WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.447
I denne video skal vi snakke om
forskellige typer af diskontinuiteter,

00:00:04.447 --> 00:00:08.571
som du måske allerede har hørt om før,

00:00:08.571 --> 00:00:11.521
men vi skal se på dem i relation til

00:00:11.521 --> 00:00:14.722
både tosidede grænseværdier og
ensidede grænseværdier.

00:00:14.722 --> 00:00:18.532
Lad os først gennemgå
typerne af diskontinuiteter.

00:00:18.532 --> 00:00:22.274
Her til venstre er en kurve,

00:00:22.274 --> 00:00:25.362
som ligner y = x²

00:00:25.362 --> 00:00:28.365
indtil vi kommer til x er lig 3.

00:00:28.365 --> 00:00:30.332
I stedet for at være 3²,

00:00:30.332 --> 00:00:32.911
så har vi i dette punkt et hul og

00:00:32.911 --> 00:00:35.893
i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.

00:00:35.893 --> 00:00:39.453
Så fortsætter den og ser
igen ud til at være y = x².

00:00:39.453 --> 00:00:45.274
Dette kaldes en hævelig eller
punkt diskontinuitet.

00:00:45.274 --> 00:00:47.523
Og det kaldes den af indlysende årsager.

00:00:47.523 --> 00:00:49.603
Du er diskontinuert i et punkt.

00:00:49.603 --> 00:00:53.281
Du kan forestille dig, hvordan funktionen
kan definereres i det punkt,

00:00:53.281 --> 00:00:54.607
så den er kontinuert,

00:00:54.607 --> 00:00:56.300
så denne diskontinuitet

00:00:56.300 --> 00:00:57.714
hæves eller fjernes.

00:00:57.714 --> 00:01:01.739
Men hvad har det at gøre
med definitionen af kontinuitet?

00:01:01.739 --> 00:01:05.092
Lad os se på definitionen af kontinuitet.

00:01:05.092 --> 00:01:12.051
Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis

00:01:12.051 --> 00:01:14.213
eller lad mig, skrive f er kontinuert,

00:01:14.213 --> 00:01:17.784
når x er lig c, hvis og kun hvis

00:01:17.784 --> 00:01:21.478
grænseværdien, når x nærmer sig c,

00:01:21.478 --> 00:01:28.460
for f(x) er lig med værdien af funktionen,
når x er lig c.

00:01:28.460 --> 00:01:30.554
Hvorfor fejler den her?

00:01:30.554 --> 00:01:33.150
Den tosidede grænseværdi eksisterer.

00:01:33.150 --> 00:01:36.988
Hvis vi siger, c er 3,

00:01:36.988 --> 00:01:43.537
så synes grænseværdien,
når x nærmer sig 3, for f(x),

00:01:43.537 --> 00:01:51.170
som du kan se grafisk er y = x²,
bortset fra denne diskontinuitet,

00:01:51.170 --> 00:01:53.884
at være lig 9.

00:01:53.884 --> 00:01:57.511
Men problemet er, når grafen er
tegnet på denne måde,

00:01:57.511 --> 00:02:00.122
så er det ikke det samme
som funktionsværdien.

00:02:00.122 --> 00:02:02.997
For denne funktion, så er f(3),

00:02:02.997 --> 00:02:04.695
når den er tegnet således,

00:02:04.695 --> 00:02:07.702
så er f(3) lig 4.

00:02:07.702 --> 00:02:11.172
I dette tilfælde eksisterer
den tosidede grænseværdi,

00:02:11.172 --> 00:02:14.316
men den er ikke lig funktionsværdien.

00:02:14.316 --> 00:02:18.074
Du kan have andre tilfælde, hvor
funktionen slet ikke er defineret der,

00:02:18.074 --> 00:02:19.835
så den her er der ikke.

00:02:19.835 --> 00:02:22.148
Altså, grænseværdi eksisterer,

00:02:22.148 --> 00:02:24.307
men funktionen er muligvis
ikke defineret der.

00:02:24.307 --> 00:02:30.165
Uanset, så opfylder du ikke dette
kriterie for kontinuitet.

