WEBVTT

00:00:00.333 --> 00:00:01.795
이번 영상에서는

00:00:01.795 --> 00:00:04.447
다양한 종류의 불연속성에
대해 다뤄볼 것입니다

00:00:04.447 --> 00:00:07.359
아마 여러분이 대수학이나

00:00:07.359 --> 00:00:11.010
미적분 준비 코스를 할 때
본 적이 있을 거예요

00:00:11.010 --> 00:00:14.876
이제 이를 양쪽 극한과 한쪽
극한에 연결시켜 볼 겁니다

00:00:14.876 --> 00:00:18.727
불연속성의 종류에 대해
복습해 봅시다

00:00:18.727 --> 00:00:22.274
여기 왼쪽의 그래프는

00:00:22.274 --> 00:00:25.642
y = x² 그래프처럼 생겼습니다

00:00:25.642 --> 00:00:28.502
x가 3에 도달하기
전까지는 말이죠

00:00:28.502 --> 00:00:31.243
여기서 x는 3²이 되는 대신

00:00:31.243 --> 00:00:33.111
이처럼 구멍이 생기게 됩니다

00:00:33.111 --> 00:00:35.893
그리고 함수는 x가 3일 때
4의 지점에서 정의됩니다

00:00:35.893 --> 00:00:37.420
그런데 그러다가 함수는
원래대로 계속됩니다

00:00:37.420 --> 00:00:39.543
y = x²의 형태로 말입니다

00:00:39.543 --> 00:00:45.560
이 지점을 없앨 수 있는
불연속성이라고 부릅니다

00:00:45.560 --> 00:00:47.520
이름의 유래는 명확하죠

00:00:47.523 --> 00:00:49.821
이 점에서 불연속성이 생기니까요

00:00:49.821 --> 00:00:52.665
함수를 재정의함으로써

00:00:52.665 --> 00:00:54.747
이 점에서 연속될 수 있게
해 볼 수도 있습니다

00:00:54.747 --> 00:00:57.853
없앨 수 있는
불연속성이라면 말입니다

00:00:57.853 --> 00:01:00.140
이것이 연속성의 정의와

00:01:00.140 --> 00:01:01.833
어떻게 관련이 있을까요?

00:01:01.833 --> 00:01:05.243
연속성의 정의에 대해
다시 되새겨봅시다

00:01:05.243 --> 00:01:07.772
함수 f는

00:01:07.780 --> 00:01:10.220
연속성을 가집니다

00:01:10.220 --> 00:01:12.200
다음의 필요충분조건을
충족한다면 말입니다

00:01:12.260 --> 00:01:14.340
연속함수 f(x)는

00:01:14.340 --> 00:01:18.100
x가 c에 한없이 가까워질 때

00:01:18.100 --> 00:01:21.780
f(x)의 극한값이 x가 c일 때의
실제 함수값이랑

00:01:21.780 --> 00:01:26.560
동일하다는 전제 하에

00:01:26.565 --> 00:01:28.739
x가 c인 지점에서
연속성을 가집니다

00:01:28.739 --> 00:01:30.714
그러면 이 함수는
왜 연속성을 가지지 못하나요?

