0:00:00.000,0:00:00.750
..

0:00:00.750,0:00:03.210
Velkommen til presentasjonen [br]av ubestemte integraler

0:00:03.210,0:00:04.430
eller den antideriverte.

0:00:04.430,0:00:06.750
Vi starter med repetisjon av den

0:00:06.750,0:00:07.270
deriverte.

0:00:07.270,0:00:10.700
Så hvis jeg tar d/dx.

0:00:10.700,0:00:13.450
Det er bare derivasjonssymbolet.

0:00:13.450,0:00:16.700
Hvis jeg skulle derivere uttrykket x i andre

0:00:16.700,0:00:20.140
- denne er enkel, hvis du [br]husker derivasjonsvideoen.

0:00:20.140,0:00:21.860
- denne er enkel, hvis du [br]husker derivasjonsvideoen.

0:00:21.860,0:00:23.400
Vel, dette er ganske lett.

0:00:23.400,0:00:24.640
Du tar bare eksponenten.

0:00:24.640,0:00:27.100
Som blir den nye koeffisienten.

0:00:27.100,0:00:29.040
Du multipliserer den med [br]den gamle koeffisienten,

0:00:29.040,0:00:32.310
men her er den gamle koeffisienten 1, [br]så 2 ganger 1 er lik 2.

0:00:32.310,0:00:35.130
Og så tar du variabelen 2x.

0:00:35.130,0:00:37.170
Og så blir den nye eksponenten [br]en mindre enn

0:00:37.170,0:00:38.460
den gamle eksponenten.

0:00:38.460,0:00:41.930
Så det blir 2x i første eller bare 2x.

0:00:41.930,0:00:42.580
Det var lett.

0:00:42.580,0:00:46.000
Hvis jeg hadde y lik x i andre, [br]vet vi nå at stigningstallet til et

0:00:46.000,0:00:50.240
punkt på den kurven ville være 2 x.

0:00:50.240,0:00:52.040
Så hva om vi ønsket å [br]gå den andre veien?

0:00:52.040,0:00:55.720
Hvis vi begynte med 2 x, [br]og jeg spurte

0:00:55.720,0:01:07.330
Hva er 2x den deriverte av?

0:01:07.330,0:01:09.420
Vel, vi vet svaret på dette [br]spørsmålet, ikke sant?

0:01:09.420,0:01:10.755
Fordi vi deriverte x i andre

0:01:10.755,0:01:12.170
og det ble 2x.

0:01:12.170,0:01:14.680
Men tenk om vi ikke allerede visste dette.

0:01:14.680,0:01:18.170
Du vet det kanskje allikevel,

0:01:18.170,0:01:21.070
når du deriverer sånn vi nettopp gjorde,

0:01:21.070,0:01:23.450
hvordan du da kan gå motsatt vei.

0:01:23.450,0:01:27.830
Så var det notasjonen--[br]vi vet det er x i andre--

0:01:27.830,0:01:31.870
men notasjonen når vi finner [br]hva 2x er den deriverte av,

0:01:31.870,0:01:35.920
la oss si 2x er den deriverte av y.

0:01:35.920,0:01:39.410
la oss si 2x er den deriverte av y.

0:01:39.410,0:01:43.050
Så 2x er den deriverte av y.

0:01:43.050,0:01:46.150
Vi fjerner dette.

0:01:46.150,0:01:47.270
Så vi kan si.

0:01:47.270,0:01:51.260
Vi kan si at y er lik-- og nå får du se en

0:01:51.260,0:01:55.990
ganske fancy notasjon, og [br]jeg skal forklare hvorfor

0:01:55.990,0:01:59.500
vi bruker denne notasjonen i [br]en senere presentasjon.

0:01:59.500,0:02:01.680
Men du må vite hva notasjonen betyr

0:02:01.680,0:02:03.925
eller hva du da skal gjøre,

0:02:03.925,0:02:06.070
altså finne den antideriverte eller [br]det ubestemte integralet.

0:02:06.070,0:02:10.340
Så vi kan si at y er lik det ubestemte

0:02:10.340,0:02:14.350
integralet 2x dx.

0:02:14.350,0:02:17.220
Og jeg skal forklare hva denne [br]krokete linja her er og dx,

0:02:17.220,0:02:20.690
men det du må vite er at [br]når du ser den krokete linja

0:02:20.690,0:02:24.700
og denne dx, og så noe [br]i mellom, så vil de

0:02:24.700,0:02:28.370
at du finner den antideriverte[br]av dette uttrykket.

0:02:28.370,0:02:30.060
at du finner den antideriverte[br]av dette uttrykket.

0:02:30.060,0:02:32.550
Og jeg skal forklare senere [br]hvorfor dette kalles

0:02:32.550,0:02:33.340
det ubestemte integralet.

