WEBVTT 00:00:00.750 --> 00:00:03.210 Bienvenue à la présentation sur les intégraux indéfinis 00:00:03.210 --> 00:00:04.430 ou l'antidérivé 00:00:04.430 --> 00:00:06.750 Commençons avec une petite révision sur 00:00:06.750 --> 00:00:07.270 l'actuel dérivé. 00:00:07.270 --> 00:00:10.700 Alors, si nous prenons le dérivé d/dx. 00:00:10.700 --> 00:00:13.450 C'est juste l'opérateur dérivé. 00:00:13.450 --> 00:00:16.700 Si je devais prendre le dérivé de l'expression 00:00:16.700 --> 00:00:20.140 x au carré -- c'en est un facile si tu te rappelles de 00:00:20.140 --> 00:00:21.860 la présentation des dérivés. 00:00:21.860 --> 00:00:23.400 Eh bien, allons droit au but. 00:00:23.400 --> 00:00:24.640 Tu prends simplement l'exposant. 00:00:24.640 --> 00:00:27.100 Il devient le nouveau coéfficient, n'est-ce pas. 00:00:27.100 --> 00:00:29.040 En fait tu dois le multiplier par l'ancien coéfficient, mais dans 00:00:29.040 --> 00:00:32.310 ce cas-là le vieux coéfficient est 1, alors 2 fois 1 est égal à 2. 00:00:32.310 --> 00:00:35.130 Et tu prends la variable 2x. 00:00:35.130 --> 00:00:37.170 Et maintenant le nouvel exposant va être un de moins que 00:00:37.170 --> 00:00:38.460 le vieil exposant. 00:00:38.460 --> 00:00:41.930 Donc ça va être 2x exposant 1, ou juste 2x. 00:00:41.930 --> 00:00:42.580 Alors ça c'est simple. 00:00:42.580 --> 00:00:46.000 Si j'ai y égal x au carré on sait maintenant que la pente à n'importe quel 00:00:46.000 --> 00:00:50.240 point sur cette courbe, ça doit être 2x. 00:00:50.240 --> 00:00:52.040 Mais qu'est-ce qui se passe si je voulais aller de l'autre sens? 00:00:52.040 --> 00:00:55.720 Disons que si nous voulions commencer avec 2 x et je voulais dire 00:00:55.720 --> 00:01:07.330 2 x est le dérivé de quoi. 00:01:07.330 --> 00:01:09.420 Nous savons la réponse à cette question, n'est-ce pas ? 00:01:09.420 --> 00:01:10.755 Parce que nous avons pris le dérivé de x au carré 00:01:10.755 --> 00:01:12.170 et nous avons trouvé 2x. 00:01:12.170 --> 00:01:14.680 Mais allons dire que nous ne savions pas cela. 00:01:14.680 --> 00:01:18.170 Vous pourriez probablement comprendre intuitivement, comment vous pouvez 00:01:18.170 --> 00:01:21.070 faire cette opération que nous avons fait ici, comment 00:01:21.070 --> 00:01:23.450 vous pouvez le faire en arrière. 00:01:23.450 --> 00:01:27.830 Donc dans ce cas de cas la notation--nous savons que c'est x au carré-- 00:01:27.830 --> 00:01:31.870 mais la notation pour essayer de découvrir 2 x est le dérivé 00:01:31.870 --> 00:01:35.920 de quoi, nous pourrions dire que-- nous allons dire que 2x est le 00:01:35.920 --> 00:01:39.410 dérivé de y. 00:01:39.410 --> 00:01:43.050 Donc 2x est le dérivé de y. 00:01:43.050 --> 00:01:46.150 Allons se débarrasser de ceci de cela. 00:01:46.150 --> 00:01:47.270 Ensuite, nous pouvons dire ceci. 00:01:47.270 --> 00:01:51.260 Nous pouvons dire que y est égal à--et je vais jeter certaines 00:01:51.260 --> 00:01:55.990 notation très jolies à vous et en fait, j'expliquerai pourquoi nous 00:01:55.990 --> 00:01:59.500 utilisons cette notation dans quelques présentations en cours de route. 00:01:59.500 --> 00:02:01.680 Mais vous devez savoir à ce stade ce que la notation 00:02:01.680 --> 00:02:03.925 veut dire ou ce qu'il vous indique de faire vraiment, qui n'est vraiment 00:02:03.925 --> 00:02:06.070 juste le primitif ou l'intégrale indéfinie. 