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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.02,0:00:01.80,Default,,0000,0000,0000,,在本视频中，
Dialogue: 0,0:00:01.80,0:00:04.45,Default,,0000,0000,0000,,我们将讨论不同的间断点，
Dialogue: 0,0:00:04.45,0:00:08.49,Default,,0000,0000,0000,,你可能已经在代数或预科微积分课程中学习过了，
Dialogue: 0,0:00:08.49,0:00:14.88,Default,,0000,0000,0000,,但这里相关的内容是双边极限和单边极限。
Dialogue: 0,0:00:14.88,0:00:18.73,Default,,0000,0000,0000,,首先让我们来回顾一下间断点的分类。
Dialogue: 0,0:00:18.73,0:00:21.41,Default,,0000,0000,0000,,看左边的这条曲线，
Dialogue: 0,0:00:21.41,0:00:25.64,Default,,0000,0000,0000,,它代表了y等于x的平方，
Dialogue: 0,0:00:25.64,0:00:28.50,Default,,0000,0000,0000,,除了x=3这一点。
Dialogue: 0,0:00:28.50,0:00:31.24,Default,,0000,0000,0000,,在这一点函数值并非3的平方，
Dialogue: 0,0:00:31.24,0:00:33.11,Default,,0000,0000,0000,,而是一个开放点，
Dialogue: 0,0:00:33.11,0:00:35.89,Default,,0000,0000,0000,,当x=3时，函数的值是4。
Dialogue: 0,0:00:35.89,0:00:37.42,Default,,0000,0000,0000,,除了这一点，
Dialogue: 0,0:00:37.42,0:00:39.54,Default,,0000,0000,0000,,y等于x的平方。
Dialogue: 0,0:00:39.54,0:00:42.16,Default,,0000,0000,0000,,这个点我们称之为可消间断点，
Dialogue: 0,0:00:42.16,0:00:45.83,Default,,0000,0000,0000,,或者可去间断点。
Dialogue: 0,0:00:45.83,0:00:47.52,Default,,0000,0000,0000,,理由很明显。
Dialogue: 0,0:00:47.52,0:00:49.82,Default,,0000,0000,0000,,函数在这个点是不连续的。
Dialogue: 0,0:00:49.82,0:00:52.66,Default,,0000,0000,0000,,但是你可以重定义函数
Dialogue: 0,0:00:52.66,0:00:54.75,Default,,0000,0000,0000,,使得在这一点函数是连续的，
Dialogue: 0,0:00:54.75,0:00:57.85,Default,,0000,0000,0000,,所以这个间断点是可以消除的。
Dialogue: 0,0:00:57.85,0:00:59.52,Default,,0000,0000,0000,,但是怎么把它
Dialogue: 0,0:00:59.52,0:01:01.83,Default,,0000,0000,0000,,跟连续性的定义联系起来呢？
Dialogue: 0,0:01:01.83,0:01:05.24,Default,,0000,0000,0000,,这样，我们再来看看连续性的定义。
Dialogue: 0,0:01:05.24,0:01:07.77,Default,,0000,0000,0000,,我们说函数f是连续的，
Dialogue: 0,0:01:07.77,0:01:10.16,Default,,0000,0000,0000,,连续的，
Dialogue: 0,0:01:10.16,0:01:12.27,Default,,0000,0000,0000,,当且仅当，
Dialogue: 0,0:01:12.27,0:01:16.10,Default,,0000,0000,0000,,我可以这么写，函数f当x=c时是连续的，
Dialogue: 0,0:01:16.10,0:01:18.09,Default,,0000,0000,0000,,当且仅当
Dialogue: 0,0:01:18.09,0:01:23.100,Default,,0000,0000,0000,,x趋近c时函数f(x)的极限
Dialogue: 0,0:01:23.100,0:01:28.74,Default,,0000,0000,0000,,等于函数f在x=c时的值。
Dialogue: 0,0:01:28.74,0:01:30.71,Default,,0000,0000,0000,,那么为什么函数f在这个点不连续呢？
