Trong video này mình sẽ
nói về các dạng gián đoạn
mà chắc hẳn bạn đã gặp ở chương đại số rồi,
hay tiền giải tích, nhưng giờ mình sẽ liên hệ thêm với
giới hạn hai bên và giới hạn một bên.
Vậy đầu tiên mình hãy xem qua cách phân loại gián đoạn.
Vậy ở bên trái mình có đường cong này,
nhìn như y bằng x bình,
cho đến khi x bằng 3.
Và thay vì nó bằng 3 bình,
ở điểm này mình có khoảng trống,
và hàm tại 3 được định nghĩa bằng 4.
Và sau đó nó tiếp tục nhìn giống
y bằng x bình trở lại.
Cái này được biết đến như
gián đoạn điểm, hay gián đoạn bỏ được.
Và cũng dễ hiểu tại sao nó tên như vậy.
Tại điểm đó mình không liên tục.
Bạn có thể thử định nghĩa lại hàm
cho nó liên tục tại điểm đó,
nên gián đoạn này bỏ được.
Nhưng vậy thì nó liên quan gì đến định nghĩa
liên tục?
Hãy nhớ lại định nghĩa của tính liên tục.
Mình nói f liên tục.
liên tục,
khi và chỉ khi,
hay để mình viết f liên tục
tại x bằng c, khi và chỉ khi
giới hạn khi x tiến đến c
của f(x) bằng với giá trị thật của hàm
khi x bằng c.
Vậy tại sao cái này không thoả mãn?
Ở đây giới hạn hai bên tồn tại.
Mình có thể thấy là nếu c ở đây bằng 3,
giới hạn
khi x tiến đến 3
của f(x),
nó sẽ nhìn như, hãy quan sát đồ thị đây,
và mình biết đây thật sự là đồ thị y bằng x bình,
ngoài việc tại gián đoạn ngay đây,
nó bằng 9.
Nhưng vấn đề là, cách mà đồ thị này được vẽ
nó không diễn tả giá trị thật của hàm.
Hàm này
f(3), cách mà nó được vẽ
f(3) sẽ bằng 4.
Vậy đây là trường hợp giới hạn hai bên tồn tại,
nhưng nó không bằng giá trị của hàm.
Mình có thể gặp nhiều trường hợp khác mà hàm
còn không được định nghĩa,
vậy cả điểm này sẽ không có.
Vậy, lần nữa, giới hạn có thể tồn tại,
nhưng hàm không được định nghĩa ở đó.
Vậy, trường hợp nào cũng cũng không thoả mãn hết điều kiện
để được liên tục.
Vậy đó là vì sao gián đoạn điểm hay gián đoạn bỏ được
lại không liên tục
dựa trên định nghĩa liên tục của mình.
Rồi giờ hãy nhìn ví dụ thứ hai này.
Nếu mình dùng trực giác,
nếu mình thử lần theo cái này,
mình thấy là khi mình đến x bằng 2,
mình phải nhấc bút lên mới lần tiếp được.
Vậy đó là một dấu hiệu nhận biết là mình không liên tục.
Mình thấy nó ở đây nữa.
Nếu mình lần theo hàm này, mình phải nhấc bút lên,
mình không thể tiến đến điểm đó
mà phải nhảy xuống đây,
rồi mới đi tiếp.
Vậy trong cả hai trường hợp mình phải nhấc bút.
Vậy, trực giác cho thấy nó không liên tục.
Nhưng ở dạng gián đoạn này,
mình nhảy từ một điểm,
và rồi nhảy xuống đây để đi tiếp,
nó được gọi là gián đoạn
bước nhảy.
Gián đoạn bước nhảy.
Và cái này, tất nhiên là gián đoạn bỏ được.
Vậy cái này liên quan gì đến giới hạn?
Ở đây tồn tại giới hạn trái và phải,
nhưng chúng không bằng nhau,
nên mình không có giới hạn hai bên.
Vậy, ví dụ, cho riêng cái này,
với mọi giá trị x nhỏ hơn và bằng 2,
đây là đồ thị y bằng x bình.
