0:00:00.019,0:00:01.795
在本视频中，

0:00:01.795,0:00:04.447
我们将讨论不同的间断点，

0:00:04.447,0:00:08.489
你可能已经在代数或预科微积分课程中学习过了，

0:00:08.489,0:00:14.876
但这里相关的内容是双边极限和单边极限。

0:00:14.876,0:00:18.727
首先让我们来回顾一下间断点的分类。

0:00:18.727,0:00:21.414
看左边的这条曲线，

0:00:21.414,0:00:25.642
它代表了y等于x的平方，

0:00:25.642,0:00:28.502
除了x=3这一点。

0:00:28.502,0:00:31.243
在这一点函数值并非3的平方，

0:00:31.243,0:00:33.111
而是一个开放点，

0:00:33.111,0:00:35.893
当x=3时，函数的值是4。

0:00:35.893,0:00:37.420
除了这一点，

0:00:37.420,0:00:39.543
y等于x的平方。

0:00:39.543,0:00:42.163
这个点我们称之为可消间断点，

0:00:42.163,0:00:45.834
或者可去间断点。

0:00:45.834,0:00:47.523
理由很明显。

0:00:47.523,0:00:49.821
函数在这个点是不连续的。

0:00:49.821,0:00:52.665
但是你可以重定义函数

0:00:52.665,0:00:54.747
使得在这一点函数是连续的，

0:00:54.747,0:00:57.853
所以这个间断点是可以消除的。

0:00:57.853,0:00:59.520
但是怎么把它

0:00:59.520,0:01:01.833
跟连续性的定义联系起来呢？

0:01:01.833,0:01:05.243
这样，我们再来看看连续性的定义。

0:01:05.243,0:01:07.772
我们说函数f是连续的，

0:01:07.772,0:01:10.156
连续的，

0:01:10.156,0:01:12.266
当且仅当，

0:01:12.266,0:01:16.103
我可以这么写，函数f当x=c时是连续的，

0:01:16.103,0:01:18.094
当且仅当

0:01:18.094,0:01:23.995
x趋近c时函数f(x)的极限

0:01:23.995,0:01:28.739
等于函数f在x=c时的值。

0:01:28.739,0:01:30.714
那么为什么函数f在这个点不连续呢？

0:01:30.714,0:01:33.460
实际上，函数f在这个点的双边极限是存在的。

0:01:33.460,0:01:37.232
你会发现，对于这个曲线当c=3，

0:01:37.232,0:01:43.703
函数f(x)在x趋近3时的极限，

0:01:43.703,0:01:46.412
从图上来看，

0:01:46.412,0:01:48.679
因为我已经知道这条曲线是y等于x的平方

0:01:48.679,0:01:51.410
除了这儿这个间断点，

0:01:51.410,0:01:54.066
所以这个极限是9。

0:01:54.066,0:01:57.511
但是问题是，从图示来看，

0:01:57.511,0:02:00.342
函数在这点的值不等于9。

0:02:00.342,0:02:01.909
函数f在3这一点的值，

0:02:01.909,0:02:04.864
从图上来看，

0:02:04.864,0:02:07.890
f(3)=4。

0:02:07.890,0:02:11.305
所以这种情形是双边极限存在，

0:02:11.305,0:02:14.679
但是不等于函数的值。

0:02:14.679,0:02:16.594
还有的可能情形是

0:02:16.594,0:02:18.144
函数在该点没有定义，

0:02:18.144,0:02:20.144
即在这一点没有值，

0:02:20.144,0:02:22.391
即极限存在，

0:02:22.391,0:02:24.437
但是函数在这里没有定义。

0:02:24.437,0:02:25.823
不管是以上哪种情况，

0:02:25.823,0:02:30.427
连续性的条件都不满足。

0:02:30.427,0:02:34.153
这就是可去间断点如何，

0:02:34.153,0:02:36.169
以及为什么从连续性的

0:02:36.169,0:02:40.770
极限定义的条件来说它是不连续的。

0:02:40.770,0:02:43.281
现在我们来看第二个例子。

0:02:43.281,0:02:45.924
我们来做一个直观的测试，

0:02:45.924,0:02:48.629
如果我们沿着这条曲线画，

0:02:48.629,0:02:52.461
可以看到到了x=2这一点，

0:02:52.461,0:02:55.139
我必须要提笔到另一点以继续。

0:02:55.139,0:02:58.222
这就表明有间断点。

0:02:58.222,0:03:00.512
这儿也是一样的情况。

0:03:00.512,0:03:03.595
如果我们沿着这条曲线画，我必须要提笔

0:03:03.595,0:03:04.518
我不能画到这个开放点，

0:03:04.518,0:03:06.018
我必须跳到这个点，

0:03:06.018,0:03:07.681
然后再跳回这儿继续。

0:03:07.681,0:03:09.686
两种情况下我都得提起笔尖。

0:03:09.686,0:03:12.355
所以直观地说，函数是不连续的。

0:03:12.355,0:03:14.934
这种间断点，

0:03:14.934,0:03:17.381
我必须从一个点跳开，

0:03:17.381,0:03:19.584
往下跳到这儿以继续，

0:03:19.584,0:03:24.432
直观地，这叫做跳跃间断点，

0:03:24.432,0:03:27.754
跳跃间断点。

0:03:27.754,0:03:31.245
而这个，叫做可去间断点。

0:03:31.245,0:03:33.775
那么这跟极限有什么关系呢？

0:03:33.775,0:03:37.704
这里，左极限和右极限都存在，

0:03:37.704,0:03:39.242
但是它们不相等，

0:03:39.242,0:03:41.925
所以双边极限不存在。

0:03:41.925,0:03:45.566
以这条曲线为例，

0:03:45.566,0:03:48.580
