0:00:00.750,0:00:03.210 Bienvenue à la présentation sur les intégraux indéfinis 0:00:03.210,0:00:04.430 ou l'antidérivé 0:00:04.430,0:00:06.750 Commençons avec une petite révision sur 0:00:06.750,0:00:07.270 l'actuel dérivé. 0:00:07.270,0:00:10.700 Alors, si nous prenons le dérivé d/dx. 0:00:10.700,0:00:13.450 C'est juste l'opérateur dérivé. 0:00:13.450,0:00:16.700 Si je devais prendre le dérivé de l'expression 0:00:16.700,0:00:20.140 x au carré -- c'en est un facile si tu te rappelles de 0:00:20.140,0:00:21.860 la présentation des dérivés. 0:00:21.860,0:00:23.400 Eh bien, allons droit au but. 0:00:23.400,0:00:24.640 Tu prends simplement l'exposant. 0:00:24.640,0:00:27.100 Il devient le nouveau coéfficient, n'est-ce pas. 0:00:27.100,0:00:29.040 En fait tu dois le multiplier par l'ancien coéfficient, mais dans 0:00:29.040,0:00:32.310 ce cas-là le vieux coéfficient est 1, alors 2 fois 1 est égal à 2. 0:00:32.310,0:00:35.130 Et tu prends la variable 2x. 0:00:35.130,0:00:37.170 Et maintenant le nouvel exposant va être un de moins que 0:00:37.170,0:00:38.460 le vieil exposant. 0:00:38.460,0:00:41.930 Donc ça va être 2x exposant 1, ou juste 2x. 0:00:41.930,0:00:42.580 Alors ça c'est simple. 0:00:42.580,0:00:46.000 Si j'ai y égal x au carré on sait maintenant que la pente à n'importe quel 0:00:46.000,0:00:50.240 point sur cette courbe, ça doit être 2x. 0:00:50.240,0:00:52.040 Mais qu'est-ce qui se passe si je voulais aller de l'autre sens? 0:00:52.040,0:00:55.720 Disons que si nous voulions commencer avec 2 x et je voulais dire 0:00:55.720,0:01:07.330 2 x est le dérivé de quoi. 0:01:07.330,0:01:09.420 Nous savons la réponse à cette question, n'est-ce pas ? 0:01:09.420,0:01:10.755 Parce que nous avons pris le dérivé de x au carré 0:01:10.755,0:01:12.170 et nous avons trouvé 2x. 0:01:12.170,0:01:14.680 Mais allons dire que nous ne savions pas cela. 0:01:14.680,0:01:18.170 Vous pourriez probablement comprendre intuitivement, comment vous pouvez 0:01:18.170,0:01:21.070 faire cette opération que nous avons fait ici, comment 0:01:21.070,0:01:23.450 vous pouvez le faire en arrière. 0:01:23.450,0:01:27.830 Donc dans ce cas de cas la notation--nous savons que c'est x au carré-- 0:01:27.830,0:01:31.870 mais la notation pour essayer de découvrir 2 x est le dérivé 0:01:31.870,0:01:35.920 de quoi, nous pourrions dire que-- nous allons dire que 2x est le 0:01:35.920,0:01:39.410 dérivé de y. 0:01:39.410,0:01:43.050 Donc 2x est le dérivé de y. 0:01:43.050,0:01:46.150 Allons se débarrasser de ceci de cela. 0:01:46.150,0:01:47.270 Ensuite, nous pouvons dire ceci. 0:01:47.270,0:01:51.260 Nous pouvons dire que y est égal à--et je vais jeter certaines 0:01:51.260,0:01:55.990 notation très jolies à vous et en fait, j'expliquerai pourquoi nous 0:01:55.990,0:01:59.500 utilisons cette notation dans quelques présentations en cours de route. 0:01:59.500,0:02:01.680 Mais vous devez savoir à ce stade ce que la notation 0:02:01.680,0:02:03.925 veut dire ou ce qu'il vous indique de faire vraiment, qui n'est vraiment 0:02:03.925,0:02:06.070 juste le primitif ou l'intégrale indéfinie. 