Và rồi cho x lớn hơn 2,
nó là đồ thị căn bậc hai x.
Vậy ở trường hợp này,
nếu mình lấy giới hạn
của f(x)
khi x tiến đến
2
từ phía trái,
nó sẽ bằng 4,
mình đang tiến đến giá trị này.
Và nó thật sự là giá trị của hàm.
Nhưng nếu mình lấy giới hạn khi x tiến đến 2
từ phía phải của f(x),
nó sẽ bằng gì?
Khi tiến từ phía phải,
cái này sẽ là căn bậc hai x,
vậy nó đang tiến đến căn bậc hai của 2.
Bạn không biết nó là căn bậc hai của 2
chỉ nhìn như vầy.
Mình biết vậy chỉ vì khi mình
vào Desmos để định nghĩa hàm,
đó là hàm mình đã sử dụng.
Nhưng chỉ cần nhìn mình cũng thấy
là mình đang tiến đến 2 giá trị khác nhau
khi mình tiến đến từ trái
và khi mình đến từ phải.
Vậy ngay cả khi giới hạn một bên tồn tại,
hai giới hạn không tiến đến cùng giá trị,
nên giới hạn hai bên không tồn tại.
Và nếu giới hạn hai bên không tồn tại,
nó chắc chắn không thể bằng giá trị
của hàm ở đây, kể cả khi hàm được xác định.
Và đó là tại sao gián đoạn bước nhảy không liên tục.
Nãy giờ mình dùng trực giác.
Mình thấy, nè, mình phải nhảy,
phải nhấc bút.
Hai cái này không liền với nhau.
Cuối cùng, mình thấy ở đây,
khi mình học tiền giải tích,
cái này được biết đến là giới hạn vô cực
vô cực,
giới hạn
vô cực
vô cực.
Và theo trực giác, mình có tiệm cận ở đây.
Nó là một tiệm cận đứng tại x bằng 2.
Nếu mình thử lần theo đồ thị
từ phía trái,
mình sẽ đi hoài.
Mình thật sự sẽ đi mãi mãi, tại vì
nó sẽ chạy đến vô cực,
nó không có giới hạn mặc cho mình tiến càng gần
đến x bằng 2 từ phía trái.
Và nếu mình thử tiến đến x bằng 2 từ phía phải,
một lần nữa mình không có giới hạn ở trên.
Ngay cả khi mình có thể,
và khi mình nói không giới hạn, ý mình là vô cực,
nên nó thật sự không thể
cho một người nhỏ bé có thể lần hết cái này.
Nhưng mình có thể thấy được mình không thể
vẽ từ đây đến đây mà không nhấc bút lên.
Và nếu mình muốn liên hệ nó với khái niệm giới hạn,
nó sẽ là
cả giới hạn trái và phải đều không có giới hạn,
vậy chúng không tồn tại.
Mà nếu không tồn tại, thì mình không thể thoả mãn các điều kiện này.
Vậy nếu mình nói
giới hạn
khi x tiến đến 2 từ phía trái của f(x)
mình có thể thấy nó không có giới hạn theo hướng âm
Bạn nhiều khi sẽ thấy có người viết như vầy,
âm vô cực.
Nhưng vậy thì không chính xác lắm.
Cách nói đúng hơn là nó không có giới hạn,
không được giới hạn.
Cũng như vậy, nếu mình nghĩ về giới hạn
khi x tiến đến 2
từ phía phải
của f(x),
nó sẽ không có giới hạn phía dương vô cực.
Vậy, một lần nữa,
cái này cũng vậy,
nó cũng không có giới hạn.
Và
vì nó không có giới hạn nên giới hạn mình không tồn tại,
nó không thoả mãn các điều kiện này.
Và vậy mình sẽ không liên tục.
Vậy đây là gián đoạn bỏ được,
đây gián đoạn có bước nhảy, mình đang nhảy
và đây mình có các tiệm cận, tiệm cận đứng.
Đây là gián đoạn vô cực.