Dialogue: 0,0:01:30.71,0:01:33.46,Default,,0000,0000,0000,,实际上，函数f在这个点的双边极限是存在的。
Dialogue: 0,0:01:33.46,0:01:37.23,Default,,0000,0000,0000,,你会发现，对于这个曲线当c=3，
Dialogue: 0,0:01:37.23,0:01:43.70,Default,,0000,0000,0000,,函数f(x)在x趋近3时的极限，
Dialogue: 0,0:01:43.70,0:01:46.41,Default,,0000,0000,0000,,从图上来看，
Dialogue: 0,0:01:46.41,0:01:48.68,Default,,0000,0000,0000,,因为我已经知道这条曲线是y等于x的平方
Dialogue: 0,0:01:48.68,0:01:51.41,Default,,0000,0000,0000,,除了这儿这个间断点，
Dialogue: 0,0:01:51.41,0:01:54.07,Default,,0000,0000,0000,,所以这个极限是9。
Dialogue: 0,0:01:54.07,0:01:57.51,Default,,0000,0000,0000,,但是问题是，从图示来看，
Dialogue: 0,0:01:57.51,0:02:00.34,Default,,0000,0000,0000,,函数在这点的值不等于9。
Dialogue: 0,0:02:00.34,0:02:01.91,Default,,0000,0000,0000,,函数f在3这一点的值，
Dialogue: 0,0:02:01.91,0:02:04.86,Default,,0000,0000,0000,,从图上来看，
Dialogue: 0,0:02:04.86,0:02:07.89,Default,,0000,0000,0000,,f(3)=4。
Dialogue: 0,0:02:07.89,0:02:11.30,Default,,0000,0000,0000,,所以这种情形是双边极限存在，
Dialogue: 0,0:02:11.30,0:02:14.68,Default,,0000,0000,0000,,但是不等于函数的值。
Dialogue: 0,0:02:14.68,0:02:16.59,Default,,0000,0000,0000,,还有的可能情形是
Dialogue: 0,0:02:16.59,0:02:18.14,Default,,0000,0000,0000,,函数在该点没有定义，
Dialogue: 0,0:02:18.14,0:02:20.14,Default,,0000,0000,0000,,即在这一点没有值，
Dialogue: 0,0:02:20.14,0:02:22.39,Default,,0000,0000,0000,,即极限存在，
Dialogue: 0,0:02:22.39,0:02:24.44,Default,,0000,0000,0000,,但是函数在这里没有定义。
Dialogue: 0,0:02:24.44,0:02:25.82,Default,,0000,0000,0000,,不管是以上哪种情况，
Dialogue: 0,0:02:25.82,0:02:30.43,Default,,0000,0000,0000,,连续性的条件都不满足。
Dialogue: 0,0:02:30.43,0:02:34.15,Default,,0000,0000,0000,,这就是可去间断点如何，
Dialogue: 0,0:02:34.15,0:02:36.17,Default,,0000,0000,0000,,以及为什么从连续性的
Dialogue: 0,0:02:36.17,0:02:40.77,Default,,0000,0000,0000,,极限定义的条件来说它是不连续的。
Dialogue: 0,0:02:40.77,0:02:43.28,Default,,0000,0000,0000,,现在我们来看第二个例子。
Dialogue: 0,0:02:43.28,0:02:45.92,Default,,0000,0000,0000,,我们来做一个直观的测试，
Dialogue: 0,0:02:45.92,0:02:48.63,Default,,0000,0000,0000,,如果我们沿着这条曲线画，
Dialogue: 0,0:02:48.63,0:02:52.46,Default,,0000,0000,0000,,可以看到到了x=2这一点，
Dialogue: 0,0:02:52.46,0:02:55.14,Default,,0000,0000,0000,,我必须要提笔到另一点以继续。
Dialogue: 0,0:02:55.14,0:02:58.22,Default,,0000,0000,0000,,这就表明有间断点。
Dialogue: 0,0:02:58.22,0:03:00.51,Default,,0000,0000,0000,,这儿也是一样的情况。
Dialogue: 0,0:03:00.51,0:03:03.60,Default,,0000,0000,0000,,如果我们沿着这条曲线画，我必须要提笔