0:02:06.070,0:02:10.340 Donc nous pourrions dire que y est égale à la durée indéterminée 0:02:10.340,0:02:14.350 intégrale 2x dx. 0:02:14.350,0:02:17.220 Et je vais vous expliquer ce qu'est cette ligne ondulée ici et 0:02:17.220,0:02:20.690 dx, mais tout ce que vous devez savoir c'est quand vous voyez la ligne ondulée 0:02:20.690,0:02:24.700 et ce dx et puis quelque chose entre elles, tout ce qu'ils demandent 0:02:24.700,0:02:28.370 c'est qu'ils veulent que vous déterminiez quel est le primitif ou l'antidérivé 0:02:28.370,0:02:30.060 De cette expression. 0:02:30.060,0:02:32.550 Et j'expliquerai plus tard pourquoi cela s'appelle l' 0:02:32.550,0:02:33.340 intégrale indéfinie. 0:02:33.340,0:02:36.350 Et effectivement cette notation fera beaucoup plus de sens 0:02:36.350,0:02:39.970 quand je vous montrerai ce qu'est une intégrale définie. 0:02:39.970,0:02:42.000 Mais allons juste prendre pour acquis dès maintenant qu'une 0:02:42.000,0:02:44.000 intégrale indéfinie--que j'ai dessiné juste ici, c'est genre 0:02:44.000,0:02:47.450 comme une petite chose touffue--c'est juste le primitif. 0:02:47.450,0:02:52.350 Si y est égal au primitif essentiellement, 0:02:52.350,0:02:56.150 ou l'intégrale indéfinie de l'expression 2 x. 0:02:56.150,0:02:57.270 Qu'est-ce qui est égal à y ? 0:02:57.270,0:03:02.210 Bien c'est évidemment égal à x au carré. 0:03:02.210,0:03:03.220 Permettez-moi de vous poser une question. 0:03:03.220,0:03:06.830 Y est juste égale à x au carré ? 0:03:06.830,0:03:08.660 Parce que nous avons pris le dérivé et clairement le dérivé 0:03:08.660,0:03:10.575 de x au carré est 2x. 0:03:10.575,0:03:14.320 Mais quelle est le dérivé de x au carré--quel est le 0:03:14.320,0:03:15.880 x au carré dérivé plus 1 ? 0:03:21.090,0:03:24.500 Bien, le dérivé de x au carré est toujours 2x. 0:03:24.500,0:03:26.100 Quel est le dérivé de 1 ? 0:03:26.100,0:03:28.460 Evidemment, le dérivé de 1 est 0, donc c'est 2 x plus 0:03:28.460,0:03:30.540 0, ou encore 2 x. 0:03:30.540,0:03:37.570 De même, quel est le dérivé de x au carré plus 2 ? 0:03:37.570,0:03:39.050 Ainsi, le dérivé de x au carré plus 2 0:03:39.050,0:03:42.620 encore une fois est 2 x plus 0. 0:03:42.620,0:03:45.200 Alors remarquez le dérivé de x au carré plus 0:03:45.200,0:03:47.890 n'importe quelle constante est 2x. 0:03:47.890,0:03:52.390 Alors vraiment, ça pourrait être x au carré plus n'importe quelle constante. 0:03:52.390,0:03:55.420 Et pour n'importe quelle constante nous avons placé un grand c. 0:03:55.420,0:03:56.960 Alors x au carré et c. 0:03:56.960,0:03:59.100 Et vous ferez la connaissance de nombreux enseignants de calcul qui vont marquer ce 0:03:59.100,0:04:01.600 problème de mal si vous oubliez de mettre le grand c quand vous faites 0:04:01.600,0:04:03.340 une intégrale indéfinie. 0:04:03.340,0:04:07.360 Donc tu te dis, Sal, OK, vous avez m'a montré des notations, 0:04:07.360,0:04:10.880 vous m'avez rappelé que le dérivé de n'importe quel nombre 0:04:10.880,0:04:14.640 constant est 0, mais cette réalité n'aide pas vraiment à résoudre 0:04:14.640,0:04:15.270 une intégrale indéfinie. 