00:01:30.714 --> 00:01:33.460
양쪽 극한은 사실 존재합니다

00:01:33.460 --> 00:01:37.232
c가 3이라고 가정한다면

00:01:37.240 --> 00:01:41.580
x가 3에 한없이 가까워질 때

00:01:41.580 --> 00:01:43.780
f(x)의 극한값은

00:01:43.780 --> 00:01:46.400
그래프를 통해 관찰해 보면

00:01:46.412 --> 00:01:48.679
아, 그리고 이 그래프가
y = x²이라고 가정합시다

00:01:48.679 --> 00:01:51.410
이 지점의 불연속성만
제외하고는 말이죠

00:01:51.410 --> 00:01:54.066
그러면 이 극한값은 9입니다

00:01:54.066 --> 00:01:57.511
여기서 문제는 이 그래프가

00:01:57.511 --> 00:02:00.342
이 함수값과 같지 않다는 것입니다

00:02:00.342 --> 00:02:01.909
함수값 f(3)은

00:02:01.909 --> 00:02:04.864
그래프에 따르면

00:02:04.864 --> 00:02:07.890
9가 아닌 4의 값을 가집니다

00:02:07.890 --> 00:02:11.305
따라서 이것은 양쪽
극한이 존재하지만

00:02:11.305 --> 00:02:14.679
함수값과는 다른 상황입니다

00:02:14.679 --> 00:02:16.594
이것 말고도 함수가

00:02:16.594 --> 00:02:18.144
해당 지점에서 정의되지 않는
상황도 생길 수 있습니다

00:02:18.144 --> 00:02:20.144
이 점이 없는 것과 같죠

00:02:20.144 --> 00:02:22.391
다시 말하자면
극한값이 존재하더라도

00:02:22.391 --> 00:02:24.437
함수는 그 지점에서 정의되지
않을 수도 있습니다

00:02:24.437 --> 00:02:28.273
둘 중 어느 경우이건

00:02:28.280 --> 00:02:30.500
연속성의 조건을
충족하지 못합니다

00:02:30.500 --> 00:02:34.140
이것이 바로 없앨 수 있는
불연속성입니다

00:02:34.153 --> 00:02:36.169
왜 그것이 우리의
연속성의 정의에 있어서

00:02:36.169 --> 00:02:40.770
불연속성으로 정의되는지
이제 알았을 것입니다

00:02:40.770 --> 00:02:43.281
두 번째 예제를 봅시다

00:02:43.281 --> 00:02:45.924
직관적으로 연속성을
테스트해 봅시다

00:02:45.924 --> 00:02:48.629
이 그래프를 따라 쭉 내려갔을 때

00:02:48.629 --> 00:02:52.461
x가 2에 도달하게 되면

00:02:52.461 --> 00:02:55.139
연필을 들었다가 놔야 그래프를
계속 따라갈 수 있습니다

00:02:55.139 --> 00:02:58.222
이것은 불연속성을
의미하는 신호입니다

00:02:58.222 --> 00:03:00.512
여기서도 같은 현상을
볼 수 있습니다

00:03:00.512 --> 00:03:03.595
이 함수를 계속 따라가려면

00:03:03.595 --> 00:03:04.518
연필을 들었다가 놔야 합니다

00:03:04.518 --> 00:03:06.018
이 지점으로 내려왔다가

00:03:06.018 --> 00:03:07.681
다시 올라가서 그래프를
따라갈 수밖에 없습니다

00:03:07.681 --> 00:03:09.686
둘 중 어느 경우이든 연필을
들었다가 놔야 합니다

00:03:09.686 --> 00:03:12.355
직관적으로 봤을 때도
불연속성을 알 수 있습니다

00:03:12.355 --> 00:03:14.934
하지만 이 특정
불연속성의 경우에는

00:03:14.934 --> 00:03:17.381
한 점에서 도약, 혹은 비약하여

00:03:17.381 --> 00:03:19.584
아래의 점으로 이동해야
그래프가 계속됩니다

00:03:19.584 --> 00:03:22.379
직관적인 유래에 따라

00:03:22.380 --> 00:03:27.760
이는 비약 불연속성이라고 불립니다

00:03:27.760 --> 00:03:31.240
이는 물론 없앨 수 있는
불연속성에 해당합니다

00:03:31.245 --> 00:03:33.775
이것이 극한과 어떻게
관련을 가질까요?