00:02:30.165 --> 00:02:36.033
Derfor vil en hævelig diskontinuitet
give en diskontinuert funktion,

00:02:36.033 --> 00:02:40.474
når vi bruger grænseværdi
som en definitionen af kontinuitet.

00:02:40.474 --> 00:02:43.049
Lad os se på dette andet eksempel.

00:02:43.049 --> 00:02:48.478
Hvis vi tester for kontinuitet
ved blot at følge kurven,

00:02:48.478 --> 00:02:54.897
så skal vi, ved x er lig 2, løfte
blyanten for at fortsætte.

00:02:54.897 --> 00:02:57.962
Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.

00:02:57.962 --> 00:03:00.441
Det ser vi også herover.

00:03:00.441 --> 00:03:03.064
Hvis jeg følger denne kuve,
så skal jeg løfte min blyant

00:03:03.064 --> 00:03:04.518
for at komme til dette punkt.

00:03:04.518 --> 00:03:07.681
Jeg skal hoppe herned og
så fortsætte heroppe.

00:03:07.681 --> 00:03:09.677
I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

00:03:09.677 --> 00:03:12.170
så vi kan fornemme, den er diskontinuert.

00:03:12.170 --> 00:03:14.703
For denne type af diskontiuitet,

00:03:14.703 --> 00:03:19.414
hvor jeg laver et spring fra et
punkt og fortsætter derfra,

00:03:19.414 --> 00:03:27.358
så kaldes det helt logisk for
en spring diskontinuitet.

00:03:27.358 --> 00:03:31.115
Dette var en hævelig diskontinuitet.

00:03:31.115 --> 00:03:33.645
Hvordan relaterer den her 
til grænseværdier?

00:03:33.645 --> 00:03:37.655
Her eksisterer den venstre-
og højresidet grænseværdi,

00:03:37.655 --> 00:03:39.193
men de er ikke det samme,

00:03:39.193 --> 00:03:41.745
så du har ikke en tosidet grænseværdi.

00:03:41.745 --> 00:03:44.236
For eksempel med denne graf

00:03:44.236 --> 00:03:48.425
for alle x-værdier til og med x lig 2,

00:03:48.425 --> 00:03:50.887
der er det grafen for y = x².

00:03:50.887 --> 00:03:52.970
Og for x større end 2,

00:03:52.970 --> 00:03:55.051
der er det grafen for √2.

00:03:55.051 --> 00:04:01.207
Når du i dette tilfælde finder
grænseværdien for f(x),

00:04:01.207 --> 00:04:09.332
når x nærmer sig 2 fra venstre,

00:04:09.332 --> 00:04:12.129
så er den lig 4,
da du nærmer dig denne værdi.

00:04:12.129 --> 00:04:14.433
Og det er faktisk funktionsværdien.

00:04:14.433 --> 00:04:16.712
Men når du finder grænseværdien,

00:04:16.712 --> 00:04:20.807
når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),

00:04:20.807 --> 00:04:22.727
hvad er den så lig?

00:04:22.727 --> 00:04:24.070
Når vi nærmer os fra højre,

00:04:24.070 --> 00:04:25.534
så der den √x

00:04:25.534 --> 00:04:27.538
så den nærmer sig √2.

00:04:27.538 --> 00:04:30.555
Du kan ikke se, det er √2
ved blot at se på den.

00:04:30.555 --> 00:04:31.700
Jeg ved det er √x,

00:04:31.700 --> 00:04:36.031
fordi det er den funktion, jeg definerede
på Desmos, da jeg lavede grafen.

00:04:36.031 --> 00:04:37.720
Men visuelt er det tydeligt,

00:04:37.720 --> 00:04:39.780
at du nærmer dig to forskellige værdier,

00:04:39.780 --> 00:04:42.636
når du nærmer dig fra venstre
og når du nærmer dig fra højre.

