1
00:00:00,019 --> 00:00:01,795
在本视频中，

2
00:00:01,795 --> 00:00:04,447
我们将讨论不同的间断点，

3
00:00:04,447 --> 00:00:08,489
你可能已经在代数或预科微积分课程中学习过了，

4
00:00:08,489 --> 00:00:14,876
但这里相关的内容是双边极限和单边极限。

5
00:00:14,876 --> 00:00:18,727
首先让我们来回顾一下间断点的分类。

6
00:00:18,727 --> 00:00:21,414
看左边的这条曲线，

7
00:00:21,414 --> 00:00:25,642
它代表了y等于x的平方，

8
00:00:25,642 --> 00:00:28,502
除了x=3这一点。

9
00:00:28,502 --> 00:00:31,243
在这一点函数值并非3的平方，

10
00:00:31,243 --> 00:00:33,111
而是一个开放点，

11
00:00:33,111 --> 00:00:35,893
当x=3时，函数的值是4。

12
00:00:35,893 --> 00:00:37,420
除了这一点，

13
00:00:37,420 --> 00:00:39,543
y等于x的平方。

14
00:00:39,543 --> 00:00:42,163
这个点我们称之为可消间断点，

15
00:00:42,163 --> 00:00:45,834
或者可去间断点。

16
00:00:45,834 --> 00:00:47,523
理由很明显。

17
00:00:47,523 --> 00:00:49,821
函数在这个点是不连续的。

18
00:00:49,821 --> 00:00:52,665
但是你可以重定义函数

19
00:00:52,665 --> 00:00:54,747
使得在这一点函数是连续的，

20
00:00:54,747 --> 00:00:57,853
所以这个间断点是可以消除的。

21
00:00:57,853 --> 00:00:59,520
但是怎么把它

22
00:00:59,520 --> 00:01:01,833
跟连续性的定义联系起来呢？

23
00:01:01,833 --> 00:01:05,243
这样，我们再来看看连续性的定义。

24
00:01:05,243 --> 00:01:07,772
我们说函数f是连续的，

25
00:01:07,772 --> 00:01:10,156
连续的，

26
00:01:10,156 --> 00:01:12,266
当且仅当，

27
00:01:12,266 --> 00:01:16,103
我可以这么写，函数f当x=c时是连续的，

28
00:01:16,103 --> 00:01:18,094
当且仅当

29
00:01:18,094 --> 00:01:23,995
x趋近c时函数f(x)的极限

30
00:01:23,995 --> 00:01:28,739
等于函数f在x=c时的值。

31
00:01:28,739 --> 00:01:30,714
那么为什么函数f在这个点不连续呢？

32
00:01:30,714 --> 00:01:33,460
实际上，函数f在这个点的双边极限是存在的。

33
00:01:33,460 --> 00:01:37,232
你会发现，对于这个曲线当c=3，

34
00:01:37,232 --> 00:01:43,703
函数f(x)在x趋近3时的极限，

35
00:01:43,703 --> 00:01:46,412
从图上来看，

36
00:01:46,412 --> 00:01:48,679
因为我已经知道这条曲线是y等于x的平方

37
00:01:48,679 --> 00:01:51,410
除了这儿这个间断点，

38
00:01:51,410 --> 00:01:54,066
所以这个极限是9。

39
00:01:54,066 --> 00:01:57,511
但是问题是，从图示来看，

40
00:01:57,511 --> 00:02:00,342
函数在这点的值不等于9。

41
00:02:00,342 --> 00:02:01,909
函数f在3这一点的值，

42
00:02:01,909 --> 00:02:04,864
从图上来看，

43
00:02:04,864 --> 00:02:07,890
f(3)=4。

44
00:02:07,890 --> 00:02:11,305
所以这种情形是双边极限存在，

45
00:02:11,305 --> 00:02:14,679
但是不等于函数的值。

46
00:02:14,679 --> 00:02:16,594
还有的可能情形是

47
00:02:16,594 --> 00:02:18,144
函数在该点没有定义，

48
00:02:18,144 --> 00:02:20,144
即在这一点没有值，

49
00:02:20,144 --> 00:02:22,391
即极限存在，

50
00:02:22,391 --> 00:02:24,437
但是函数在这里没有定义。

51
00:02:24,437 --> 00:02:25,823
不管是以上哪种情况，

52
00:02:25,823 --> 00:02:30,427
连续性的条件都不满足。

53
00:02:30,427 --> 00:02:34,153
这就是可去间断点如何，

54
00:02:34,153 --> 00:02:36,169