Dialogue: 0,0:03:03.60,0:03:04.52,Default,,0000,0000,0000,,我不能画到这个开放点，
Dialogue: 0,0:03:04.52,0:03:06.02,Default,,0000,0000,0000,,我必须跳到这个点，
Dialogue: 0,0:03:06.02,0:03:07.68,Default,,0000,0000,0000,,然后再跳回这儿继续。
Dialogue: 0,0:03:07.68,0:03:09.69,Default,,0000,0000,0000,,两种情况下我都得提起笔尖。
Dialogue: 0,0:03:09.69,0:03:12.36,Default,,0000,0000,0000,,所以直观地说，函数是不连续的。
Dialogue: 0,0:03:12.36,0:03:14.93,Default,,0000,0000,0000,,这种间断点，
Dialogue: 0,0:03:14.93,0:03:17.38,Default,,0000,0000,0000,,我必须从一个点跳开，
Dialogue: 0,0:03:17.38,0:03:19.58,Default,,0000,0000,0000,,往下跳到这儿以继续，
Dialogue: 0,0:03:19.58,0:03:24.43,Default,,0000,0000,0000,,直观地，这叫做跳跃间断点，
Dialogue: 0,0:03:24.43,0:03:27.75,Default,,0000,0000,0000,,跳跃间断点。
Dialogue: 0,0:03:27.75,0:03:31.24,Default,,0000,0000,0000,,而这个，叫做可去间断点。
Dialogue: 0,0:03:31.24,0:03:33.78,Default,,0000,0000,0000,,那么这跟极限有什么关系呢？
Dialogue: 0,0:03:33.78,0:03:37.70,Default,,0000,0000,0000,,这里，左极限和右极限都存在，
Dialogue: 0,0:03:37.70,0:03:39.24,Default,,0000,0000,0000,,但是它们不相等，
Dialogue: 0,0:03:39.24,0:03:41.92,Default,,0000,0000,0000,,所以双边极限不存在。
Dialogue: 0,0:03:41.92,0:03:45.57,Default,,0000,0000,0000,,以这条曲线为例，
Dialogue: 0,0:03:45.57,0:03:48.58,Default,,0000,0000,0000,,当x小于或等于2时，
Dialogue: 0,0:03:48.58,0:03:51.02,Default,,0000,0000,0000,,y等于x的平方。
Dialogue: 0,0:03:51.02,0:03:53.16,Default,,0000,0000,0000,,当x大于2时
Dialogue: 0,0:03:53.16,0:03:55.18,Default,,0000,0000,0000,,y等于x的平方根。
Dialogue: 0,0:03:55.18,0:03:57.06,Default,,0000,0000,0000,,所以在这种情况下，
Dialogue: 0,0:03:57.06,0:04:09.57,Default,,0000,0000,0000,,如果你求解函数f(x)在x从左边趋近2时的极限值，
Dialogue: 0,0:04:09.57,0:04:11.01,Default,,0000,0000,0000,,你会得到4，
Dialogue: 0,0:04:11.01,0:04:12.19,Default,,0000,0000,0000,,你将趋近这个值。
Dialogue: 0,0:04:12.19,0:04:14.68,Default,,0000,0000,0000,,这个值也是函数在这个点的值。
Dialogue: 0,0:04:14.68,0:04:20.100,Default,,0000,0000,0000,,但是如果你想得到当x从右边趋近2时函数f(x)的极限，
Dialogue: 0,0:04:20.100,0:04:22.88,Default,,0000,0000,0000,,你会得到什么结果呢？
Dialogue: 0,0:04:22.88,0:04:24.07,Default,,0000,0000,0000,,好，当从右边趋近2时，
Dialogue: 0,0:04:24.07,0:04:25.53,Default,,0000,0000,0000,,实际上是x的平方根，
Dialogue: 0,0:04:25.53,0:04:28.61,Default,,0000,0000,0000,,所以f的值趋近根号2。
Dialogue: 0,0:04:28.61,0:04:29.71,Default,,0000,0000,0000,,从图上，
Dialogue: 0,0:04:29.71,0:04:30.72,Default,,0000,0000,0000,,你可能看不出来这是根号2。
