1
00:00:00,750 --> 00:00:03,210
Bienvenue à la présentation sur les intégraux indéfinis

2
00:00:03,210 --> 00:00:04,430
ou l'antidérivé

3
00:00:04,430 --> 00:00:06,750
Commençons avec une petite révision sur

4
00:00:06,750 --> 00:00:07,270
l'actuel dérivé.

5
00:00:07,270 --> 00:00:10,700
Alors, si nous prenons le dérivé d/dx.

6
00:00:10,700 --> 00:00:13,450
C'est juste l'opérateur dérivé.

7
00:00:13,450 --> 00:00:16,700
Si je devais prendre le dérivé de l'expression

8
00:00:16,700 --> 00:00:20,140
x au carré -- c'en est un facile si tu te rappelles de

9
00:00:20,140 --> 00:00:21,860
la présentation des dérivés.

10
00:00:21,860 --> 00:00:23,400
Eh bien, allons droit au but.

11
00:00:23,400 --> 00:00:24,640
Tu prends simplement l'exposant.

12
00:00:24,640 --> 00:00:27,100
Il devient le nouveau coéfficient, n'est-ce pas.

13
00:00:27,100 --> 00:00:29,040
En fait tu dois le multiplier par l'ancien coéfficient, mais dans

14
00:00:29,040 --> 00:00:32,310
ce cas-là le vieux coéfficient est 1, alors 2 fois 1 est égal à 2.

15
00:00:32,310 --> 00:00:35,130
Et tu prends la variable 2x.

16
00:00:35,130 --> 00:00:37,170
Et maintenant le nouvel exposant va être un de moins que

17
00:00:37,170 --> 00:00:38,460
le vieil exposant.

18
00:00:38,460 --> 00:00:41,930
Donc ça va être 2x exposant 1, ou juste 2x.

19
00:00:41,930 --> 00:00:42,580
Alors ça c'est simple.

20
00:00:42,580 --> 00:00:46,000
Si j'ai y égal x au carré on sait maintenant que la pente à n'importe quel

21
00:00:46,000 --> 00:00:50,240
point sur cette courbe, ça doit être 2x.

22
00:00:50,240 --> 00:00:52,040
Mais qu'est-ce qui se passe si je voulais aller de l'autre sens?

23
00:00:52,040 --> 00:00:55,720
Disons que si nous voulions commencer avec 2 x et je voulais dire

24
00:00:55,720 --> 00:01:07,330
2 x est le dérivé de quoi.

25
00:01:07,330 --> 00:01:09,420
Nous savons la réponse à cette question, n'est-ce pas ?

26
00:01:09,420 --> 00:01:10,755
Parce que nous avons pris le dérivé de x au carré

27
00:01:10,755 --> 00:01:12,170
et nous avons trouvé 2x.

28
00:01:12,170 --> 00:01:14,680
Mais allons dire que nous ne savions pas cela.

29
00:01:14,680 --> 00:01:18,170
Vous pourriez probablement comprendre intuitivement, comment vous pouvez

30
00:01:18,170 --> 00:01:21,070
faire cette opération que nous avons fait ici, comment

31
00:01:21,070 --> 00:01:23,450
vous pouvez le faire en arrière.

32
00:01:23,450 --> 00:01:27,830
Donc dans ce cas de cas la notation--nous savons que c'est x au carré--

33
00:01:27,830 --> 00:01:31,870
mais la notation pour essayer de découvrir 2 x est le dérivé

34
00:01:31,870 --> 00:01:35,920
de quoi, nous pourrions dire que-- nous allons dire que 2x est le

35
00:01:35,920 --> 00:01:39,410
dérivé de y.

36
00:01:39,410 --> 00:01:43,050
Donc 2x est le dérivé de y.

37
00:01:43,050 --> 00:01:46,150
Allons se débarrasser de ceci de cela.

38
00:01:46,150 --> 00:01:47,270
Ensuite, nous pouvons dire ceci.

39
00:01:47,270 --> 00:01:51,260
Nous pouvons dire que y est égal à--et je vais jeter certaines

40
00:01:51,260 --> 00:01:55,990
notation très jolies à vous et en fait, j'expliquerai pourquoi nous

41
00:01:55,990 --> 00:01:59,500
utilisons cette notation dans quelques présentations en cours de route.

42
00:01:59,500 --> 00:02:01,680
Mais vous devez savoir à ce stade ce que la notation

43
00:02:01,680 --> 00:02:03,925
veut dire ou ce qu'il vous indique de faire vraiment, qui n'est vraiment

44
00:02:03,925 --> 00:02:06,070
juste le primitif ou l'intégrale indéfinie.