00:03:33.775 --> 00:03:37.704
여기에서 좌극한과
우극한이 존재하지만

00:03:37.704 --> 00:03:39.242
두 극한값은 서로 다릅니다

00:03:39.242 --> 00:03:41.925
따라서 양쪽 극한이
존재하지 않습니다

00:03:41.925 --> 00:03:45.566
예를 들어 이 함수는

00:03:45.566 --> 00:03:48.580
2 이하의 x값에서는

00:03:48.580 --> 00:03:51.022
y = x²의 그래프를 가집니다

00:03:51.022 --> 00:03:53.159
x값이 2보다 클 때에는

00:03:53.159 --> 00:03:55.179
√x의 그래프를 가집니다

00:03:55.179 --> 00:03:57.059
이러한 시나리오에서

00:03:57.060 --> 00:04:02.480
x가 2에 한없이 가까워질 때

00:04:02.480 --> 00:04:08.120
f(x)의 극한값을 구해본다면

00:04:08.200 --> 00:04:09.570
좌극한인 경우에

00:04:09.570 --> 00:04:11.010
이 극한값은 4일 것입니다

00:04:11.010 --> 00:04:12.192
여기 이 값을 향해 가까워지니까요

00:04:12.192 --> 00:04:14.683
이것은 함수의
실제 값이기도 합니다

00:04:14.683 --> 00:04:18.598
하지만 x가 2에 한없이
가까워지는데

00:04:18.598 --> 00:04:20.995
이것이 우극한이라면

00:04:20.995 --> 00:04:22.881
극한값은 무엇일까요?

