I denne video skal vi snakke om forskellige typer af diskontinuiteter,
som du måske allerede har hørt om før,
men vi skal se på dem i relation til
både tosidede grænseværdier og ensidede grænseværdier.
Lad os først gennemgå typerne af diskontinuiteter.
Her til venstre er en kurve,
som ligner y = x²
indtil vi kommer til x er lig 3.
I stedet for at være 3²,
så har vi i dette punkt et hul og
i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.
Så fortsætter den og ser igen ud til at være y = x².
Dette kaldes en hævelig eller punkt diskontinuitet.
Og det kaldes den af indlysende årsager.
Den er diskontinuert i et punkt.
Du kan forestille dig, hvordan funktionen kan defineres i det punkt,
så den er kontinuert,
så denne diskontinuitet
hæves eller fjernes.
Men hvad har det at gøre med definitionen af kontinuitet?
Lad os se på definitionen af kontinuitet.
Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis
eller lad mig, skrive f er kontinuert,
når x er lig c, hvis og kun hvis
grænseværdien, når x nærmer sig c,
for f(x) er lig med værdien af funktionen, når x er lig c.
Hvorfor fejler den her?
Den tosidede grænseværdi eksisterer.
Hvis vi siger, c er 3,
så synes grænseværdien, når x nærmer sig 3, for f(x),
som du kan se grafisk er y = x², bortset fra denne diskontinuitet,
at være lig 9.
Men problemet er, når grafen er tegnet på denne måde,
så er det ikke det samme som funktionsværdien.
For denne funktion, så er f(3),
når den er tegnet således,
så er f(3) lig 4.
I dette tilfælde eksisterer den tosidede grænseværdi,
men den er ikke lig funktionsværdien.
Du kan have andre tilfælde, hvor funktionen slet ikke er defineret der,
så den her er der ikke.
Altså, grænseværdi eksisterer,
men funktionen er muligvis ikke defineret der.
Uanset, så opfylder du ikke dette kriterie for kontinuitet.
Derfor vil en hævelig diskontinuitet give en diskontinuert funktion,
når vi bruger grænseværdi som en definitionen af kontinuitet.
Lad os se på dette andet eksempel.
Hvis vi tester for kontinuitet ved blot at følge kurven,
så skal vi, ved x er lig 2, løfte blyanten for at fortsætte.
Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.
Det ser vi også herover.
Hvis jeg følger denne kurve, så skal jeg løfte min blyant
for at komme til dette punkt.
Jeg skal hoppe herned og så fortsætte heroppe.
I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant
så vi kan fornemme, den er diskontinuert.
For denne type af diskontinuitet,
hvor jeg laver et spring fra et punkt og fortsætter derfra,
så kaldes det helt logisk for en spring diskontinuitet.
Dette var en hævelig diskontinuitet.
Hvordan relaterer den her til grænseværdier?
Her eksisterer den venstre- og højresidede
grænseværdi,
men de er ikke det samme,
så du har ikke en tosidet grænseværdi.
For eksempel med denne graf
for alle x-værdier til og med x lig 2,
der er det grafen for y = x².
Og for x større end 2,
der er det grafen for √2.
Når du i dette tilfælde finder grænseværdien for f(x),
når x nærmer sig 2 fra venstre,
så er den lig 4, da du nærmer dig denne værdi.
Og det er faktisk funktionsværdien.
Men når du finder grænseværdien,
når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),
hvad er den så lig?
Når vi nærmer os fra højre,
så er den √x
så den nærmer sig √2.
Du kan ikke se, det er √2 ved blot at se på den.
Jeg ved det er √x,
fordi det er den funktion, jeg definerede på Desmos, da jeg lavede grafen.
Men visuelt er det tydeligt,
at du nærmer dig to forskellige værdier,
når du nærmer dig fra venstre og når du nærmer dig fra højre.
Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer, så nærmer de sig ikke det samme,
så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke
og kan derfor ikke være lig funktionsværdien,
selv hvis funktionen er defineret.
Det er derfor en spring diskontinuitet dumper i dette kriterie.
Det er igen ret intuitivt.
Du kan se, at jeg skal springe.
Jeg skal løfte min blyant.
Disse to kurver er ikke forbundet med hinanden.
Til sidst kan du se det, der hedder en
uendelig eller asymptote diskontinuitet.
Du kan her se en asymptote.
Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.
Hvis jeg forsøger at følge grafen fra venstre,
så vil jeg blot fortsætte nedad uendeligt,
da den er den er ubegrænset,
når jeg kommer tættere og tættere på x er lig 2 fra venstre.
Hvis jeg forsøger at komme til x er lig 2 fra højre,
så vil jeg forsætte ubegrænset opad.
Når jeg siger ubegrænset,
så går den mod uendelig,
så det er jo faktisk umuligt for et
almindeligt dødeligt menneske at følge den hele vejen.
Men du ser, at jeg ikke kan tegne den herfra og dertil uden at løfte min blyant.
Du kan relatere det til grænseværdier
ved at sige at både venstre- og højresidet grænseværdi er ubegrænset,
så de eksisterer ikke.
Hvis de ikke eksisterer, så kan vi ikke opfylde disse betingelser.
Vi kan sige, at grænseværdien, når x nærmer sig 2 fra venstre side,
for f(x) er ubegrænset i den negative retning.
Du kan nogle gange se det skrevet som minus uendelig,
men så er man lidt løs med matematikken.
Det er mere korrekt, at sige den er ubegrænset.
På samme måde kan vi sige, at grænseværdien,
når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x) er ubegrænset mod plus uendelig.
Da den er ubegrænset,
så eksisterer denne grænseværdi ikke og kan ikke opfylde disse betingelser.
Den er diskontinuert.
Dette er en hævelig diskontinuitet.
En spring diskontinuitet, jeg springer.
Og her har vi en lodret asymptote,
så det er en uendelig diskontinuitet.