45
00:02:06,070 --> 00:02:10,340
Donc nous pourrions dire que y est égale à la durée indéterminée

46
00:02:10,340 --> 00:02:14,350
intégrale 2x dx.

47
00:02:14,350 --> 00:02:17,220
Et je vais vous expliquer ce qu'est cette ligne ondulée ici et

48
00:02:17,220 --> 00:02:20,690
dx, mais tout ce que vous devez savoir c'est quand vous voyez la ligne ondulée

49
00:02:20,690 --> 00:02:24,700
et ce dx et puis quelque chose entre elles, tout ce qu'ils demandent

50
00:02:24,700 --> 00:02:28,370
c'est qu'ils veulent que vous déterminiez quel est le primitif ou l'antidérivé

51
00:02:28,370 --> 00:02:30,060
De cette expression.

52
00:02:30,060 --> 00:02:32,550
Et j'expliquerai plus tard pourquoi cela s'appelle l'

53
00:02:32,550 --> 00:02:33,340
intégrale indéfinie.

54
00:02:33,340 --> 00:02:36,350
Et effectivement cette notation fera beaucoup plus de sens

55
00:02:36,350 --> 00:02:39,970
quand je vous montrerai ce qu'est une intégrale définie.

56
00:02:39,970 --> 00:02:42,000
Mais allons juste prendre pour acquis dès maintenant qu'une

57
00:02:42,000 --> 00:02:44,000
intégrale indéfinie--que j'ai dessiné juste ici, c'est genre

58
00:02:44,000 --> 00:02:47,450
comme une petite chose touffue--c'est juste le primitif.

59
00:02:47,450 --> 00:02:52,350
Si y est égal au primitif essentiellement,

60
00:02:52,350 --> 00:02:56,150
ou l'intégrale indéfinie de l'expression 2 x.

61
00:02:56,150 --> 00:02:57,270
Qu'est-ce qui est égal à y ?

62
00:02:57,270 --> 00:03:02,210
Bien c'est évidemment égal à x au carré.

63
00:03:02,210 --> 00:03:03,220
Permettez-moi de vous poser une question.

64
00:03:03,220 --> 00:03:06,830
Y est juste égale à x au carré ?

65
00:03:06,830 --> 00:03:08,660
Parce que nous avons pris le dérivé et clairement le dérivé

66
00:03:08,660 --> 00:03:10,575
de x au carré est 2x.

67
00:03:10,575 --> 00:03:14,320
Mais quelle est le dérivé de x au carré--quel est le

68
00:03:14,320 --> 00:03:15,880
x au carré dérivé plus 1 ?

69
00:03:21,090 --> 00:03:24,500
Bien, le dérivé de x au carré est toujours 2x.

70
00:03:24,500 --> 00:03:26,100
Quel est le dérivé de 1 ?

71
00:03:26,100 --> 00:03:28,460
Evidemment, le dérivé de 1 est 0, donc c'est 2 x plus

72
00:03:28,460 --> 00:03:30,540
0, ou encore 2 x.

73
00:03:30,540 --> 00:03:37,570
De même, quel est le dérivé de x au carré plus 2 ?

74
00:03:37,570 --> 00:03:39,050
Ainsi, le dérivé de x au carré plus 2

75
00:03:39,050 --> 00:03:42,620
encore une fois est 2 x plus 0.

76
00:03:42,620 --> 00:03:45,200
Alors remarquez le dérivé de x au carré plus

77
00:03:45,200 --> 00:03:47,890
n'importe quelle constante est 2x.

78
00:03:47,890 --> 00:03:52,390
Alors vraiment, ça pourrait être x au carré plus n'importe quelle constante.

79
00:03:52,390 --> 00:03:55,420
Et pour n'importe quelle constante nous avons placé un grand c.

80
00:03:55,420 --> 00:03:56,960
Alors x au carré et c.

81
00:03:56,960 --> 00:03:59,100
Et vous ferez la connaissance de nombreux enseignants de calcul qui vont marquer ce

82
00:03:59,100 --> 00:04:01,600
problème de mal si vous oubliez de mettre le grand c quand vous faites

83
00:04:01,600 --> 00:04:03,340
une intégrale indéfinie.

84
00:04:03,340 --> 00:04:07,360
Donc tu te dis, Sal, OK, vous avez m'a montré des notations,

85
00:04:07,360 --> 00:04:10,880
vous m'avez rappelé que le dérivé de n'importe quel nombre

86
00:04:10,880 --> 00:04:14,640
constant est 0, mais cette réalité n'aide pas vraiment à résoudre

87
00:04:14,640 --> 00:04:15,270
une intégrale indéfinie.