00:04:22.881 --> 00:04:24.070
오른쪽으로부터 가까워지니

00:04:24.070 --> 00:04:25.534
이것은 √x이고

00:04:25.534 --> 00:04:28.606
따라서 √2에 한없이
가까워지게 됩니다

00:04:28.606 --> 00:04:29.714
이것이 √2라는 것을

00:04:29.714 --> 00:04:30.716
그래프만 보고 알 수는
없습니다

00:04:30.716 --> 00:04:32.417
제가 Desmos에서

00:04:32.417 --> 00:04:34.394
이 함수를 정의할 때
그렇게 정의했기 때문에

00:04:34.394 --> 00:04:36.157
저는 알고 있지만 말이죠

00:04:36.157 --> 00:04:37.842
하지만 그래프만 봤을 때도

00:04:37.842 --> 00:04:39.586
좌극한과 우극한이

00:04:39.586 --> 00:04:41.066
서로 다른 극한값을 가진다는 것을

00:04:41.066 --> 00:04:42.770
쉽게 알 수 있습니다

00:04:42.770 --> 00:04:44.917
따라서 한쪽 극한들이
존재하더라도

00:04:44.917 --> 00:04:46.401
같은 극한값을 향해 가까워지지
않고 있습니다

00:04:46.401 --> 00:04:48.230
따라서 양쪽 극한은
존재하지 않습니다

00:04:48.230 --> 00:04:49.850
양쪽 극한이 존재하지 않는다면

00:04:49.850 --> 00:04:51.541
함수의 그 지점에서의 실제 값과는
당연히 다를 것입니다

00:04:51.541 --> 00:04:54.508
함수가 정의되어
있더라도 말입니다

00:04:54.508 --> 00:04:58.744
이것이 비약 불연속성이 연속성의
조건을 충족하지 못하는 이유입니다

00:04:58.744 --> 00:04:59.885
다시 강조하지만
직관적으로 이해할 수 있습니다

00:04:59.885 --> 00:05:01.459
여기서 연필을 들었다가 놔서

00:05:01.459 --> 00:05:02.546
도약을 해야 되니까요

00:05:02.546 --> 00:05:06.158
이 두 곡선은 서로
연결되어 있지 않습니다

00:05:06.158 --> 00:05:08.752
여기서 보고 있는 이것은

00:05:08.752 --> 00:05:10.000
미적분의 준비 코스에서도 배웠던

00:05:10.000 --> 00:05:17.380
점근적 불연속성이라고 합니다

00:05:17.460 --> 00:05:20.320
점근적

00:05:20.320 --> 00:05:23.840
불연속성

00:05:23.840 --> 00:05:27.520
직관적으로 봤을 때
여기 점근선이 있습니다

00:05:27.525 --> 00:05:30.388
x가 2일 때 수직점근선이 있습니다

00:05:30.388 --> 00:05:33.602
그래프를 왼쪽으로부터

00:05:33.602 --> 00:05:34.855
쭉 따라가 보면

00:05:34.855 --> 00:05:36.803
계속해서 따라가게 됩니다

00:05:36.803 --> 00:05:40.134
영원히 따라갈 수 있습니다

00:05:40.134 --> 00:05:42.126
왜냐하면 범위가 무한하고

00:05:42.126 --> 00:05:44.484
계속 가면 갈수록

00:05:44.484 --> 00:05:46.332
왼쪽으로부터 2에 무한히
가까워지기 때문입니다

00:05:46.332 --> 00:05:48.936
x가 2일 때 우극한의 경우에는

00:05:48.936 --> 00:05:51.132
영원히 위쪽으로 향하게 됩니다

00:05:51.132 --> 00:05:52.757
제가 계속 이 그래프를
따라가 보더라도

00:05:52.757 --> 00:05:55.067
그래프가 무한하게
계속되기 때문에

00:05:55.067 --> 00:05:58.660
우리 생애 내에서

00:05:58.660 --> 00:06:02.367
이 그래프를 끝까지
따라가는 것은 불가능하죠

00:06:02.367 --> 00:06:04.418
하지만 여기서 여러분이
이해해야 하는 것은

00:06:04.418 --> 00:06:08.656
이 지점에서 이 지점까지
연필을 들지 않고서는 갈 수 없고

00:06:08.660 --> 00:06:13.760
우리의 극한의 정의와
관련지어 본다면

00:06:13.760 --> 00:06:16.930
좌극한과 우극한 모두
무한하므로

00:06:16.930 --> 00:06:18.398
두 극한값 모두 존재하지
않는다고 볼 수 있습니다

00:06:18.400 --> 00:06:21.680
극한값이 존재하지 않으면
조건 또한 맞출 수 없죠

00:06:21.740 --> 00:06:28.440
x가 왼쪽으로부터 2에 한없이
가까워질 때

00:06:28.450 --> 00:06:31.053
f(x)는 음의 방향으로 무한히
진행하는 것을 볼 수 있습니다

00:06:31.053 --> 00:06:33.352
이런 수를 본 적이 있을지 모르겠네요

00:06:33.352 --> 00:06:34.601
마이너스 무한대 말입니다

00:06:34.601 --> 00:06:36.975
완전히 정확한 표현은
아니지만 말입니다

00:06:36.980 --> 00:06:40.640
보다 정확하게는 무한하다고
표현하는 것이 맞습니다

00:06:40.640 --> 00:06:42.620
무한하다

00:06:42.620 --> 00:06:44.920
이와 마찬가지로

00:06:44.920 --> 00:06:46.751
x가 오른쪽으로부터

00:06:46.751 --> 00:06:48.606
2에 한없이 가까워질 때

00:06:48.606 --> 00:06:49.918
f(x)의 극한값은

00:06:49.918 --> 00:06:52.953
플러스 무한대를 향해
무한히 가까워집니다

00:06:52.953 --> 00:06:54.367
아까와 마찬가지로

00:06:54.367 --> 00:06:55.786
이 극한값 역시

00:06:55.786 --> 00:06:57.983
무한합니다

00:06:57.983 --> 00:06:59.297
그리고

00:06:59.297 --> 00:07:01.440
이 식이 무한하고
극한값이 존재하지 않으므로

00:07:01.440 --> 00:07:02.631
이 조건을 맞출 수 없습니다

00:07:02.631 --> 00:07:04.950
따라서 불연속성을 가집니다

00:07:04.950 --> 00:07:07.696
즉 이것은 없앨 수 없는
불연속성입니다

00:07:07.696 --> 00:07:09.931
비약 불연속성, 즉 도약해야만
연속되는 함수가 있는가 하면

00:07:09.931 --> 00:07:12.217
이처럼 수직점근선이 있는
경우도 있습니다

00:07:12.217 --> 00:07:15.045
이것을 점근적 불연속성이라고
부릅니다