当x小于或等于2时，

0:03:48.580,0:03:51.022
y等于x的平方。

0:03:51.022,0:03:53.159
当x大于2时

0:03:53.159,0:03:55.179
y等于x的平方根。

0:03:55.179,0:03:57.059
所以在这种情况下，

0:03:57.059,0:04:09.570
如果你求解函数f(x)在x从左边趋近2时的极限值，

0:04:09.570,0:04:11.010
你会得到4，

0:04:11.010,0:04:12.192
你将趋近这个值。

0:04:12.192,0:04:14.683
这个值也是函数在这个点的值。

0:04:14.683,0:04:20.995
但是如果你想得到当x从右边趋近2时函数f(x)的极限，

0:04:20.995,0:04:22.881
你会得到什么结果呢？

0:04:22.881,0:04:24.070
好，当从右边趋近2时，

0:04:24.070,0:04:25.534
实际上是x的平方根，

0:04:25.534,0:04:28.606
所以f的值趋近根号2。

0:04:28.606,0:04:29.714
从图上，

0:04:29.714,0:04:30.716
你可能看不出来这是根号2。

0:04:30.716,0:04:32.417
我知道这点，

0:04:32.417,0:04:34.394
因为我定义了这个函数，

0:04:34.394,0:04:36.157
把它用到了这里。

0:04:36.157,0:04:37.842
但是从图可以清楚地看出

0:04:37.842,0:04:39.586
你是在趋近两个不同的值

0:04:39.586,0:04:41.066
当你从左边

0:04:41.066,0:04:42.770
或从右边趋近时。

0:04:42.770,0:04:44.917
所以即使单边极限存在，

0:04:44.917,0:04:46.401
但是它们趋近的值不同，

0:04:46.401,0:04:48.230
那么双边极限不存在。

0:04:48.230,0:04:49.850
而如果双边极限不存在，

0:04:49.850,0:04:51.541
显然就不存在一个等于函数值的极限

0:04:51.541,0:04:54.508
即使函数在这个点是有定义的。

0:04:54.508,0:04:58.744
这就是为什么跳跃间断点不满足连续性条件。

0:04:58.744,0:04:59.885
再则，这也是直观的，

0:04:59.885,0:05:01.459
你看，这儿有一个跳跃点，

0:05:01.459,0:05:02.546
我得提起笔尖。

0:05:02.546,0:05:06.158
这两个点并没有连起来。

0:05:06.158,0:05:08.752
最后，来看这个，

0:05:08.752,0:05:10.000
当你学习预科微积分时，

0:05:10.000,0:05:13.617
我们把这叫做无穷间断点，

0:05:13.617,0:05:17.462
无穷

0:05:17.462,0:05:19.124
无穷

0:05:19.124,0:05:21.508
间断点

0:05:21.508,0:05:23.780
间断点。

0:05:23.780,0:05:27.525
直观上，这儿有一条渐近线。

0:05:27.525,0:05:30.388
这是x=2的垂直渐近线。

0:05:30.388,0:05:33.602
如果我试着从左边

0:05:33.602,0:05:34.855
沿着曲线画，

0:05:34.855,0:05:36.803
我将一直画下去，

0:05:36.803,0:05:38.554
事实上，将会永永远远画下去，

0:05:38.554,0:05:42.126
因为这是无穷的，

0:05:42.126,0:05:44.484
当我从左边越来越接近2时，

0:05:44.484,0:05:46.332
函数的值趋近无限。

0:05:46.332,0:05:48.936
如果我试着从右边趋近2时，

0:05:48.936,0:05:51.132
函数的值趋近无限大。

0:05:51.132,0:05:52.757
但是即使我能，

0:05:52.757,0:05:54.957
而当我说无限，这个值一直到无穷，

0:05:54.957,0:05:55.917
所以实际上

0:05:55.917,0:06:02.508
在有限的生命里是不可能画出这个完整的曲线。

0:06:02.508,0:06:03.966
但是，你能同样地看到，

0:06:03.966,0:06:08.672
不提笔尖你是不可能从这边画到这边的。

0:06:08.672,0:06:12.615
如果用极限表达，

0:06:12.615,0:06:13.551
那就是

0:06:13.551,0:06:17.208
左边和右边的极限都是无限的，

0:06:17.208,0:06:18.455
所以它们不存在。

0:06:18.455,0:06:21.726
如果它们不存在，这个条件自然不满足。

0:06:21.726,0:06:23.603
如果把它写下来，

0:06:23.603,0:06:28.563
当x从左边趋近2时，f(x)的极限

0:06:28.563,0:06:31.242
趋近负方向的无限。

0:06:31.242,0:06:34.861
你可能看到人们有时把它写成负无穷。

0:06:34.861,0:06:37.470
这是数学的简易表达方式。

0:06:37.470,0:06:40.827
正确的说法是它是无限的，

0:06:40.827,0:06:42.790
无限的。

0:06:42.790,0:06:49.333
同样，考虑当x从右边趋近2时f(x)的极限，

0:06:49.333,0:06:53.337
这个极限值无限趋近正无穷。

0:06:53.337,0:06:54.666
即

0:06:54.666,0:06:58.337
这种情形下极限也是无限的。

0:06:58.337,0:07:01.651
那么因为极限是无限的，所以不存在，

0:07:01.651,0:07:03.140
那么就不满足这个条件。

0:07:03.140,0:07:05.026
所以函数在这点不连续。

0:07:05.026,0:07:07.901
总结一下，这是可去间断点，

0:07:07.901,0:07:10.247
这是跳跃间断点，有跳跃点，

0:07:10.247,0:07:12.205
而这里有渐近线，垂直渐近线。

0:07:12.205,0:07:15.201
这是一个无穷间断点。