1
00:00:00,000 --> 00:00:04,447
I denne video skal vi snakke om
forskellige typer af diskontinuiteter,

2
00:00:04,447 --> 00:00:08,571
som du måske allerede har hørt om før,

3
00:00:08,571 --> 00:00:11,521
men vi skal se på dem i relation til

4
00:00:11,521 --> 00:00:14,722
både tosidede grænseværdier og
ensidede grænseværdier.

5
00:00:14,722 --> 00:00:18,532
Lad os først gennemgå
typerne af diskontinuiteter.

6
00:00:18,532 --> 00:00:22,274
Her til venstre er en kurve,

7
00:00:22,274 --> 00:00:25,362
som ligner y = x²

8
00:00:25,362 --> 00:00:28,365
indtil vi kommer til x er lig 3.

9
00:00:28,365 --> 00:00:30,332
I stedet for at være 3²,

10
00:00:30,332 --> 00:00:32,911
så har vi i dette punkt et hul og

11
00:00:32,911 --> 00:00:35,893
i stedet er funktionen ved 3 lig med 4.

12
00:00:35,893 --> 00:00:39,453
Så fortsætter den og ser
igen ud til at være y = x².

13
00:00:39,453 --> 00:00:45,274
Dette kaldes en hævelig eller
punkt diskontinuitet.

14
00:00:45,274 --> 00:00:47,523
Og det kaldes den af indlysende årsager.

15
00:00:47,523 --> 00:00:49,603
Den er diskontinuert i et punkt.

16
00:00:49,603 --> 00:00:53,281
Du kan forestille dig, hvordan funktionen
kan defineres i det punkt,

17
00:00:53,281 --> 00:00:54,607
så den er kontinuert,

18
00:00:54,607 --> 00:00:56,300
så denne diskontinuitet

19
00:00:56,300 --> 00:00:57,714
hæves eller fjernes.

20
00:00:57,714 --> 00:01:01,739
Men hvad har det at gøre
med definitionen af kontinuitet?

21
00:01:01,739 --> 00:01:05,092
Lad os se på definitionen af kontinuitet.

22
00:01:05,092 --> 00:01:12,051
Vi siger f er kontinuert, hvis og kun hvis

23
00:01:12,051 --> 00:01:14,213
eller lad mig, skrive f er kontinuert,

24
00:01:14,213 --> 00:01:17,784
når x er lig c, hvis og kun hvis

25
00:01:17,784 --> 00:01:21,478
grænseværdien, når x nærmer sig c,

26
00:01:21,478 --> 00:01:28,460
for f(x) er lig med værdien af funktionen,
når x er lig c.

27
00:01:28,460 --> 00:01:30,554
Hvorfor fejler den her?

28
00:01:30,554 --> 00:01:33,150
Den tosidede grænseværdi eksisterer.

29
00:01:33,150 --> 00:01:36,988
Hvis vi siger, c er 3,

30
00:01:36,988 --> 00:01:43,537
så synes grænseværdien,
når x nærmer sig 3, for f(x),

31
00:01:43,537 --> 00:01:51,170
som du kan se grafisk er y = x²,
bortset fra denne diskontinuitet,

32
00:01:51,170 --> 00:01:53,884
at være lig 9.

33
00:01:53,884 --> 00:01:57,511
Men problemet er, når grafen er
tegnet på denne måde,

34
00:01:57,511 --> 00:02:00,122
så er det ikke det samme
som funktionsværdien.

35
00:02:00,122 --> 00:02:02,997
For denne funktion, så er f(3),

36
00:02:02,997 --> 00:02:04,695
når den er tegnet således,

37
00:02:04,695 --> 00:02:07,702
så er f(3) lig 4.

38
00:02:07,702 --> 00:02:11,172
I dette tilfælde eksisterer
den tosidede grænseværdi,

39
00:02:11,172 --> 00:02:14,316
men den er ikke lig funktionsværdien.

40
00:02:14,316 --> 00:02:18,074
Du kan have andre tilfælde, hvor
funktionen slet ikke er defineret der,

41
00:02:18,074 --> 00:02:19,835
så den her er der ikke.

42
00:02:19,835 --> 00:02:22,148
Altså, grænseværdi eksisterer,

43
00:02:22,148 --> 00:02:24,307
men funktionen er muligvis
ikke defineret der.

44
00:02:24,307 --> 00:02:30,165
Uanset, så opfylder du ikke dette
kriterie for kontinuitet.

