1
00:00:00,333 --> 00:00:01,795
이번 영상에서는

2
00:00:01,795 --> 00:00:04,447
다양한 종류의 불연속성에
대해 다뤄볼 것입니다

3
00:00:04,447 --> 00:00:07,359
아마 여러분이 대수학이나

4
00:00:07,359 --> 00:00:11,010
미적분 준비 코스를 할 때
본 적이 있을 거예요

5
00:00:11,010 --> 00:00:14,876
이제 이를 양쪽 극한과 한쪽
극한에 연결시켜 볼 겁니다

6
00:00:14,876 --> 00:00:18,727
불연속성의 종류에 대해
복습해 봅시다

7
00:00:18,727 --> 00:00:22,274
여기 왼쪽의 그래프는

8
00:00:22,274 --> 00:00:25,642
y = x² 그래프처럼 생겼습니다

9
00:00:25,642 --> 00:00:28,502
x가 3에 도달하기
전까지는 말이죠

10
00:00:28,502 --> 00:00:31,243
여기서 x는 3²이 되는 대신

11
00:00:31,243 --> 00:00:33,111
이처럼 구멍이 생기게 됩니다

12
00:00:33,111 --> 00:00:35,893
그리고 함수는 x가 3일 때
4의 지점에서 정의됩니다

13
00:00:35,893 --> 00:00:37,420
그런데 그러다가 함수는
원래대로 계속됩니다

14
00:00:37,420 --> 00:00:39,543
y = x²의 형태로 말입니다

15
00:00:39,543 --> 00:00:45,560
이 지점을 없앨 수 있는
불연속성이라고 부릅니다

16
00:00:45,560 --> 00:00:47,520
이름의 유래는 명확하죠

17
00:00:47,523 --> 00:00:49,821
이 점에서 불연속성이 생기니까요

18
00:00:49,821 --> 00:00:52,665
함수를 재정의함으로써

19
00:00:52,665 --> 00:00:54,747
이 점에서 연속될 수 있게
해 볼 수도 있습니다

20
00:00:54,747 --> 00:00:57,853
없앨 수 있는
불연속성이라면 말입니다

21
00:00:57,853 --> 00:01:00,140
이것이 연속성의 정의와

22
00:01:00,140 --> 00:01:01,833
어떻게 관련이 있을까요?

23
00:01:01,833 --> 00:01:05,243
연속성의 정의에 대해
다시 되새겨봅시다

24
00:01:05,243 --> 00:01:07,772
함수 f는

25
00:01:07,780 --> 00:01:10,220
연속성을 가집니다

26
00:01:10,220 --> 00:01:12,200
다음의 필요충분조건을
충족한다면 말입니다

27
00:01:12,260 --> 00:01:14,340
연속함수 f(x)는

28
00:01:14,340 --> 00:01:18,100
x가 c에 한없이 가까워질 때

29
00:01:18,100 --> 00:01:21,780
f(x)의 극한값이 x가 c일 때의
실제 함수값이랑

30
00:01:21,780 --> 00:01:26,560
동일하다는 전제 하에

31
00:01:26,565 --> 00:01:28,739
x가 c인 지점에서
연속성을 가집니다

32
00:01:28,739 --> 00:01:30,714
그러면 이 함수는
왜 연속성을 가지지 못하나요?

