,Default,,0000,0000,0000,,Du kan se, at jeg skal springe.
Dialogue: 0,0:05:01.36,0:05:02.60,Default,,0000,0000,0000,,Jeg skal løfte min blyant.
Dialogue: 0,0:05:02.60,0:05:05.81,Default,,0000,0000,0000,,Disse to kurver er ikke\Nforbundet med hinanden.
Dialogue: 0,0:05:05.81,0:05:10.86,Default,,0000,0000,0000,,Til sidst kan du se det, der hedder en
Dialogue: 0,0:05:10.86,0:05:23.71,Default,,0000,0000,0000,,uendelige eller asymptote diskontinuitet.
Dialogue: 0,0:05:23.71,0:05:26.68,Default,,0000,0000,0000,,Du kan her se en asymptote.
Dialogue: 0,0:05:26.68,0:05:30.27,Default,,0000,0000,0000,,Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.
Dialogue: 0,0:05:30.27,0:05:34.20,Default,,0000,0000,0000,,Hvis jeg forsøger at følge\Ngrafen fra venstre,
Dialogue: 0,0:05:34.20,0:05:38.68,Default,,0000,0000,0000,,så vil jeg blot fortsætte nedad uendeligt,
Dialogue: 0,0:05:38.68,0:05:43.42,Default,,0000,0000,0000,,da den er den er ubegrænset,
Dialogue: 0,0:05:43.42,0:05:46.23,Default,,0000,0000,0000,,når jeg kommer tættere og\Ntættere på x er lig 2 fra venstre.
Dialogue: 0,0:05:46.23,0:05:48.90,Default,,0000,0000,0000,,Hvis jeg forsøger at komme\Ntil x er lig 2 fra højre,
Dialogue: 0,0:05:48.90,0:05:50.96,Default,,0000,0000,0000,,så vil jeg forsætte ubegrænset opad.
Dialogue: 0,0:05:50.96,0:05:52.76,Default,,0000,0000,0000,,Når jeg siger ubegrænset,
Dialogue: 0,0:05:52.76,0:05:55.07,Default,,0000,0000,0000,,så går den mod uendelig,
Dialogue: 0,0:05:55.07,0:05:57.69,Default,,0000,0000,0000,,så det er jo faktisk umuligt for et
Dialogue: 0,0:05:57.69,0:06:02.20,Default,,0000,0000,0000,,almindeligt dødeligt menneske\Nat følge den hele vejen.
Dialogue: 0,0:06:02.20,0:06:08.44,Default,,0000,0000,0000,,Men du se, at jeg ikke kan tegne den\Nherfra og dertil uden at løfte min blyant.
Dialogue: 0,0:06:08.44,0:06:12.29,Default,,0000,0000,0000,,Du kan relatere det til grænseværdier
Dialogue: 0,0:06:12.29,0:06:16.93,Default,,0000,0000,0000,,ved at sige at både venstre- og\Nhøjresidet grænseværdi er ubegrænset,
Dialogue: 0,0:06:16.93,0:06:18.24,Default,,0000,0000,0000,,så de eksisterer ikke.
Dialogue: 0,0:06:18.24,0:06:21.33,Default,,0000,0000,0000,,Hvis de ikke eksisterer, så kan\Nvi ikke opfylde disse betingelser.
Dialogue: 0,0:06:21.33,0:06:27.06,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan sige, at grænseværdien,\Nnår x nærmer sig 2 fra venstre side,
Dialogue: 0,0:06:27.06,0:06:30.84,Default,,0000,0000,0000,,for f(x) er ubegrænset\Ni den negative retning.
Dialogue: 0,0:06:30.84,0:06:34.50,Default,,0000,0000,0000,,Du kan nogle gange se det\Nskrevet som minus uendelig,
Dialogue: 0,0:06:34.50,0:06:36.76,Default,,0000,0000,0000,,men så er man lidt løs med matematikken.
Dialogue: 0,0:06:36.76,0:06:42.44,Default,,0000,0000,0000,,Det er mere korrekt,\Nat sige den er ubegrænset.
Dialogue: 0,0:06:42.44,0:06:44.75,Default,,0000,0000,0000,,På samme måde kan vi sige,\Nat grænseværdien,
Dialogue: 0,0:06:44.75,0:06:57.62,Default,,0000,0000,0000,,når x nærmer sig 2 fra højre,\Nfor f(x) er ubegrænset mod plus uendelig.
Dialogue: 0,0:06:57.62,0:06:59.31,Default,,0000,0000,0000,,Da den er ubegrænset,
Dialogue: 0,0:06:59.31,0:07:02.84,Default,,0000,0000,0000,,så eksisterer denne grænseværdi ikke\Nog kan ikke opfylde disse betingelser.
Dialogue: 0,0:07:02.84,0:07:04.85,Default,,0000,0000,0000,,Den er diskontinuert.
Dialogue: 0,0:07:04.85,0:07:07.70,Default,,0000,0000,0000,,Dette er en hævelig diskontinuitet.
Dialogue: 0,0:07:07.70,0:07:09.93,Default,,0000,0000,0000,,En spring diskontinuitet, jeg springer.
Dialogue: 0,0:07:09.93,0:07:12.22,Default,,0000,0000,0000,,Og her har vi en lodret asymptote,
Dialogue: 0,0:07:12.22,0:07:15.04,Default,,0000,0000,0000,,så det er en uendelig diskontinuitet.