0:04:15.270,0:04:18.950 Bien nous allons penser à une manière--une façon systématique si je ne l'ai pas fais 0:04:18.950,0:04:21.200 pour vous déjà--que nous pourrions résoudre une 0:04:21.200,0:04:23.480 intégrale indéfinie. 0:04:23.480,0:04:24.540 Je voudrais m'expliquer en profondeur. 0:04:30.440,0:04:33.615 Une couleur plus audacieuse, je pense que cela le ferait plus intéressant. 0:04:36.300,0:04:45.300 Disons que nous avons dit que y est égale à l'intégrale indéfinie de-- 0:04:45.300,0:04:47.220 Permettez-moi de lancer quelque chose d'intéressant là-dedans. 0:04:47.220,0:04:54.350 Supposons que l'intégrale indéfinie de x au cube est dx. 0:04:54.350,0:04:58.510 Si nous voulons comprendre certaines fonctions dont le dérivé, 0:04:58.510,0:05:01.470 est x au troisième exposant. 0:05:01.470,0:05:02.620 Bien comment pouvons nous comprendre cela ? 0:05:02.620,0:05:05.540 Bien juste de votre intuition, vous pensez probablement que, eh bien c'est 0:05:05.540,0:05:10.420 probablement quelque chose fois x à l'exposant quelque chose, n'est-ce pas ? 0:05:10.420,0:05:19.116 Alors disons que que y est égale à x à la puissance n. 0:05:19.116,0:05:27.910 Alors quelle est dy/dx, ou le dérivé de y est n. 0:05:27.910,0:05:29.390 Ainsi nous avons appris cela dans le module dérivé. 0:05:29.390,0:05:32.320 Vous prenez l'exposant, multipliez-le par le coéfficient. 0:05:32.320,0:05:34.480 Donc c'est une fois n. 0:05:37.890,0:05:42.820 Et puis c'est x exposant n moins 1. 0:05:42.820,0:05:46.810 Dans cette situation, nous disons que x à la troisième puissance est 0:05:46.810,0:05:50.330 cette expression, c'est le dérivé de y. 0:05:50.330,0:05:52.500 C'est égal à x exposant trois. 0:05:52.500,0:05:58.220 Donc, si cela est égal à x à la puissance d'un tiers, c'est quoi a et c'est quoi n. 0:05:58.220,0:06:00.360 De plus, n est facile à trouver. 0:06:00.360,0:06:02.670 n moins 1 est égal à 3. 0:06:02.670,0:06:07.430 Cela signifie que n est égal à 4. 0:06:07.430,0:06:10.190 Et puis a est égal à quoi ? 0:06:10.190,0:06:14.770 Ainsi a fois n est égal à 1, n'est-ce pas, parce que nous avons juste un 1 0:06:14.770,0:06:18.410 Ce coefficient, cela a un coefficient de départ de 1. 0:06:18.410,0:06:20.255 Donc a fois n est 1. 0:06:20.255,0:06:23.210 Si n est 4, alors a doit être 1/4. 0:06:26.206,0:06:30.780 Donc simplement à l'aide de cette définition d'un dérivé, je pense que nous avons maintenant 0:06:30.780,0:06:33.340 trouvé ce que y est égal à. 0:06:33.340,0:06:41.620 y est égale à 1/4 x à la quatrième puissance. 0:06:41.620,0:06:44.220 Je pense que vous pouvez commencer à voir une régularité ici. 0:06:44.220,0:06:46.230 Bien comment nous avons eu de x exposant trois à 0:06:46.230,0:06:47.640 1/4x exposant quatre? 0:06:47.640,0:06:51.940 Eh bien, nous avons augmenté l'exposant par 1 et quel que soit le nouvel 0:06:51.940,0:06:56.050 exposant, nous le multiplions par 1 sur ce nouvel exposant. 0:06:56.050,0:06:59.920 Alors allons voir si nous pouvons faire une règle générale ici. 0:07:02.870,0:07:05.810 Oh et bien sûr, plus c. 0:07:05.810,0:07:08.360 Je n'aurais pas réussi cet examen... 