33
00:01:30,714 --> 00:01:33,460
양쪽 극한은 사실 존재합니다

34
00:01:33,460 --> 00:01:37,232
c가 3이라고 가정한다면

35
00:01:37,240 --> 00:01:41,580
x가 3에 한없이 가까워질 때

36
00:01:41,580 --> 00:01:43,780
f(x)의 극한값은

37
00:01:43,780 --> 00:01:46,400
그래프를 통해 관찰해 보면

38
00:01:46,412 --> 00:01:48,679
아, 그리고 이 그래프가
y = x²이라고 가정합시다

39
00:01:48,679 --> 00:01:51,410
이 지점의 불연속성만
제외하고는 말이죠

40
00:01:51,410 --> 00:01:54,066
그러면 이 극한값은 9입니다

41
00:01:54,066 --> 00:01:57,511
여기서 문제는 이 그래프가

42
00:01:57,511 --> 00:02:00,342
이 함수값과 같지 않다는 것입니다

43
00:02:00,342 --> 00:02:01,909
함수값 f(3)은

44
00:02:01,909 --> 00:02:04,864
그래프에 따르면

45
00:02:04,864 --> 00:02:07,890
9가 아닌 4의 값을 가집니다

46
00:02:07,890 --> 00:02:11,305
따라서 이것은 양쪽
극한이 존재하지만

47
00:02:11,305 --> 00:02:14,679
함수값과는 다른 상황입니다

48
00:02:14,679 --> 00:02:16,594
이것 말고도 함수가

49
00:02:16,594 --> 00:02:18,144
해당 지점에서 정의되지 않는
상황도 생길 수 있습니다

50
00:02:18,144 --> 00:02:20,144
이 점이 없는 것과 같죠

51
00:02:20,144 --> 00:02:22,391
다시 말하자면
극한값이 존재하더라도

52
00:02:22,391 --> 00:02:24,437
함수는 그 지점에서 정의되지
않을 수도 있습니다

53
00:02:24,437 --> 00:02:28,273
둘 중 어느 경우이건

54
00:02:28,280 --> 00:02:30,500
연속성의 조건을
충족하지 못합니다

55
00:02:30,500 --> 00:02:34,140
이것이 바로 없앨 수 있는
불연속성입니다

56
00:02:34,153 --> 00:02:36,169
왜 그것이 우리의
연속성의 정의에 있어서

57
00:02:36,169 --> 00:02:40,770
불연속성으로 정의되는지
이제 알았을 것입니다

58
00:02:40,770 --> 00:02:43,281
두 번째 예제를 봅시다

59
00:02:43,281 --> 00:02:45,924
직관적으로 연속성을
테스트해 봅시다

60
00:02:45,924 --> 00:02:48,629
이 그래프를 따라 쭉 내려갔을 때

61
00:02:48,629 --> 00:02:52,461
x가 2에 도달하게 되면

62
00:02:52,461 --> 00:02:55,139
연필을 들었다가 놔야 그래프를
계속 따라갈 수 있습니다

63
00:02:55,139 --> 00:02:58,222
이것은 불연속성을
의미하는 신호입니다

64
00:02:58,222 --> 00:03:00,512
여기서도 같은 현상을
볼 수 있습니다

65
00:03:00,512 --> 00:03:03,595
이 함수를 계속 따라가려면

66
00:03:03,595 --> 00:03:04,518
연필을 들었다가 놔야 합니다

67
00:03:04,518 --> 00:03:06,018
이 지점으로 내려왔다가

68
00:03:06,018 --> 00:03:07,681
다시 올라가서 그래프를
따라갈 수밖에 없습니다

69
00:03:07,681 --> 00:03:09,686
둘 중 어느 경우이든 연필을
들었다가 놔야 합니다

70
00:03:09,686 --> 00:03:12,355
직관적으로 봤을 때도
불연속성을 알 수 있습니다

71
00:03:12,355 --> 00:03:14,934
하지만 이 특정
불연속성의 경우에는

72
00:03:14,934 --> 00:03:17,381
한 점에서 도약, 혹은 비약하여

73
00:03:17,381 --> 00:03:19,584
아래의 점으로 이동해야
그래프가 계속됩니다

74
00:03:19,584 --> 00:03:22,379
직관적인 유래에 따라

75
00:03:22,380 --> 00:03:27,760
이는 비약 불연속성이라고 불립니다

76
00:03:27,760 --> 00:03:31,240
이는 물론 없앨 수 있는
불연속성에 해당합니다

77
00:03:31,245 --> 00:03:33,775
이것이 극한과 어떻게
관련을 가질까요?

