0:00:00.333,0:00:01.795
이번 영상에서는

0:00:01.795,0:00:04.447
다양한 종류의 불연속성에[br]대해 다뤄볼 것입니다

0:00:04.447,0:00:07.359
아마 여러분이 대수학이나

0:00:07.359,0:00:11.010
미적분 준비 코스를 할 때[br]본 적이 있을 거예요

0:00:11.010,0:00:14.876
이제 이를 양쪽 극한과 한쪽[br]극한에 연결시켜 볼 겁니다

0:00:14.876,0:00:18.727
불연속성의 종류에 대해[br]복습해 봅시다

0:00:18.727,0:00:22.274
여기 왼쪽의 그래프는

0:00:22.274,0:00:25.642
y = x² 그래프처럼 생겼습니다

0:00:25.642,0:00:28.502
x가 3에 도달하기[br]전까지는 말이죠

0:00:28.502,0:00:31.243
여기서 x는 3²이 되는 대신

0:00:31.243,0:00:33.111
이처럼 구멍이 생기게 됩니다

0:00:33.111,0:00:35.893
그리고 함수는 x가 3일 때[br]4의 지점에서 정의됩니다

0:00:35.893,0:00:37.420
그런데 그러다가 함수는[br]원래대로 계속됩니다

0:00:37.420,0:00:39.543
y = x²의 형태로 말입니다

0:00:39.543,0:00:45.560
이 지점을 없앨 수 있는[br]불연속성이라고 부릅니다

0:00:45.560,0:00:47.520
이름의 유래는 명확하죠

0:00:47.523,0:00:49.821
이 점에서 불연속성이 생기니까요

0:00:49.821,0:00:52.665
함수를 재정의함으로써

0:00:52.665,0:00:54.747
이 점에서 연속될 수 있게[br]해 볼 수도 있습니다

0:00:54.747,0:00:57.853
없앨 수 있는[br]불연속성이라면 말입니다

0:00:57.853,0:01:00.140
이것이 연속성의 정의와

0:01:00.140,0:01:01.833
어떻게 관련이 있을까요?

0:01:01.833,0:01:05.243
연속성의 정의에 대해[br]다시 되새겨봅시다

0:01:05.243,0:01:07.772
함수 f는

0:01:07.780,0:01:10.220
연속성을 가집니다

0:01:10.220,0:01:12.200
다음의 필요충분조건을[br]충족한다면 말입니다

0:01:12.260,0:01:14.340
연속함수 f(x)는

0:01:14.340,0:01:18.100
x가 c에 한없이 가까워질 때

0:01:18.100,0:01:21.780
f(x)의 극한값이 x가 c일 때의[br]실제 함수값이랑

0:01:21.780,0:01:26.560
동일하다는 전제 하에

0:01:26.565,0:01:28.739
x가 c인 지점에서[br]연속성을 가집니다

0:01:28.739,0:01:30.714
그러면 이 함수는[br]왜 연속성을 가지지 못하나요?