45
00:02:30,165 --> 00:02:36,033
Derfor vil en hævelig diskontinuitet
give en diskontinuert funktion,

46
00:02:36,033 --> 00:02:40,474
når vi bruger grænseværdi
som en definitionen af kontinuitet.

47
00:02:40,474 --> 00:02:43,049
Lad os se på dette andet eksempel.

48
00:02:43,049 --> 00:02:48,478
Hvis vi tester for kontinuitet
ved blot at følge kurven,

49
00:02:48,478 --> 00:02:54,897
så skal vi, ved x er lig 2, løfte
blyanten for at fortsætte.

50
00:02:54,897 --> 00:02:57,962
Det er et ret godt tegn på diskontinuitet.

51
00:02:57,962 --> 00:03:00,441
Det ser vi også herover.

52
00:03:00,441 --> 00:03:03,064
Hvis jeg følger denne kurve,
så skal jeg løfte min blyant

53
00:03:03,064 --> 00:03:04,518
for at komme til dette punkt.

54
00:03:04,518 --> 00:03:07,681
Jeg skal hoppe herned og
så fortsætte heroppe.

55
00:03:07,681 --> 00:03:09,677
I begge tilfælde skal jeg løfte min blyant

56
00:03:09,677 --> 00:03:12,170
så vi kan fornemme, den er diskontinuert.

57
00:03:12,170 --> 00:03:14,703
For denne type af diskontinuitet,

58
00:03:14,703 --> 00:03:19,414
hvor jeg laver et spring fra et
punkt og fortsætter derfra,

59
00:03:19,414 --> 00:03:27,358
så kaldes det helt logisk for
en spring diskontinuitet.

60
00:03:27,358 --> 00:03:31,115
Dette var en hævelig diskontinuitet.

61
00:03:31,115 --> 00:03:33,645
Hvordan relaterer den her 
til grænseværdier?

62
00:03:33,645 --> 00:03:35,650
Her eksisterer den venstre-
og højresidede

63
00:03:35,650 --> 00:03:37,655
grænseværdi,

64
00:03:37,655 --> 00:03:39,193
men de er ikke det samme,

65
00:03:39,193 --> 00:03:41,745
så du har ikke en tosidet grænseværdi.

66
00:03:41,745 --> 00:03:44,236
For eksempel med denne graf

67
00:03:44,236 --> 00:03:48,425
for alle x-værdier til og med x lig 2,

68
00:03:48,425 --> 00:03:50,887
der er det grafen for y = x².

69
00:03:50,887 --> 00:03:52,970
Og for x større end 2,

70
00:03:52,970 --> 00:03:55,051
der er det grafen for √2.

71
00:03:55,051 --> 00:04:01,207
Når du i dette tilfælde finder
grænseværdien for f(x),

72
00:04:01,207 --> 00:04:09,332
når x nærmer sig 2 fra venstre,

73
00:04:09,332 --> 00:04:12,129
så er den lig 4,
da du nærmer dig denne værdi.

74
00:04:12,129 --> 00:04:14,433
Og det er faktisk funktionsværdien.

75
00:04:14,433 --> 00:04:16,712
Men når du finder grænseværdien,

76
00:04:16,712 --> 00:04:20,807
når x nærmer sig 2 fra højre, for f(x),

77
00:04:20,807 --> 00:04:22,727
hvad er den så lig?

78
00:04:22,727 --> 00:04:24,070
Når vi nærmer os fra højre,

79
00:04:24,070 --> 00:04:25,534
så er den √x

80
00:04:25,534 --> 00:04:27,538
så den nærmer sig √2.

81
00:04:27,538 --> 00:04:30,555
Du kan ikke se, det er √2
ved blot at se på den.

82
00:04:30,555 --> 00:04:31,700
Jeg ved det er √x,

83
00:04:31,700 --> 00:04:36,031
fordi det er den funktion, jeg definerede
på Desmos, da jeg lavede grafen.

84
00:04:36,031 --> 00:04:37,720
Men visuelt er det tydeligt,

85
00:04:37,720 --> 00:04:39,780
at du nærmer dig to forskellige værdier,

86
00:04:39,780 --> 00:04:42,636
når du nærmer dig fra venstre
og når du nærmer dig fra højre.