Dialogue: 0,0:04:30.72,0:04:32.42,Default,,0000,0000,0000,,我知道这点，
Dialogue: 0,0:04:32.42,0:04:34.39,Default,,0000,0000,0000,,因为我定义了这个函数，
Dialogue: 0,0:04:34.39,0:04:36.16,Default,,0000,0000,0000,,把它用到了这里。
Dialogue: 0,0:04:36.16,0:04:37.84,Default,,0000,0000,0000,,但是从图可以清楚地看出
Dialogue: 0,0:04:37.84,0:04:39.59,Default,,0000,0000,0000,,你是在趋近两个不同的值
Dialogue: 0,0:04:39.59,0:04:41.07,Default,,0000,0000,0000,,当你从左边
Dialogue: 0,0:04:41.07,0:04:42.77,Default,,0000,0000,0000,,或从右边趋近时。
Dialogue: 0,0:04:42.77,0:04:44.92,Default,,0000,0000,0000,,所以即使单边极限存在，
Dialogue: 0,0:04:44.92,0:04:46.40,Default,,0000,0000,0000,,但是它们趋近的值不同，
Dialogue: 0,0:04:46.40,0:04:48.23,Default,,0000,0000,0000,,那么双边极限不存在。
Dialogue: 0,0:04:48.23,0:04:49.85,Default,,0000,0000,0000,,而如果双边极限不存在，
Dialogue: 0,0:04:49.85,0:04:51.54,Default,,0000,0000,0000,,显然就不存在一个等于函数值的极限
Dialogue: 0,0:04:51.54,0:04:54.51,Default,,0000,0000,0000,,即使函数在这个点是有定义的。
Dialogue: 0,0:04:54.51,0:04:58.74,Default,,0000,0000,0000,,这就是为什么跳跃间断点不满足连续性条件。
Dialogue: 0,0:04:58.74,0:04:59.88,Default,,0000,0000,0000,,再则，这也是直观的，
Dialogue: 0,0:04:59.88,0:05:01.46,Default,,0000,0000,0000,,你看，这儿有一个跳跃点，
Dialogue: 0,0:05:01.46,0:05:02.55,Default,,0000,0000,0000,,我得提起笔尖。
Dialogue: 0,0:05:02.55,0:05:06.16,Default,,0000,0000,0000,,这两个点并没有连起来。
Dialogue: 0,0:05:06.16,0:05:08.75,Default,,0000,0000,0000,,最后，来看这个，
Dialogue: 0,0:05:08.75,0:05:10.00,Default,,0000,0000,0000,,当你学习预科微积分时，
Dialogue: 0,0:05:10.00,0:05:13.62,Default,,0000,0000,0000,,我们把这叫做无穷间断点，
Dialogue: 0,0:05:13.62,0:05:17.46,Default,,0000,0000,0000,,无穷
Dialogue: 0,0:05:17.46,0:05:19.12,Default,,0000,0000,0000,,无穷
Dialogue: 0,0:05:19.12,0:05:21.51,Default,,0000,0000,0000,,间断点
Dialogue: 0,0:05:21.51,0:05:23.78,Default,,0000,0000,0000,,间断点。
Dialogue: 0,0:05:23.78,0:05:27.52,Default,,0000,0000,0000,,直观上，这儿有一条渐近线。
Dialogue: 0,0:05:27.52,0:05:30.39,Default,,0000,0000,0000,,这是x=2的垂直渐近线。
Dialogue: 0,0:05:30.39,0:05:33.60,Default,,0000,0000,0000,,如果我试着从左边
Dialogue: 0,0:05:33.60,0:05:34.86,Default,,0000,0000,0000,,沿着曲线画，
Dialogue: 0,0:05:34.86,0:05:36.80,Default,,0000,0000,0000,,我将一直画下去，
Dialogue: 0,0:05:36.80,0:05:38.55,Default,,0000,0000,0000,,事实上，将会永永远远画下去，
Dialogue: 0,0:05:38.55,0:05:42.13,Default,,0000,0000,0000,,因为这是无穷的，
Dialogue: 0,0:05:42.13,0:05:44.48,Default,,0000,0000,0000,,当我从左边越来越接近2时，