78
00:03:33,775 --> 00:03:37,704
여기에서 좌극한과
우극한이 존재하지만

79
00:03:37,704 --> 00:03:39,242
두 극한값은 서로 다릅니다

80
00:03:39,242 --> 00:03:41,925
따라서 양쪽 극한이
존재하지 않습니다

81
00:03:41,925 --> 00:03:45,566
예를 들어 이 함수는

82
00:03:45,566 --> 00:03:48,580
2 이하의 x값에서는

83
00:03:48,580 --> 00:03:51,022
y = x²의 그래프를 가집니다

84
00:03:51,022 --> 00:03:53,159
x값이 2보다 클 때에는

85
00:03:53,159 --> 00:03:55,179
√x의 그래프를 가집니다

86
00:03:55,179 --> 00:03:57,059
이러한 시나리오에서

87
00:03:57,060 --> 00:04:02,480
x가 2에 한없이 가까워질 때

88
00:04:02,480 --> 00:04:08,120
f(x)의 극한값을 구해본다면

89
00:04:08,200 --> 00:04:09,570
좌극한인 경우에

90
00:04:09,570 --> 00:04:11,010
이 극한값은 4일 것입니다

91
00:04:11,010 --> 00:04:12,192
여기 이 값을 향해 가까워지니까요

92
00:04:12,192 --> 00:04:14,683
이것은 함수의
실제 값이기도 합니다

93
00:04:14,683 --> 00:04:18,598
하지만 x가 2에 한없이
가까워지는데

94
00:04:18,598 --> 00:04:20,995
이것이 우극한이라면

95
00:04:20,995 --> 00:04:22,881
극한값은 무엇일까요?