0:01:30.714,0:01:33.460
양쪽 극한은 사실 존재합니다

0:01:33.460,0:01:37.232
c가 3이라고 가정한다면

0:01:37.240,0:01:41.580
x가 3에 한없이 가까워질 때

0:01:41.580,0:01:43.780
f(x)의 극한값은

0:01:43.780,0:01:46.400
그래프를 통해 관찰해 보면

0:01:46.412,0:01:48.679
아, 그리고 이 그래프가[br]y = x²이라고 가정합시다

0:01:48.679,0:01:51.410
이 지점의 불연속성만[br]제외하고는 말이죠

0:01:51.410,0:01:54.066
그러면 이 극한값은 9입니다

0:01:54.066,0:01:57.511
여기서 문제는 이 그래프가

0:01:57.511,0:02:00.342
이 함수값과 같지 않다는 것입니다

0:02:00.342,0:02:01.909
함수값 f(3)은

0:02:01.909,0:02:04.864
그래프에 따르면

0:02:04.864,0:02:07.890
9가 아닌 4의 값을 가집니다

0:02:07.890,0:02:11.305
따라서 이것은 양쪽[br]극한이 존재하지만

0:02:11.305,0:02:14.679
함수값과는 다른 상황입니다

0:02:14.679,0:02:16.594
이것 말고도 함수가

0:02:16.594,0:02:18.144
해당 지점에서 정의되지 않는[br]상황도 생길 수 있습니다

0:02:18.144,0:02:20.144
이 점이 없는 것과 같죠

0:02:20.144,0:02:22.391
다시 말하자면[br]극한값이 존재하더라도

0:02:22.391,0:02:24.437
함수는 그 지점에서 정의되지[br]않을 수도 있습니다

0:02:24.437,0:02:28.273
둘 중 어느 경우이건

0:02:28.280,0:02:30.500
연속성의 조건을[br]충족하지 못합니다

0:02:30.500,0:02:34.140
이것이 바로 없앨 수 있는[br]불연속성입니다

0:02:34.153,0:02:36.169
왜 그것이 우리의[br]연속성의 정의에 있어서

0:02:36.169,0:02:40.770
불연속성으로 정의되는지[br]이제 알았을 것입니다

0:02:40.770,0:02:43.281
두 번째 예제를 봅시다

0:02:43.281,0:02:45.924
직관적으로 연속성을[br]테스트해 봅시다

0:02:45.924,0:02:48.629
이 그래프를 따라 쭉 내려갔을 때

0:02:48.629,0:02:52.461
x가 2에 도달하게 되면

0:02:52.461,0:02:55.139
연필을 들었다가 놔야 그래프를[br]계속 따라갈 수 있습니다

0:02:55.139,0:02:58.222
이것은 불연속성을[br]의미하는 신호입니다

0:02:58.222,0:03:00.512
여기서도 같은 현상을[br]볼 수 있습니다

0:03:00.512,0:03:03.595
이 함수를 계속 따라가려면

0:03:03.595,0:03:04.518
연필을 들었다가 놔야 합니다

0:03:04.518,0:03:06.018
이 지점으로 내려왔다가

0:03:06.018,0:03:07.681
다시 올라가서 그래프를[br]따라갈 수밖에 없습니다

0:03:07.681,0:03:09.686
둘 중 어느 경우이든 연필을[br]들었다가 놔야 합니다

0:03:09.686,0:03:12.355
직관적으로 봤을 때도[br]불연속성을 알 수 있습니다

0:03:12.355,0:03:14.934
하지만 이 특정[br]불연속성의 경우에는

0:03:14.934,0:03:17.381
한 점에서 도약, 혹은 비약하여

0:03:17.381,0:03:19.584
아래의 점으로 이동해야[br]그래프가 계속됩니다

0:03:19.584,0:03:22.379
직관적인 유래에 따라

0:03:22.380,0:03:27.760
이는 비약 불연속성이라고 불립니다

0:03:27.760,0:03:31.240
이는 물론 없앨 수 있는[br]불연속성에 해당합니다

0:03:31.245,0:03:33.775
이것이 극한과 어떻게[br]관련을 가질까요?

0:03:33.775,0:03:37.704
여기에서 좌극한과[br]우극한이 존재하지만

0:03:37.704,0:03:39.242
두 극한값은 서로 다릅니다

0:03:39.242,0:03:41.925
따라서 양쪽 극한이[br]존재하지 않습니다

0:03:41.925,0:03:45.566
예를 들어 이 함수는

0:03:45.566,0:03:48.580
2 이하의 x값에서는

0:03:48.580,0:03:51.022
y = x²의 그래프를 가집니다

0:03:51.022,0:03:53.159
x값이 2보다 클 때에는

0:03:53.159,0:03:55.179
√x의 그래프를 가집니다

0:03:55.179,0:03:57.059
이러한 시나리오에서

0:03:57.060,0:04:02.480
x가 2에 한없이 가까워질 때

0:04:02.480,0:04:08.120
f(x)의 극한값을 구해본다면

0:04:08.200,0:04:09.570
좌극한인 경우에

0:04:09.570,0:04:11.010
이 극한값은 4일 것입니다

0:04:11.010,0:04:12.192
여기 이 값을 향해 가까워지니까요

0:04:12.192,0:04:14.683
이것은 함수의[br]실제 값이기도 합니다

0:04:14.683,0:04:18.598
하지만 x가 2에 한없이[br]가까워지는데

0:04:18.598,0:04:20.995
이것이 우극한이라면

0:04:20.995,0:04:22.881
극한값은 무엇일까요?