Dialogue: 0,0:05:44.48,0:05:46.33,Default,,0000,0000,0000,,函数的值趋近无限。
Dialogue: 0,0:05:46.33,0:05:48.94,Default,,0000,0000,0000,,如果我试着从右边趋近2时，
Dialogue: 0,0:05:48.94,0:05:51.13,Default,,0000,0000,0000,,函数的值趋近无限大。
Dialogue: 0,0:05:51.13,0:05:52.76,Default,,0000,0000,0000,,但是即使我能，
Dialogue: 0,0:05:52.76,0:05:54.96,Default,,0000,0000,0000,,而当我说无限，这个值一直到无穷，
Dialogue: 0,0:05:54.96,0:05:55.92,Default,,0000,0000,0000,,所以实际上
Dialogue: 0,0:05:55.92,0:06:02.51,Default,,0000,0000,0000,,在有限的生命里是不可能画出这个完整的曲线。
Dialogue: 0,0:06:02.51,0:06:03.97,Default,,0000,0000,0000,,但是，你能同样地看到，
Dialogue: 0,0:06:03.97,0:06:08.67,Default,,0000,0000,0000,,不提笔尖你是不可能从这边画到这边的。
Dialogue: 0,0:06:08.67,0:06:12.62,Default,,0000,0000,0000,,如果用极限表达，
Dialogue: 0,0:06:12.62,0:06:13.55,Default,,0000,0000,0000,,那就是
Dialogue: 0,0:06:13.55,0:06:17.21,Default,,0000,0000,0000,,左边和右边的极限都是无限的，
Dialogue: 0,0:06:17.21,0:06:18.46,Default,,0000,0000,0000,,所以它们不存在。
Dialogue: 0,0:06:18.46,0:06:21.73,Default,,0000,0000,0000,,如果它们不存在，这个条件自然不满足。
Dialogue: 0,0:06:21.73,0:06:23.60,Default,,0000,0000,0000,,如果把它写下来，
Dialogue: 0,0:06:23.60,0:06:28.56,Default,,0000,0000,0000,,当x从左边趋近2时，f(x)的极限
Dialogue: 0,0:06:28.56,0:06:31.24,Default,,0000,0000,0000,,趋近负方向的无限。
Dialogue: 0,0:06:31.24,0:06:34.86,Default,,0000,0000,0000,,你可能看到人们有时把它写成负无穷。
Dialogue: 0,0:06:34.86,0:06:37.47,Default,,0000,0000,0000,,这是数学的简易表达方式。
Dialogue: 0,0:06:37.47,0:06:40.83,Default,,0000,0000,0000,,正确的说法是它是无限的，
Dialogue: 0,0:06:40.83,0:06:42.79,Default,,0000,0000,0000,,无限的。
Dialogue: 0,0:06:42.79,0:06:49.33,Default,,0000,0000,0000,,同样，考虑当x从右边趋近2时f(x)的极限，
Dialogue: 0,0:06:49.33,0:06:53.34,Default,,0000,0000,0000,,这个极限值无限趋近正无穷。
Dialogue: 0,0:06:53.34,0:06:54.67,Default,,0000,0000,0000,,即
Dialogue: 0,0:06:54.67,0:06:58.34,Default,,0000,0000,0000,,这种情形下极限也是无限的。
Dialogue: 0,0:06:58.34,0:07:01.65,Default,,0000,0000,0000,,那么因为极限是无限的，所以不存在，
Dialogue: 0,0:07:01.65,0:07:03.14,Default,,0000,0000,0000,,那么就不满足这个条件。
Dialogue: 0,0:07:03.14,0:07:05.03,Default,,0000,0000,0000,,所以函数在这点不连续。
Dialogue: 0,0:07:05.03,0:07:07.90,Default,,0000,0000,0000,,总结一下，这是可去间断点，
Dialogue: 0,0:07:07.90,0:07:10.25,Default,,0000,0000,0000,,这是跳跃间断点，有跳跃点，
Dialogue: 0,0:07:10.25,0:07:12.20,Default,,0000,0000,0000,,而这里有渐近线，垂直渐近线。
Dialogue: 0,0:07:12.20,0:07:15.20,Default,,0000,0000,0000,,这是一个无穷间断点。