88
00:04:15,270 --> 00:04:18,950
Bien nous allons penser à une manière--une façon systématique si je ne l'ai pas fais

89
00:04:18,950 --> 00:04:21,200
pour vous déjà--que nous pourrions résoudre une

90
00:04:21,200 --> 00:04:23,480
intégrale indéfinie.

91
00:04:23,480 --> 00:04:24,540
Je voudrais m'expliquer en profondeur.

92
00:04:30,440 --> 00:04:33,615
Une couleur plus audacieuse, je pense que cela le ferait plus intéressant.

93
00:04:36,300 --> 00:04:45,300
Disons que nous avons dit que y est égale à l'intégrale indéfinie de--

94
00:04:45,300 --> 00:04:47,220
Permettez-moi de lancer quelque chose d'intéressant là-dedans.

95
00:04:47,220 --> 00:04:54,350
Supposons que l'intégrale indéfinie de x au cube est dx.

96
00:04:54,350 --> 00:04:58,510
Si nous voulons comprendre certaines fonctions dont le dérivé,

97
00:04:58,510 --> 00:05:01,470
est x au troisième exposant.

98
00:05:01,470 --> 00:05:02,620
Bien comment pouvons nous comprendre cela ?

99
00:05:02,620 --> 00:05:05,540
Bien juste de votre intuition, vous pensez probablement que, eh bien c'est

100
00:05:05,540 --> 00:05:10,420
probablement quelque chose fois x à l'exposant quelque chose, n'est-ce pas ?

101
00:05:10,420 --> 00:05:19,116
Alors disons que que y est égale à x à la puissance n.

102
00:05:19,116 --> 00:05:27,910
Alors quelle est dy/dx, ou le dérivé de y est n.

103
00:05:27,910 --> 00:05:29,390
Ainsi nous avons appris cela dans le module dérivé.

104
00:05:29,390 --> 00:05:32,320
Vous prenez l'exposant, multipliez-le par le coéfficient.

105
00:05:32,320 --> 00:05:34,480
Donc c'est une fois n.

106
00:05:37,890 --> 00:05:42,820
Et puis c'est x exposant n moins 1.

107
00:05:42,820 --> 00:05:46,810
Dans cette situation, nous disons que x à la troisième puissance est

108
00:05:46,810 --> 00:05:50,330
cette expression, c'est le dérivé de y.

109
00:05:50,330 --> 00:05:52,500
C'est égal à x exposant trois.

110
00:05:52,500 --> 00:05:58,220
Donc, si cela est égal à x à la puissance d'un tiers, c'est quoi a et c'est quoi n.

111
00:05:58,220 --> 00:06:00,360
De plus, n est facile à trouver.

112
00:06:00,360 --> 00:06:02,670
n moins 1 est égal à 3.

113
00:06:02,670 --> 00:06:07,430
Cela signifie que n est égal à 4.

114
00:06:07,430 --> 00:06:10,190
Et puis a est égal à quoi ?

115
00:06:10,190 --> 00:06:14,770
Ainsi a fois n est égal à 1, n'est-ce pas, parce que nous avons juste un 1

116
00:06:14,770 --> 00:06:18,410
Ce coefficient, cela a un coefficient de départ de 1.

117
00:06:18,410 --> 00:06:20,255
Donc a fois n est 1.

118
00:06:20,255 --> 00:06:23,210
Si n est 4, alors a doit être 1/4.

119
00:06:26,206 --> 00:06:30,780
Donc simplement à l'aide de cette définition d'un dérivé, je pense que nous avons maintenant

120
00:06:30,780 --> 00:06:33,340
trouvé ce que y est égal à.

121
00:06:33,340 --> 00:06:41,620
y est égale à 1/4 x à la quatrième puissance.

122
00:06:41,620 --> 00:06:44,220
Je pense que vous pouvez commencer à voir une régularité ici.

123
00:06:44,220 --> 00:06:46,230
Bien comment nous avons eu de x exposant trois à

124
00:06:46,230 --> 00:06:47,640
1/4x exposant quatre?

125
00:06:47,640 --> 00:06:51,940
Eh bien, nous avons augmenté l'exposant par 1 et quel que soit le nouvel

126
00:06:51,940 --> 00:06:56,050
exposant, nous le multiplions par 1 sur ce nouvel exposant.

127
00:06:56,050 --> 00:06:59,920
Alors allons voir si nous pouvons faire une règle générale ici.