00:02:06.070 --> 00:02:10.340 Donc nous pourrions dire que y est égale à la durée indéterminée 00:02:10.340 --> 00:02:14.350 intégrale 2x dx. 00:02:14.350 --> 00:02:17.220 Et je vais vous expliquer ce qu'est cette ligne ondulée ici et 00:02:17.220 --> 00:02:20.690 dx, mais tout ce que vous devez savoir c'est quand vous voyez la ligne ondulée 00:02:20.690 --> 00:02:24.700 et ce dx et puis quelque chose entre elles, tout ce qu'ils demandent 00:02:24.700 --> 00:02:28.370 c'est qu'ils veulent que vous déterminiez quel est le primitif ou l'antidérivé 00:02:28.370 --> 00:02:30.060 De cette expression. 00:02:30.060 --> 00:02:32.550 Et j'expliquerai plus tard pourquoi cela s'appelle l' 00:02:32.550 --> 00:02:33.340 intégrale indéfinie. 00:02:33.340 --> 00:02:36.350 Et effectivement cette notation fera beaucoup plus de sens 00:02:36.350 --> 00:02:39.970 quand je vous montrerai ce qu'est une intégrale définie. 00:02:39.970 --> 00:02:42.000 Mais allons juste prendre pour acquis dès maintenant qu'une 00:02:42.000 --> 00:02:44.000 intégrale indéfinie--que j'ai dessiné juste ici, c'est genre 00:02:44.000 --> 00:02:47.450 comme une petite chose touffue--c'est juste le primitif. 00:02:47.450 --> 00:02:52.350 Si y est égal au primitif essentiellement, 00:02:52.350 --> 00:02:56.150 ou l'intégrale indéfinie de l'expression 2 x. 00:02:56.150 --> 00:02:57.270 Qu'est-ce qui est égal à y ? 00:02:57.270 --> 00:03:02.210 Bien c'est évidemment égal à x au carré. 00:03:02.210 --> 00:03:03.220 Permettez-moi de vous poser une question. 00:03:03.220 --> 00:03:06.830 Y est juste égale à x au carré ? 00:03:06.830 --> 00:03:08.660 Parce que nous avons pris le dérivé et clairement le dérivé 00:03:08.660 --> 00:03:10.575 de x au carré est 2x. 00:03:10.575 --> 00:03:14.320 Mais quelle est le dérivé de x au carré--quel est le 00:03:14.320 --> 00:03:15.880 x au carré dérivé plus 1 ? 00:03:21.090 --> 00:03:24.500 Bien, le dérivé de x au carré est toujours 2x. 00:03:24.500 --> 00:03:26.100 Quel est le dérivé de 1 ? 00:03:26.100 --> 00:03:28.460 Evidemment, le dérivé de 1 est 0, donc c'est 2 x plus 00:03:28.460 --> 00:03:30.540 0, ou encore 2 x. 00:03:30.540 --> 00:03:37.570 De même, quel est le dérivé de x au carré plus 2 ? 00:03:37.570 --> 00:03:39.050 Ainsi, le dérivé de x au carré plus 2 00:03:39.050 --> 00:03:42.620 encore une fois est 2 x plus 0. 00:03:42.620 --> 00:03:45.200 Alors remarquez le dérivé de x au carré plus 00:03:45.200 --> 00:03:47.890 n'importe quelle constante est 2x. 00:03:47.890 --> 00:03:52.390 Alors vraiment, ça pourrait être x au carré plus n'importe quelle constante. 00:03:52.390 --> 00:03:55.420 Et pour n'importe quelle constante nous avons placé un grand c. 00:03:55.420 --> 00:03:56.960 Alors x au carré et c. 00:03:56.960 --> 00:03:59.100 Et vous ferez la connaissance de nombreux enseignants de calcul qui vont marquer ce 00:03:59.100 --> 00:04:01.600 problème de mal si vous oubliez de mettre le grand c quand vous faites 00:04:01.600 --> 00:04:03.340 une intégrale indéfinie. 00:04:03.340 --> 00:04:07.360 Donc tu te dis, Sal, OK, vous avez m'a montré des notations, 00:04:07.360 --> 00:04:10.880 vous m'avez rappelé que le dérivé de n'importe quel nombre 00:04:10.880 --> 00:04:14.640 constant est 0, mais cette réalité n'aide pas vraiment à résoudre 00:04:14.640 --> 00:04:15.270 une intégrale indéfinie. 