以及为什么从连续性的

55
00:02:36,169 --> 00:02:40,770
极限定义的条件来说它是不连续的。

56
00:02:40,770 --> 00:02:43,281
现在我们来看第二个例子。

57
00:02:43,281 --> 00:02:45,924
我们来做一个直观的测试，

58
00:02:45,924 --> 00:02:48,629
如果我们沿着这条曲线画，

59
00:02:48,629 --> 00:02:52,461
可以看到到了x=2这一点，

60
00:02:52,461 --> 00:02:55,139
我必须要提笔到另一点以继续。

61
00:02:55,139 --> 00:02:58,222
这就表明有间断点。

62
00:02:58,222 --> 00:03:00,512
这儿也是一样的情况。

63
00:03:00,512 --> 00:03:03,595
如果我们沿着这条曲线画，我必须要提笔

64
00:03:03,595 --> 00:03:04,518
我不能画到这个开放点，

65
00:03:04,518 --> 00:03:06,018
我必须跳到这个点，

66
00:03:06,018 --> 00:03:07,681
然后再跳回这儿继续。

67
00:03:07,681 --> 00:03:09,686
两种情况下我都得提起笔尖。

68
00:03:09,686 --> 00:03:12,355
所以直观地说，函数是不连续的。

69
00:03:12,355 --> 00:03:14,934
这种间断点，

70
00:03:14,934 --> 00:03:17,381
我必须从一个点跳开，

71
00:03:17,381 --> 00:03:19,584
往下跳到这儿以继续，

72
00:03:19,584 --> 00:03:24,432
直观地，这叫做跳跃间断点，

73
00:03:24,432 --> 00:03:27,754
跳跃间断点。

74
00:03:27,754 --> 00:03:31,245
而这个，叫做可去间断点。

75
00:03:31,245 --> 00:03:33,775
那么这跟极限有什么关系呢？

76
00:03:33,775 --> 00:03:37,704
这里，左极限和右极限都存在，

77
00:03:37,704 --> 00:03:39,242
但是它们不相等，

78
00:03:39,242 --> 00:03:41,925
所以双边极限不存在。

79
00:03:41,925 --> 00:03:45,566
以这条曲线为例，

80
00:03:45,566 --> 00:03:48,580
当x小于或等于2时，

81
00:03:48,580 --> 00:03:51,022
y等于x的平方。

82
00:03:51,022 --> 00:03:53,159
当x大于2时

83
00:03:53,159 --> 00:03:55,179
y等于x的平方根。

84
00:03:55,179 --> 00:03:57,059
所以在这种情况下，

85
00:03:57,059 --> 00:04:09,570
如果你求解函数f(x)在x从左边趋近2时的极限值，

86
00:04:09,570 --> 00:04:11,010
你会得到4，

87
00:04:11,010 --> 00:04:12,192
你将趋近这个值。

88
00:04:12,192 --> 00:04:14,683
这个值也是函数在这个点的值。

89
00:04:14,683 --> 00:04:20,995
但是如果你想得到当x从右边趋近2时函数f(x)的极限，

90
00:04:20,995 --> 00:04:22,881
你会得到什么结果呢？

91
00:04:22,881 --> 00:04:24,070
好，当从右边趋近2时，

92
00:04:24,070 --> 00:04:25,534
实际上是x的平方根，

93
00:04:25,534 --> 00:04:28,606
所以f的值趋近根号2。

94
00:04:28,606 --> 00:04:29,714
从图上，

95
00:04:29,714 --> 00:04:30,716
你可能看不出来这是根号2。

96
00:04:30,716 --> 00:04:32,417
我知道这点，

97
00:04:32,417 --> 00:04:34,394
因为我定义了这个函数，

98
00:04:34,394 --> 00:04:36,157
把它用到了这里。

99
00:04:36,157 --> 00:04:37,842
但是从图可以清楚地看出

100
00:04:37,842 --> 00:04:39,586
你是在趋近两个不同的值

101
00:04:39,586 --> 00:04:41,066
当你从左边

102
00:04:41,066 --> 00:04:42,770
或从右边趋近时。

103
00:04:42,770 --> 00:04:44,917
所以即使单边极限存在，

104
00:04:44,917 --> 00:04:46,401
但是它们趋近的值不同，

105
00:04:46,401 --> 00:04:48,230
那么双边极限不存在。

106
00:04:48,230 --> 00:04:49,850
而如果双边极限不存在，

107
00:04:49,850 --> 00:04:51,541
显然就不存在一个等于函数值的极限

108