87
00:04:42,636 --> 00:04:46,368
Selvom de ensidet grænseværdier eksisterer,
så nærmer de sig ikke det samme,

88
00:04:46,368 --> 00:04:49,751
så den tosidet grænseværdi eksisterer ikke

89
00:04:49,751 --> 00:04:52,484
og kan derfor ikke være
lig funktionsværdien,

90
00:04:52,484 --> 00:04:54,452
selv hvis funktionen er defineret.

91
00:04:54,452 --> 00:04:58,614
Det er derfor en spring diskontinuitet
dumper i dette kriterie.

92
00:04:58,614 --> 00:04:59,885
Det er igen ret intuitivt.

93
00:04:59,885 --> 00:05:01,359
Du kan se, at jeg skal springe.

94
00:05:01,359 --> 00:05:02,597
Jeg skal løfte min blyant.

95
00:05:02,597 --> 00:05:05,811
Disse to kurver er ikke
forbundet med hinanden.

96
00:05:05,811 --> 00:05:10,859
Til sidst kan du se det, der hedder en

97
00:05:10,859 --> 00:05:23,711
uendelig eller asymptote diskontinuitet.

98
00:05:23,711 --> 00:05:26,676
Du kan her se en asymptote.

99
00:05:26,676 --> 00:05:30,267
Det er en lodret asymptote ved x er lig 2.

100
00:05:30,267 --> 00:05:34,196
Hvis jeg forsøger at følge
grafen fra venstre,

101
00:05:34,196 --> 00:05:38,683
så vil jeg blot fortsætte nedad uendeligt,

102
00:05:38,683 --> 00:05:43,424
da den er den er ubegrænset,

103
00:05:43,424 --> 00:05:46,234
når jeg kommer tættere og
tættere på x er lig 2 fra venstre.

104
00:05:46,234 --> 00:05:48,905
Hvis jeg forsøger at komme
til x er lig 2 fra højre,

105
00:05:48,905 --> 00:05:50,962
så vil jeg forsætte ubegrænset opad.

106
00:05:50,962 --> 00:05:52,757
Når jeg siger ubegrænset,

107
00:05:52,757 --> 00:05:55,067
så går den mod uendelig,

108
00:05:55,067 --> 00:05:57,694
så det er jo faktisk umuligt for et

109
00:05:57,694 --> 00:06:02,201
almindeligt dødeligt menneske
at følge den hele vejen.

110
00:06:02,201 --> 00:06:08,439
Men du ser, at jeg ikke kan tegne den
herfra og dertil uden at løfte min blyant.

111
00:06:08,439 --> 00:06:12,289
Du kan relatere det til grænseværdier

112
00:06:12,289 --> 00:06:16,930
ved at sige at både venstre- og
højresidet grænseværdi er ubegrænset,

113
00:06:16,930 --> 00:06:18,238
så de eksisterer ikke.

114
00:06:18,238 --> 00:06:21,326
Hvis de ikke eksisterer, så kan
vi ikke opfylde disse betingelser.

115
00:06:21,326 --> 00:06:27,059
Vi kan sige, at grænseværdien,
når x nærmer sig 2 fra venstre side,

116
00:06:27,059 --> 00:06:30,842
for f(x) er ubegrænset
i den negative retning.

117
00:06:30,842 --> 00:06:34,500
Du kan nogle gange se det
skrevet som minus uendelig,

118
00:06:34,500 --> 00:06:36,760
men så er man lidt løs med matematikken.

119
00:06:36,760 --> 00:06:42,437
Det er mere korrekt,
at sige den er ubegrænset.

120
00:06:42,437 --> 00:06:44,750
På samme måde kan vi sige,
at grænseværdien,

121
00:06:44,750 --> 00:06:57,618
når x nærmer sig 2 fra højre,
for f(x) er ubegrænset mod plus uendelig.

122
00:06:57,618 --> 00:06:59,306
Da den er ubegrænset,

123
00:06:59,306 --> 00:07:02,835
så eksisterer denne grænseværdi ikke
og kan ikke opfylde disse betingelser.

124
00:07:02,835 --> 00:07:04,846
Den er diskontinuert.

125
00:07:04,846 --> 00:07:07,696
Dette er en hævelig diskontinuitet.

126
00:07:07,696 --> 00:07:09,931
En spring diskontinuitet, jeg springer.

127
00:07:09,931 --> 00:07:12,217
Og her har vi en lodret asymptote,

128
00:07:12,217 --> 00:07:15,045
så det er en uendelig diskontinuitet.