0:07:08.360,0:07:13.260 Alors disons qu'en règle générale, si j'ai l'intégrale 0:07:13.260,0:07:18.210 --Eh bien, puisque nous avons déjà utilisé a, disons--b 0:07:18.210,0:07:23.670 fois x à l'exposant dx n. 0:07:23.670,0:07:24.650 Quel est cet intégral ? 0:07:24.650,0:07:27.420 C'est un signe intégral. 0:07:27.420,0:07:33.630 Eh bien, ma nouvelle règle est, je monte l'exposant sur x par 1, donc elle va 0:07:33.630,0:07:36.880 être x exposant n plus 1 0:07:36.880,0:07:40.980 Et puis je multiplie x fois l'inverse de ce nombre. 0:07:40.980,0:07:45.380 Alors fois 1 sur n + 1. 0:07:45.380,0:07:47.580 Et bien sûr j'ai ce b là tout ce temps. 0:07:47.580,0:07:50.310 Et un jour je ferai une démonstration plus vigoureuse, avec une plus preuve plus rigoureuse 0:07:50.310,0:07:53.520 et il sera peut-être vigoureux ainsi--quant à pourquoi ce b 0:07:53.520,0:07:56.490 reste en multipliant. 0:07:56.490,0:07:59.390 En fait je n'ai pas à faire une preuve trop rigoureuse si vous 0:07:59.390,0:08:04.030 n'oubliez pas la façon dont un dérivé est fait, vous multipliez simplement tout cela 0:08:04.030,0:08:05.830 fois l'exposant moins 1. 0:08:05.830,0:08:10.190 Donc ici nous multiplions le coefficient fois 1 sur 0:08:10.190,0:08:11.530 l'exposant plus 1. 0:08:11.530,0:08:13.630 C'est simplement l'opération inverse. 0:08:13.630,0:08:16.460 Allons faire quelques exemples comme ça très vite. 0:08:16.460,0:08:18.820 J'ai un peu de temps de reste. 0:08:18.820,0:08:22.420 Je pense que les exemples, au moins pour moi, vraiment 0:08:22.420,0:08:23.200 atteint le point d'accueil. 0:08:23.200,0:08:25.520 Alors disons que je voulais découvrir l'intégrale 0:08:25.520,0:08:31.310 de 5 x à la puissance de sept dx. 0:08:31.310,0:08:35.850 Eh bien, je prends l'exposant, l'augmente par un. 0:08:35.850,0:08:39.910 Donc j'obtiens x exposant huit, puis je multiplie le coefficient 0:08:39.910,0:08:42.100 fois 1 sur le nouvel exposant. 0:08:42.100,0:08:45.920 C'est donc x 5/8 exposant huit. 0:08:45.920,0:08:48.250 Et si vous ne me croyez pas, prenez ledérivé de ceci 0:08:48.250,0:08:56.740 Prenez le d/dx dérivé de 5/8 x exposant huit. 0:08:56.740,0:08:59.970 Ainsi vous multipliez 8 fois 5/8. 0:08:59.970,0:09:04.450 Eh bien c'est égal à x 5 exposant--et maintenant le nouveau exposant va 0:09:04.450,0:09:08.600 être 8 moins 1--5 x exposant sept. 0:09:08.600,0:09:10.880 Oh et bien sûr, plus c. 0:09:10.880,0:09:13.090 Il ne faut pas oublier le plus c. 0:09:13.090,0:09:15.680 Donc je pense que vous avez un apperçu de comment cela fonctionne. 0:09:15.680,0:09:17.990 Dans la présentation suivante, je vais faire un paquet 0:09:17.990,0:09:19.960 d'exemples et je vais aussi vous montrer comment genre 0:09:19.960,0:09:21.320 inverser la règle de la chaîne. 0:09:21.320,0:09:23.270 Et puis nous allons apprendre l'intégration par parties, qui est 0:09:23.270,0:09:25.720 essentiellement juste inverser la règle du produit. 0:09:25.720,0:09:26.330 On se voit dans la prochaine présentation.