128
00:07:02,870 --> 00:07:05,810
Oh et bien sûr, plus c.

129
00:07:05,810 --> 00:07:08,360
Je n'aurais pas réussi cet examen...

130
00:07:08,360 --> 00:07:13,260
Alors disons qu'en règle générale, si j'ai l'intégrale

131
00:07:13,260 --> 00:07:18,210
--Eh bien, puisque nous avons déjà utilisé a, disons--b

132
00:07:18,210 --> 00:07:23,670
fois x à l'exposant dx n.

133
00:07:23,670 --> 00:07:24,650
Quel est cet intégral ?

134
00:07:24,650 --> 00:07:27,420
C'est un signe intégral.

135
00:07:27,420 --> 00:07:33,630
Eh bien, ma nouvelle règle est, je monte l'exposant sur x par 1, donc elle va

136
00:07:33,630 --> 00:07:36,880
être x exposant n plus 1

137
00:07:36,880 --> 00:07:40,980
Et puis je multiplie x fois l'inverse de ce nombre.

138
00:07:40,980 --> 00:07:45,380
Alors fois 1 sur n + 1.

139
00:07:45,380 --> 00:07:47,580
Et bien sûr j'ai ce b là tout ce temps.

140
00:07:47,580 --> 00:07:50,310
Et un jour je ferai une démonstration plus vigoureuse, avec une plus preuve plus rigoureuse

141
00:07:50,310 --> 00:07:53,520
et il sera peut-être vigoureux ainsi--quant à pourquoi ce b

142
00:07:53,520 --> 00:07:56,490
reste en multipliant.

143
00:07:56,490 --> 00:07:59,390
En fait je n'ai pas à faire une preuve trop rigoureuse si vous

144
00:07:59,390 --> 00:08:04,030
n'oubliez pas la façon dont un dérivé est fait, vous multipliez simplement tout cela

145
00:08:04,030 --> 00:08:05,830
fois l'exposant moins 1.

146
00:08:05,830 --> 00:08:10,190
Donc ici nous multiplions le coefficient fois 1 sur

147
00:08:10,190 --> 00:08:11,530
l'exposant plus 1.

148
00:08:11,530 --> 00:08:13,630
C'est simplement l'opération inverse.

149
00:08:13,630 --> 00:08:16,460
Allons faire quelques exemples comme ça très vite.

150
00:08:16,460 --> 00:08:18,820
J'ai un peu de temps de reste.

151
00:08:18,820 --> 00:08:22,420
Je pense que les exemples, au moins pour moi, vraiment

152
00:08:22,420 --> 00:08:23,200
atteint le point d'accueil.

153
00:08:23,200 --> 00:08:25,520
Alors disons que je voulais découvrir l'intégrale

154
00:08:25,520 --> 00:08:31,310
de 5 x à la puissance de sept dx.

155
00:08:31,310 --> 00:08:35,850
Eh bien, je prends l'exposant, l'augmente par un.

156
00:08:35,850 --> 00:08:39,910
Donc j'obtiens x exposant huit, puis je multiplie le coefficient

157
00:08:39,910 --> 00:08:42,100
fois 1 sur le nouvel exposant.

158
00:08:42,100 --> 00:08:45,920
C'est donc x 5/8 exposant huit.

159
00:08:45,920 --> 00:08:48,250
Et si vous ne me croyez pas, prenez ledérivé de ceci

160
00:08:48,250 --> 00:08:56,740
Prenez le d/dx dérivé de 5/8 x exposant huit.

161
00:08:56,740 --> 00:08:59,970
Ainsi vous multipliez 8 fois 5/8.

162
00:08:59,970 --> 00:09:04,450
Eh bien c'est égal à x 5 exposant--et maintenant le nouveau exposant va

163
00:09:04,450 --> 00:09:08,600
être 8 moins 1--5 x exposant sept.

164
00:09:08,600 --> 00:09:10,880
Oh et bien sûr, plus c.

165
00:09:10,880 --> 00:09:13,090
Il ne faut pas oublier le plus c.

166
00:09:13,090 --> 00:09:15,680
Donc je pense que vous avez un apperçu de comment cela fonctionne.

167
00:09:15,680 --> 00:09:17,990
Dans la présentation suivante, je vais faire un paquet

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d'exemples et je vais aussi vous montrer comment genre

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inverser la règle de la chaîne.

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Et puis nous allons apprendre l'intégration par parties, qui est

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essentiellement juste inverser la règle du produit.

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On se voit dans la prochaine présentation.