96
00:04:22,881 --> 00:04:24,070
오른쪽으로부터 가까워지니

97
00:04:24,070 --> 00:04:25,534
이것은 √x이고

98
00:04:25,534 --> 00:04:28,606
따라서 √2에 한없이
가까워지게 됩니다

99
00:04:28,606 --> 00:04:29,714
이것이 √2라는 것을

100
00:04:29,714 --> 00:04:30,716
그래프만 보고 알 수는
없습니다

101
00:04:30,716 --> 00:04:32,417
제가 Desmos에서

102
00:04:32,417 --> 00:04:34,394
이 함수를 정의할 때
그렇게 정의했기 때문에

103
00:04:34,394 --> 00:04:36,157
저는 알고 있지만 말이죠

104
00:04:36,157 --> 00:04:37,842
하지만 그래프만 봤을 때도

105
00:04:37,842 --> 00:04:39,586
좌극한과 우극한이

106
00:04:39,586 --> 00:04:41,066
서로 다른 극한값을 가진다는 것을

107
00:04:41,066 --> 00:04:42,770
쉽게 알 수 있습니다

108
00:04:42,770 --> 00:04:44,917
따라서 한쪽 극한들이
존재하더라도

109
00:04:44,917 --> 00:04:46,401
같은 극한값을 향해 가까워지지
않고 있습니다

110
00:04:46,401 --> 00:04:48,230
따라서 양쪽 극한은
존재하지 않습니다

111
00:04:48,230 --> 00:04:49,850
양쪽 극한이 존재하지 않는다면

112
00:04:49,850 --> 00:04:51,541
함수의 그 지점에서의 실제 값과는
당연히 다를 것입니다

113
00:04:51,541 --> 00:04:54,508
함수가 정의되어
있더라도 말입니다

114
00:04:54,508 --> 00:04:58,744
이것이 비약 불연속성이 연속성의
조건을 충족하지 못하는 이유입니다

115
00:04:58,744 --> 00:04:59,885
다시 강조하지만
직관적으로 이해할 수 있습니다

116
00:04:59,885 --> 00:05:01,459
여기서 연필을 들었다가 놔서

117
00:05:01,459 --> 00:05:02,546
도약을 해야 되니까요

118
00:05:02,546 --> 00:05:06,158
이 두 곡선은 서로
연결되어 있지 않습니다

119
00:05:06,158 --> 00:05:08,752
여기서 보고 있는 이것은

120
00:05:08,752 --> 00:05:10,000
미적분의 준비 코스에서도 배웠던

121
00:05:10,000 --> 00:05:17,380
점근적 불연속성이라고 합니다

122
00:05:17,460 --> 00:05:20,320
점근적

123
00:05:20,320 --> 00:05:23,840
불연속성

124
00:05:23,840 --> 00:05:27,520
직관적으로 봤을 때
여기 점근선이 있습니다

125
00:05:27,525 --> 00:05:30,388
x가 2일 때 수직점근선이 있습니다

126
00:05:30,388 --> 00:05:33,602
그래프를 왼쪽으로부터

127
00:05:33,602 --> 00:05:34,855
쭉 따라가 보면

128
00:05:34,855 --> 00:05:36,803
계속해서 따라가게 됩니다

129
00:05:36,803 --> 00:05:40,134
영원히 따라갈 수 있습니다

130
00:05:40,134 --> 00:05:42,126
왜냐하면 범위가 무한하고

131
00:05:42,126 --> 00:05:44,484
계속 가면 갈수록

132
00:05:44,484 --> 00:05:46,332
왼쪽으로부터 2에 무한히
가까워지기 때문입니다

133
00:05:46,332 --> 00:05:48,936
x가 2일 때 우극한의 경우에는

134
00:05:48,936 --> 00:05:51,132
영원히 위쪽으로 향하게 됩니다

135
00:05:51,132 --> 00:05:52,757
제가 계속 이 그래프를
따라가 보더라도

136
00:05:52,757 --> 00:05:55,067
그래프가 무한하게
계속되기 때문에

137
00:05:55,067 --> 00:05:58,660
우리 생애 내에서

138
00:05:58,660 --> 00:06:02,367
이 그래프를 끝까지
따라가는 것은 불가능하죠

139
00:06:02,367 --> 00:06:04,418
하지만 여기서 여러분이
이해해야 하는 것은

140
00:06:04,418 --> 00:06:08,656
이 지점에서 이 지점까지
연필을 들지 않고서는 갈 수 없고

141
00:06:08,660 --> 00:06:13,760
우리의 극한의 정의와
관련지어 본다면

142
00:06:13,760 --> 00:06:16,930
좌극한과 우극한 모두
무한하므로

143
00:06:16,930 --> 00:06:18,398
두 극한값 모두 존재하지
않는다고 볼 수 있습니다

144
00:06:18,400 --> 00:06:21,680
극한값이 존재하지 않으면
조건 또한 맞출 수 없죠

145
00:06:21,740 --> 00:06:28,440
x가 왼쪽으로부터 2에 한없이
가까워질 때

146
00:06:28,450 --> 00:06:31,053
f(x)는 음의 방향으로 무한히
진행하는 것을 볼 수 있습니다

147
00:06:31,053 --> 00:06:33,352
이런 수를 본 적이 있을지 모르겠네요

148
00:06:33,352 --> 00:06:34,601
마이너스 무한대 말입니다

149
00:06:34,601 --> 00:06:36,975
완전히 정확한 표현은
아니지만 말입니다

150
00:06:36,980 --> 00:06:40,640
보다 정확하게는 무한하다고
표현하는 것이 맞습니다

151
00:06:40,640 --> 00:06:42,620
무한하다

152
00:06:42,620 --> 00:06:44,920
이와 마찬가지로

153
00:06:44,920 --> 00:06:46,751
x가 오른쪽으로부터

154
00:06:46,751 --> 00:06:48,606
2에 한없이 가까워질 때

155
00:06:48,606 --> 00:06:49,918
f(x)의 극한값은

156
00:06:49,918 --> 00:06:52,953
플러스 무한대를 향해
무한히 가까워집니다

157
00:06:52,953 --> 00:06:54,367
아까와 마찬가지로

158
00:06:54,367 --> 00:06:55,786
이 극한값 역시

159
00:06:55,786 --> 00:06:57,983
무한합니다

160
00:06:57,983 --> 00:06:59,297
그리고

161
00:06:59,297 --> 00:07:01,440
이 식이 무한하고
극한값이 존재하지 않으므로

162
00:07:01,440 --> 00:07:02,631
이 조건을 맞출 수 없습니다

163
00:07:02,631 --> 00:07:04,950
따라서 불연속성을 가집니다

164
00:07:04,950 --> 00:07:07,696
즉 이것은 없앨 수 없는
불연속성입니다

165
00:07:07,696 --> 00:07:09,931
비약 불연속성, 즉 도약해야만
연속되는 함수가 있는가 하면

166
00:07:09,931 --> 00:07:12,217
이처럼 수직점근선이 있는
경우도 있습니다

167
00:07:12,217 --> 00:07:15,045
이것을 점근적 불연속성이라고
부릅니다