00:04:42.636 --> 00:04:46.368
Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer,
så nærmer de sig ikke det samme,

00:04:46.368 --> 00:04:49.751
så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke

00:04:49.751 --> 00:04:52.484
og kan derfor ikke være
lig funktionsværdien,

00:04:52.484 --> 00:04:54.452
selv hvis funktionen er defineret.

00:04:54.452 --> 00:04:58.614
Det er derfor en spring diskontinuitet
dumper i dette kriterie.

00:04:58.614 --> 00:04:59.885
Det er igen ret intuitivt.

00:04:59.885 --> 00:05:01.359
Du kan se, at jeg skal springe.

00:05:01.359 --> 00:05:02.597
Jeg skal løfte min blyant.

00:05:02.597 --> 00:05:05.811
Disse to kurver er ikke
forbundet med hinanden.

00:05:05.811 --> 00:05:10.859
Til sidst kan du se det, der hedder en

00:05:10.859 --> 00:05:23.711
uendelige eller asymptote diskontinuitet.

00:05:23.711 --> 00:05:26.676
Du kan her se en asymptote.

00:05:26.676 --> 00:05:30.267
Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

00:05:30.267 --> 00:05:34.196
Hvis jeg forsøger at følge
grafen fra venstre,

00:05:34.196 --> 00:05:38.683
så vil jeg blot fortsætte nedad uendeligt,

00:05:38.683 --> 00:05:43.424
da den er den er ubegrænset,

NOTE Paragraph

00:05:43.424 --> 00:05:46.234
når jeg kommer tættere og
tættere på x er lig 2 fra venstre.

00:05:46.234 --> 00:05:48.905
Hvis jeg forsøger at komme
til x er lig 2 fra højre,

00:05:48.905 --> 00:05:50.962
så vil jeg forsætte ubegrænset opad.

00:05:50.962 --> 00:05:52.757
Når jeg siger ubegrænset,

00:05:52.757 --> 00:05:55.067
så går den mod uendelig,

00:05:55.067 --> 00:05:57.694
så det er jo faktisk umuligt for et

00:05:57.694 --> 00:06:02.201
almindeligt dødeligt menneske
at følge den hele vejen.

00:06:02.201 --> 00:06:08.439
Men du se, at jeg ikke kan tegne den
herfra og dertil uden at løfte min blyant.

00:06:08.439 --> 00:06:12.289
Du kan relatere det til grænseværdier

00:06:12.289 --> 00:06:16.930
ved at sige at både venstre- og
højresidet grænseværdi er ubegrænset,

00:06:16.930 --> 00:06:18.238
så de eksisterer ikke.

00:06:18.238 --> 00:06:21.326
Hvis de ikke eksisterer, så kan
vi ikke opfylde disse betingelser.

00:06:21.326 --> 00:06:27.059
Vi kan sige, at grænseværdien,
når x nærmer sig 2 fra venstre side,

00:06:27.059 --> 00:06:30.842
for f(x) er ubegrænset
i den negative retning.

00:06:30.842 --> 00:06:34.500
Du kan nogle gange se det
skrevet som minus uendelig,

00:06:34.500 --> 00:06:36.760
men så er man lidt løs med matematikken.

00:06:36.760 --> 00:06:42.437
Det er mere korrekt,
at sige den er ubegrænset.

00:06:42.437 --> 00:06:44.750
På samme måde kan vi sige,
at grænseværdien,

00:06:44.750 --> 00:06:57.618
når x nærmer sig 2 fra højre,
for f(x) er ubegrænset mod plus uendelig.

00:06:57.618 --> 00:06:59.306
Da den er ubegrænset,

00:06:59.306 --> 00:07:02.835
så eksisterer denne grænseværdi ikke
og kan ikke opfylde disse betingelser.

00:07:02.835 --> 00:07:04.846
Den er diskontinuert.

00:07:04.846 --> 00:07:07.696
Dette er en hævelig diskontinuitet.

00:07:07.696 --> 00:07:09.931
En spring diskontinuitet, jeg springer.

00:07:09.931 --> 00:07:12.217
Og her har vi en lodret asymptote,

00:07:12.217 --> 00:07:15.045
så det er en uendelig diskontinuitet.