00:04:51,541 --> 00:04:54,508
即使函数在这个点是有定义的。

109
00:04:54,508 --> 00:04:58,744
这就是为什么跳跃间断点不满足连续性条件。

110
00:04:58,744 --> 00:04:59,885
再则，这也是直观的，

111
00:04:59,885 --> 00:05:01,459
你看，这儿有一个跳跃点，

112
00:05:01,459 --> 00:05:02,546
我得提起笔尖。

113
00:05:02,546 --> 00:05:06,158
这两个点并没有连起来。

114
00:05:06,158 --> 00:05:08,752
最后，来看这个，

115
00:05:08,752 --> 00:05:10,000
当你学习预科微积分时，

116
00:05:10,000 --> 00:05:13,617
我们把这叫做无穷间断点，

117
00:05:13,617 --> 00:05:17,462
无穷

118
00:05:17,462 --> 00:05:19,124
无穷

119
00:05:19,124 --> 00:05:21,508
间断点

120
00:05:21,508 --> 00:05:23,780
间断点。

121
00:05:23,780 --> 00:05:27,525
直观上，这儿有一条渐近线。

122
00:05:27,525 --> 00:05:30,388
这是x=2的垂直渐近线。

123
00:05:30,388 --> 00:05:33,602
如果我试着从左边

124
00:05:33,602 --> 00:05:34,855
沿着曲线画，

125
00:05:34,855 --> 00:05:36,803
我将一直画下去，

126
00:05:36,803 --> 00:05:38,554
事实上，将会永永远远画下去，

127
00:05:38,554 --> 00:05:42,126
因为这是无穷的，

128
00:05:42,126 --> 00:05:44,484
当我从左边越来越接近2时，

129
00:05:44,484 --> 00:05:46,332
函数的值趋近无限。

130
00:05:46,332 --> 00:05:48,936
如果我试着从右边趋近2时，

131
00:05:48,936 --> 00:05:51,132
函数的值趋近无限大。

132
00:05:51,132 --> 00:05:52,757
但是即使我能，

133
00:05:52,757 --> 00:05:54,957
而当我说无限，这个值一直到无穷，

134
00:05:54,957 --> 00:05:55,917
所以实际上

135
00:05:55,917 --> 00:06:02,508
在有限的生命里是不可能画出这个完整的曲线。

136
00:06:02,508 --> 00:06:03,966
但是，你能同样地看到，

137
00:06:03,966 --> 00:06:08,672
不提笔尖你是不可能从这边画到这边的。

138
00:06:08,672 --> 00:06:12,615
如果用极限表达，

139
00:06:12,615 --> 00:06:13,551
那就是

140
00:06:13,551 --> 00:06:17,208
左边和右边的极限都是无限的，

141
00:06:17,208 --> 00:06:18,455
所以它们不存在。

142
00:06:18,455 --> 00:06:21,726
如果它们不存在，这个条件自然不满足。

143
00:06:21,726 --> 00:06:23,603
如果把它写下来，

144
00:06:23,603 --> 00:06:28,563
当x从左边趋近2时，f(x)的极限

145
00:06:28,563 --> 00:06:31,242
趋近负方向的无限。

146
00:06:31,242 --> 00:06:34,861
你可能看到人们有时把它写成负无穷。

147
00:06:34,861 --> 00:06:37,470
这是数学的简易表达方式。

148
00:06:37,470 --> 00:06:40,827
正确的说法是它是无限的，

149
00:06:40,827 --> 00:06:42,790
无限的。

150
00:06:42,790 --> 00:06:49,333
同样，考虑当x从右边趋近2时f(x)的极限，

151
00:06:49,333 --> 00:06:53,337
这个极限值无限趋近正无穷。

152
00:06:53,337 --> 00:06:54,666
即

153
00:06:54,666 --> 00:06:58,337
这种情形下极限也是无限的。

154
00:06:58,337 --> 00:07:01,651
那么因为极限是无限的，所以不存在，

155
00:07:01,651 --> 00:07:03,140
那么就不满足这个条件。

156
00:07:03,140 --> 00:07:05,026
所以函数在这点不连续。

157
00:07:05,026 --> 00:07:07,901
总结一下，这是可去间断点，

158
00:07:07,901 --> 00:07:10,247
这是跳跃间断点，有跳跃点，

159
00:07:10,247 --> 00:07:12,205
而这里有渐近线，垂直渐近线。

160
00:07:12,205 --> 00:07:15,201
这是一个无穷间断点。