00:04:15.270 --> 00:04:18.950 Bien nous allons penser à une manière--une façon systématique si je ne l'ai pas fais 00:04:18.950 --> 00:04:21.200 pour vous déjà--que nous pourrions résoudre une 00:04:21.200 --> 00:04:23.480 intégrale indéfinie. 00:04:23.480 --> 00:04:24.540 Je voudrais m'expliquer en profondeur. 00:04:30.440 --> 00:04:33.615 Une couleur plus audacieuse, je pense que cela le ferait plus intéressant. 00:04:36.300 --> 00:04:45.300 Disons que nous avons dit que y est égale à l'intégrale indéfinie de-- 00:04:45.300 --> 00:04:47.220 Permettez-moi de lancer quelque chose d'intéressant là-dedans. 00:04:47.220 --> 00:04:54.350 Supposons que l'intégrale indéfinie de x au cube est dx. 00:04:54.350 --> 00:04:58.510 Si nous voulons comprendre certaines fonctions dont le dérivé, 00:04:58.510 --> 00:05:01.470 est x au troisième exposant. 00:05:01.470 --> 00:05:02.620 Bien comment pouvons nous comprendre cela ? 00:05:02.620 --> 00:05:05.540 Bien juste de votre intuition, vous pensez probablement que, eh bien c'est 00:05:05.540 --> 00:05:10.420 probablement quelque chose fois x à l'exposant quelque chose, n'est-ce pas ? 00:05:10.420 --> 00:05:19.116 Alors disons que que y est égale à x à la puissance n. 00:05:19.116 --> 00:05:27.910 Alors quelle est dy/dx, ou le dérivé de y est n. 00:05:27.910 --> 00:05:29.390 Ainsi nous avons appris cela dans le module dérivé. 00:05:29.390 --> 00:05:32.320 Vous prenez l'exposant, multipliez-le par le coéfficient. 00:05:32.320 --> 00:05:34.480 Donc c'est une fois n. 00:05:37.890 --> 00:05:42.820 Et puis c'est x exposant n moins 1. 00:05:42.820 --> 00:05:46.810 Dans cette situation, nous disons que x à la troisième puissance est 00:05:46.810 --> 00:05:50.330 cette expression, c'est le dérivé de y. 00:05:50.330 --> 00:05:52.500 C'est égal à x exposant trois. 00:05:52.500 --> 00:05:58.220 Donc, si cela est égal à x à la puissance d'un tiers, c'est quoi a et c'est quoi n. 00:05:58.220 --> 00:06:00.360 De plus, n est facile à trouver. 00:06:00.360 --> 00:06:02.670 n moins 1 est égal à 3. 00:06:02.670 --> 00:06:07.430 Cela signifie que n est égal à 4. 00:06:07.430 --> 00:06:10.190 Et puis a est égal à quoi ? 00:06:10.190 --> 00:06:14.770 Ainsi a fois n est égal à 1, n'est-ce pas, parce que nous avons juste un 1 00:06:14.770 --> 00:06:18.410 Ce coefficient, cela a un coefficient de départ de 1. 00:06:18.410 --> 00:06:20.255 Donc a fois n est 1. 00:06:20.255 --> 00:06:23.210 Si n est 4, alors a doit être 1/4. 00:06:26.206 --> 00:06:30.780 Donc simplement à l'aide de cette définition d'un dérivé, je pense que nous avons maintenant 00:06:30.780 --> 00:06:33.340 trouvé ce que y est égal à. 00:06:33.340 --> 00:06:41.620 y est égale à 1/4 x à la quatrième puissance. 00:06:41.620 --> 00:06:44.220 Je pense que vous pouvez commencer à voir une régularité ici. 00:06:44.220 --> 00:06:46.230 Bien comment nous avons eu de x exposant trois à 00:06:46.230 --> 00:06:47.640 1/4x exposant quatre? 00:06:47.640 --> 00:06:51.940 Eh bien, nous avons augmenté l'exposant par 1 et quel que soit le nouvel 00:06:51.940 --> 00:06:56.050 exposant, nous le multiplions par 1 sur ce nouvel exposant. 00:06:56.050 --> 00:06:59.920 Alors allons voir si nous pouvons faire une règle générale ici. 00:07:02.870 --> 00:07:05.810 Oh et bien sûr, plus c. 00:07:05.810 --> 00:07:08.360 Je n'aurais pas réussi cet examen... 