Bienvenue à la présentation sur les intégraux indéfinis
ou l'antidérivé
Commençons avec une petite révision sur
l'actuel dérivé.
Alors, si nous prenons le dérivé d/dx.
C'est juste l'opérateur dérivé.
Si je devais prendre le dérivé de l'expression
x au carré -- c'en est un facile si tu te rappelles de
la présentation des dérivés.
Eh bien, allons droit au but.
Tu prends simplement l'exposant.
Il devient le nouveau coéfficient, n'est-ce pas.
En fait tu dois le multiplier par l'ancien coéfficient, mais dans
ce cas-là le vieux coéfficient est 1, alors 2 fois 1 est égal à 2.
Et tu prends la variable 2x.
Et maintenant le nouvel exposant va être un de moins que
le vieil exposant.
Donc ça va être 2x exposant 1, ou juste 2x.
Alors ça c'est simple.
Si j'ai y égal x au carré on sait maintenant que la pente à n'importe quel
point sur cette courbe, ça doit être 2x.
Mais qu'est-ce qui se passe si je voulais aller de l'autre sens?
Disons que si nous voulions commencer avec 2 x et je voulais dire
2 x est le dérivé de quoi.
Nous savons la réponse à cette question, n'est-ce pas ?
Parce que nous avons pris le dérivé de x au carré
et nous avons trouvé 2x.
Mais allons dire que nous ne savions pas cela.
Vous pourriez probablement comprendre intuitivement, comment vous pouvez
faire cette opération que nous avons fait ici, comment
vous pouvez le faire en arrière.
Donc dans ce cas de cas la notation--nous savons que c'est x au carré--
mais la notation pour essayer de découvrir 2 x est le dérivé
de quoi, nous pourrions dire que-- nous allons dire que 2x est le
dérivé de y.
Donc 2x est le dérivé de y.
Allons se débarrasser de ceci de cela.
Ensuite, nous pouvons dire ceci.
Nous pouvons dire que y est égal à--et je vais jeter certaines
notation très jolies à vous et en fait, j'expliquerai pourquoi nous
utilisons cette notation dans quelques présentations en cours de route.
Mais vous devez savoir à ce stade ce que la notation
veut dire ou ce qu'il vous indique de faire vraiment, qui n'est vraiment
juste le primitif ou l'intégrale indéfinie.
Donc nous pourrions dire que y est égale à la durée indéterminée
intégrale 2x dx.
Et je vais vous expliquer ce qu'est cette ligne ondulée ici et
dx, mais tout ce que vous devez savoir c'est quand vous voyez la ligne ondulée
et ce dx et puis quelque chose entre elles, tout ce qu'ils demandent
c'est qu'ils veulent que vous déterminiez quel est le primitif ou l'antidérivé
De cette expression.
Et j'expliquerai plus tard pourquoi cela s'appelle l'
intégrale indéfinie.
Et effectivement cette notation fera beaucoup plus de sens
quand je vous montrerai ce qu'est une intégrale définie.
Mais allons juste prendre pour acquis dès maintenant qu'une
intégrale indéfinie--que j'ai dessiné juste ici, c'est genre
comme une petite chose touffue--c'est juste le primitif.
Si y est égal au primitif essentiellement,
ou l'intégrale indéfinie de l'expression 2 x.
Qu'est-ce qui est égal à y ?
Bien c'est évidemment égal à x au carré.
Permettez-moi de vous poser une question.
Y est juste égale à x au carré ?
Parce que nous avons pris le dérivé et clairement le dérivé
de x au carré est 2x.
Mais quelle est le dérivé de x au carré--quel est le
x au carré dérivé plus 1 ?
Bien, le dérivé de x au carré est toujours 2x.
Quel est le dérivé de 1 ?
Evidemment, le dérivé de 1 est 0, donc c'est 2 x plus
0, ou encore 2 x.
De même, quel est le dérivé de x au carré plus 2 ?
Ainsi, le dérivé de x au carré plus 2
encore une fois est 2 x plus 0.
Alors remarquez le dérivé de x au carré plus
n'importe quelle constante est 2x.
Alors vraiment, ça pourrait être x au carré plus n'importe quelle constante.
Et pour n'importe quelle constante nous avons placé un grand c.
Alors x au carré et c.
Et vous ferez la connaissance de nombreux enseignants de calcul qui vont marquer ce
problème de mal si vous oubliez de mettre le grand c quand vous faites
une intégrale indéfinie.
Donc tu te dis, Sal, OK, vous avez m'a montré des notations,
vous m'avez rappelé que le dérivé de n'importe quel nombre
constant est 0, mais cette réalité n'aide pas vraiment à résoudre
une intégrale indéfinie.