0:04:22.881,0:04:24.070
오른쪽으로부터 가까워지니

0:04:24.070,0:04:25.534
이것은 √x이고

0:04:25.534,0:04:28.606
따라서 √2에 한없이[br]가까워지게 됩니다

0:04:28.606,0:04:29.714
이것이 √2라는 것을

0:04:29.714,0:04:30.716
그래프만 보고 알 수는[br]없습니다

0:04:30.716,0:04:32.417
제가 Desmos에서

0:04:32.417,0:04:34.394
이 함수를 정의할 때[br]그렇게 정의했기 때문에

0:04:34.394,0:04:36.157
저는 알고 있지만 말이죠

0:04:36.157,0:04:37.842
하지만 그래프만 봤을 때도

0:04:37.842,0:04:39.586
좌극한과 우극한이

0:04:39.586,0:04:41.066
서로 다른 극한값을 가진다는 것을

0:04:41.066,0:04:42.770
쉽게 알 수 있습니다

0:04:42.770,0:04:44.917
따라서 한쪽 극한들이[br]존재하더라도

0:04:44.917,0:04:46.401
같은 극한값을 향해 가까워지지[br]않고 있습니다

0:04:46.401,0:04:48.230
따라서 양쪽 극한은[br]존재하지 않습니다

0:04:48.230,0:04:49.850
양쪽 극한이 존재하지 않는다면

0:04:49.850,0:04:51.541
함수의 그 지점에서의 실제 값과는[br]당연히 다를 것입니다

0:04:51.541,0:04:54.508
함수가 정의되어[br]있더라도 말입니다

0:04:54.508,0:04:58.744
이것이 비약 불연속성이 연속성의[br]조건을 충족하지 못하는 이유입니다

0:04:58.744,0:04:59.885
다시 강조하지만[br]직관적으로 이해할 수 있습니다

0:04:59.885,0:05:01.459
여기서 연필을 들었다가 놔서

0:05:01.459,0:05:02.546
도약을 해야 되니까요

0:05:02.546,0:05:06.158
이 두 곡선은 서로[br]연결되어 있지 않습니다

0:05:06.158,0:05:08.752
여기서 보고 있는 이것은

0:05:08.752,0:05:10.000
미적분의 준비 코스에서도 배웠던

0:05:10.000,0:05:17.380
점근적 불연속성이라고 합니다

0:05:17.460,0:05:20.320
점근적

0:05:20.320,0:05:23.840
불연속성

0:05:23.840,0:05:27.520
직관적으로 봤을 때[br]여기 점근선이 있습니다

0:05:27.525,0:05:30.388
x가 2일 때 수직점근선이 있습니다

0:05:30.388,0:05:33.602
그래프를 왼쪽으로부터

0:05:33.602,0:05:34.855
쭉 따라가 보면

0:05:34.855,0:05:36.803
계속해서 따라가게 됩니다

0:05:36.803,0:05:40.134
영원히 따라갈 수 있습니다

0:05:40.134,0:05:42.126
왜냐하면 범위가 무한하고

0:05:42.126,0:05:44.484
계속 가면 갈수록

0:05:44.484,0:05:46.332
왼쪽으로부터 2에 무한히[br]가까워지기 때문입니다

0:05:46.332,0:05:48.936
x가 2일 때 우극한의 경우에는

0:05:48.936,0:05:51.132
영원히 위쪽으로 향하게 됩니다

0:05:51.132,0:05:52.757
제가 계속 이 그래프를[br]따라가 보더라도

0:05:52.757,0:05:55.067
그래프가 무한하게[br]계속되기 때문에

0:05:55.067,0:05:58.660
우리 생애 내에서

0:05:58.660,0:06:02.367
이 그래프를 끝까지[br]따라가는 것은 불가능하죠

0:06:02.367,0:06:04.418
하지만 여기서 여러분이[br]이해해야 하는 것은

0:06:04.418,0:06:08.656
이 지점에서 이 지점까지[br]연필을 들지 않고서는 갈 수 없고

0:06:08.660,0:06:13.760
우리의 극한의 정의와[br]관련지어 본다면

0:06:13.760,0:06:16.930
좌극한과 우극한 모두[br]무한하므로

0:06:16.930,0:06:18.398
두 극한값 모두 존재하지[br]않는다고 볼 수 있습니다

0:06:18.400,0:06:21.680
극한값이 존재하지 않으면[br]조건 또한 맞출 수 없죠

0:06:21.740,0:06:28.440
x가 왼쪽으로부터 2에 한없이[br]가까워질 때

0:06:28.450,0:06:31.053
f(x)는 음의 방향으로 무한히[br]진행하는 것을 볼 수 있습니다

0:06:31.053,0:06:33.352
이런 수를 본 적이 있을지 모르겠네요

0:06:33.352,0:06:34.601
마이너스 무한대 말입니다

0:06:34.601,0:06:36.975
완전히 정확한 표현은[br]아니지만 말입니다

0:06:36.980,0:06:40.640
보다 정확하게는 무한하다고[br]표현하는 것이 맞습니다

0:06:40.640,0:06:42.620
무한하다

0:06:42.620,0:06:44.920
이와 마찬가지로

0:06:44.920,0:06:46.751
x가 오른쪽으로부터

0:06:46.751,0:06:48.606
2에 한없이 가까워질 때

0:06:48.606,0:06:49.918
f(x)의 극한값은

0:06:49.918,0:06:52.953
플러스 무한대를 향해[br]무한히 가까워집니다

0:06:52.953,0:06:54.367
아까와 마찬가지로

0:06:54.367,0:06:55.786
이 극한값 역시

0:06:55.786,0:06:57.983
무한합니다

0:06:57.983,0:06:59.297
그리고

0:06:59.297,0:07:01.440
이 식이 무한하고[br]극한값이 존재하지 않으므로

0:07:01.440,0:07:02.631
이 조건을 맞출 수 없습니다

0:07:02.631,0:07:04.950
따라서 불연속성을 가집니다

0:07:04.950,0:07:07.696
즉 이것은 없앨 수 없는[br]불연속성입니다

0:07:07.696,0:07:09.931
비약 불연속성, 즉 도약해야만[br]연속되는 함수가 있는가 하면

0:07:09.931,0:07:12.217
이처럼 수직점근선이 있는[br]경우도 있습니다

0:07:12.217,0:07:15.045
이것을 점근적 불연속성이라고[br]부릅니다