00:07:08.360 --> 00:07:13.260 Alors disons qu'en règle générale, si j'ai l'intégrale 00:07:13.260 --> 00:07:18.210 --Eh bien, puisque nous avons déjà utilisé a, disons--b 00:07:18.210 --> 00:07:23.670 fois x à l'exposant dx n. 00:07:23.670 --> 00:07:24.650 Quel est cet intégral ? 00:07:24.650 --> 00:07:27.420 C'est un signe intégral. 00:07:27.420 --> 00:07:33.630 Eh bien, ma nouvelle règle est, je monte l'exposant sur x par 1, donc elle va 00:07:33.630 --> 00:07:36.880 être x exposant n plus 1 00:07:36.880 --> 00:07:40.980 Et puis je multiplie x fois l'inverse de ce nombre. 00:07:40.980 --> 00:07:45.380 Alors fois 1 sur n + 1. 00:07:45.380 --> 00:07:47.580 Et bien sûr j'ai ce b là tout ce temps. 00:07:47.580 --> 00:07:50.310 Et un jour je ferai une démonstration plus vigoureuse, avec une plus preuve plus rigoureuse 00:07:50.310 --> 00:07:53.520 et il sera peut-être vigoureux ainsi--quant à pourquoi ce b 00:07:53.520 --> 00:07:56.490 reste en multipliant. 00:07:56.490 --> 00:07:59.390 En fait je n'ai pas à faire une preuve trop rigoureuse si vous 00:07:59.390 --> 00:08:04.030 n'oubliez pas la façon dont un dérivé est fait, vous multipliez simplement tout cela 00:08:04.030 --> 00:08:05.830 fois l'exposant moins 1. 00:08:05.830 --> 00:08:10.190 Donc ici nous multiplions le coefficient fois 1 sur 00:08:10.190 --> 00:08:11.530 l'exposant plus 1. 00:08:11.530 --> 00:08:13.630 C'est simplement l'opération inverse. 00:08:13.630 --> 00:08:16.460 Allons faire quelques exemples comme ça très vite. 00:08:16.460 --> 00:08:18.820 J'ai un peu de temps de reste. 00:08:18.820 --> 00:08:22.420 Je pense que les exemples, au moins pour moi, vraiment 00:08:22.420 --> 00:08:23.200 atteint le point d'accueil. 00:08:23.200 --> 00:08:25.520 Alors disons que je voulais découvrir l'intégrale 00:08:25.520 --> 00:08:31.310 de 5 x à la puissance de sept dx. 00:08:31.310 --> 00:08:35.850 Eh bien, je prends l'exposant, l'augmente par un. 00:08:35.850 --> 00:08:39.910 Donc j'obtiens x exposant huit, puis je multiplie le coefficient 00:08:39.910 --> 00:08:42.100 fois 1 sur le nouvel exposant. 00:08:42.100 --> 00:08:45.920 C'est donc x 5/8 exposant huit. 00:08:45.920 --> 00:08:48.250 Et si vous ne me croyez pas, prenez ledérivé de ceci 00:08:48.250 --> 00:08:56.740 Prenez le d/dx dérivé de 5/8 x exposant huit. 00:08:56.740 --> 00:08:59.970 Ainsi vous multipliez 8 fois 5/8. 00:08:59.970 --> 00:09:04.450 Eh bien c'est égal à x 5 exposant--et maintenant le nouveau exposant va 00:09:04.450 --> 00:09:08.600 être 8 moins 1--5 x exposant sept. 00:09:08.600 --> 00:09:10.880 Oh et bien sûr, plus c. 00:09:10.880 --> 00:09:13.090 Il ne faut pas oublier le plus c. 00:09:13.090 --> 00:09:15.680 Donc je pense que vous avez un apperçu de comment cela fonctionne. 00:09:15.680 --> 00:09:17.990 Dans la présentation suivante, je vais faire un paquet 00:09:17.990 --> 00:09:19.960 d'exemples et je vais aussi vous montrer comment genre 00:09:19.960 --> 00:09:21.320 inverser la règle de la chaîne. 00:09:21.320 --> 00:09:23.270 Et puis nous allons apprendre l'intégration par parties, qui est 00:09:23.270 --> 00:09:25.720 essentiellement juste inverser la règle du produit. 00:09:25.720 --> 00:09:26.330 On se voit dans la prochaine présentation.