Bien nous allons penser à une manière--une façon systématique si je ne l'ai pas fais
pour vous déjà--que nous pourrions résoudre une
intégrale indéfinie.
Je voudrais m'expliquer en profondeur.
Une couleur plus audacieuse, je pense que cela le ferait plus intéressant.
Disons que nous avons dit que y est égale à l'intégrale indéfinie de--
Permettez-moi de lancer quelque chose d'intéressant là-dedans.
Supposons que l'intégrale indéfinie de x au cube est dx.
Si nous voulons comprendre certaines fonctions dont le dérivé,
est x au troisième exposant.
Bien comment pouvons nous comprendre cela ?
Bien juste de votre intuition, vous pensez probablement que, eh bien c'est
probablement quelque chose fois x à l'exposant quelque chose, n'est-ce pas ?
Alors disons que que y est égale à x à la puissance n.
Alors quelle est dy/dx, ou le dérivé de y est n.
Ainsi nous avons appris cela dans le module dérivé.
Vous prenez l'exposant, multipliez-le par le coéfficient.
Donc c'est une fois n.
Et puis c'est x exposant n moins 1.
Dans cette situation, nous disons que x à la troisième puissance est
cette expression, c'est le dérivé de y.
C'est égal à x exposant trois.
Donc, si cela est égal à x à la puissance d'un tiers, c'est quoi a et c'est quoi n.
De plus, n est facile à trouver.
n moins 1 est égal à 3.
Cela signifie que n est égal à 4.
Et puis a est égal à quoi ?
Ainsi a fois n est égal à 1, n'est-ce pas, parce que nous avons juste un 1
Ce coefficient, cela a un coefficient de départ de 1.
Donc a fois n est 1.
Si n est 4, alors a doit être 1/4.
Donc simplement à l'aide de cette définition d'un dérivé, je pense que nous avons maintenant
trouvé ce que y est égal à.
y est égale à 1/4 x à la quatrième puissance.
Je pense que vous pouvez commencer à voir une régularité ici.
Bien comment nous avons eu de x exposant trois à
1/4x exposant quatre?
Eh bien, nous avons augmenté l'exposant par 1 et quel que soit le nouvel
exposant, nous le multiplions par 1 sur ce nouvel exposant.
Alors allons voir si nous pouvons faire une règle générale ici.
Oh et bien sûr, plus c.
Je n'aurais pas réussi cet examen...
Alors disons qu'en règle générale, si j'ai l'intégrale
--Eh bien, puisque nous avons déjà utilisé a, disons--b
fois x à l'exposant dx n.
Quel est cet intégral ?
C'est un signe intégral.
Eh bien, ma nouvelle règle est, je monte l'exposant sur x par 1, donc elle va
être x exposant n plus 1
Et puis je multiplie x fois l'inverse de ce nombre.
Alors fois 1 sur n + 1.
Et bien sûr j'ai ce b là tout ce temps.
Et un jour je ferai une démonstration plus vigoureuse, avec une plus preuve plus rigoureuse
et il sera peut-être vigoureux ainsi--quant à pourquoi ce b
reste en multipliant.
En fait je n'ai pas à faire une preuve trop rigoureuse si vous
n'oubliez pas la façon dont un dérivé est fait, vous multipliez simplement tout cela
fois l'exposant moins 1.
Donc ici nous multiplions le coefficient fois 1 sur
l'exposant plus 1.
C'est simplement l'opération inverse.
Allons faire quelques exemples comme ça très vite.
J'ai un peu de temps de reste.
Je pense que les exemples, au moins pour moi, vraiment
atteint le point d'accueil.
Alors disons que je voulais découvrir l'intégrale
de 5 x à la puissance de sept dx.
Eh bien, je prends l'exposant, l'augmente par un.
Donc j'obtiens x exposant huit, puis je multiplie le coefficient
fois 1 sur le nouvel exposant.
C'est donc x 5/8 exposant huit.
Et si vous ne me croyez pas, prenez ledérivé de ceci
Prenez le d/dx dérivé de 5/8 x exposant huit.
Ainsi vous multipliez 8 fois 5/8.
Eh bien c'est égal à x 5 exposant--et maintenant le nouveau exposant va
être 8 moins 1--5 x exposant sept.
Oh et bien sûr, plus c.
Il ne faut pas oublier le plus c.
Donc je pense que vous avez un apperçu de comment cela fonctionne.
Dans la présentation suivante, je vais faire un paquet
d'exemples et je vais aussi vous montrer comment genre
inverser la règle de la chaîne.
Et puis nous allons apprendre l'intégration par parties, qui est
essentiellement juste inverser la règle du produit.
On se voit dans la prochaine présentation.