0:02:33.340,0:02:36.350
Og denne notasjonen gir mye mer mening

0:02:36.350,0:02:39.970
når jeg viser deg hva et bestemt integral er.

0:02:39.970,0:02:42.000
Men foreløbig er et

0:02:42.000,0:02:44.000
ubestemt integral--som jeg [br]tegnet her, en slags

0:02:44.000,0:02:47.450
krokete linje--det er den antideriverte.

0:02:47.450,0:02:52.350
Så y er lik den antideriverte,

0:02:52.350,0:02:56.150
eller det ubestemte integralet [br]til uttrykket 2x.

0:02:56.150,0:02:57.270
Så hva er y lik?

0:02:57.270,0:03:02.210
y er åpenbart lik x i andre.

0:03:02.210,0:03:03.220
La meg stille deg et spørsmål.

0:03:03.220,0:03:06.830
Er y bare lik x i andre?

0:03:06.830,0:03:08.660
Vi deriverte, og den deriverte

0:03:08.660,0:03:10.575
av x i andre er 2x.

0:03:10.575,0:03:14.320
Men hva er den deriverte av [br]x i andre - hva er den

0:03:14.320,0:03:15.880
deriverte av x i andre pluss 1?

0:03:15.880,0:03:21.090
..

0:03:21.090,0:03:24.500
Vel, den deriverte av x i andre er fortsatt 2x.

0:03:24.500,0:03:26.100
Hva er den deriverte av 1?

0:03:26.100,0:03:28.460
Riktig, den deriverte av 1 er 0, [br]så det er 2x pluss

0:03:28.460,0:03:30.540
0, eller bare 2x.

0:03:30.540,0:03:37.570
Og tilsvarende, hva er den deriverte [br]av x i andre pluss 2?

0:03:37.570,0:03:39.050
Vel, den deriverte av x i andre pluss 2 er

0:03:39.050,0:03:42.620
også 2x pluss 0.

0:03:42.620,0:03:45.200
Så merk deg at den deriverte av [br]x i andre pluss

0:03:45.200,0:03:47.890
en konstant er 2x.

0:03:47.890,0:03:52.390
Så egentlig er y lik x i andre [br]pluss en konstant.

0:03:52.390,0:03:55.420
Og istedet for en konstant, [br]setter vi en stor C der.

0:03:55.420,0:03:56.960
Så x i andre pluss C.

0:03:56.960,0:03:59.100
Og du vil møte mange lærere som gir deg

0:03:59.100,0:04:01.600
minus hvis du glemmer å sette [br]pluss C når du regner

0:04:01.600,0:04:03.340
et ubestemt integral.

0:04:03.340,0:04:07.360
Så sier du, Sal, OK, du har [br]vist meg noen notasjoner,

0:04:07.360,0:04:10.880
du har minnet meg på at den [br]deriverte av alle konstanter

0:04:10.880,0:04:14.640
er 0, men dette hjelper meg ikke med å løse

0:04:14.640,0:04:15.270
et ubestemt integral.

0:04:15.270,0:04:18.950
La oss finne en systematisk måte

0:04:18.950,0:04:21.200
for å løse et

0:04:21.200,0:04:23.480
ubestemt integral.

0:04:23.480,0:04:24.540
Jeg fjerner dette.

0:04:24.540,0:04:30.440
..

0:04:30.440,0:04:33.615
Jeg tror at en tøffere farge [br]kan gjøre dette mer interessant.

0:04:33.615,0:04:36.300
.

0:04:36.300,0:04:45.300
La oss si at y er lik det ubestemte integralet--

0:04:45.300,0:04:47.220
Jeg må gjøre det mer interessant.

0:04:47.220,0:04:54.350
La oss si det ubestemte integralet av x i tredje dx.

0:04:54.350,0:04:58.510
Vi ønsker å finne funksjonen som har

0:04:58.510,0:05:01.470
x i tredje som derivert.

0:05:01.470,0:05:02.620
Hvordan finner vi den?

0:05:02.620,0:05:05.540
Din intuisjon sier kanskje at det må være

0:05:05.540,0:05:10.420
noe ganger x i noe, ikke sant?

0:05:10.420,0:05:19.116
La oss si at y er lik x i nte.

0:05:19.116,0:05:27.910
Så hva er dy/dx, eller den deriverte av y i nte.

0:05:27.910,0:05:29.390
Vi husker dette fra derivasjonsdelen.

0:05:29.390,0:05:32.320
Du tar eksponenten og multipliserer [br]den med koeffisienten.

0:05:32.320,0:05:34.480
Så det er a ganger n.

0:05:34.480,0:05:37.890
.

0:05:37.890,0:05:42.820
Og da er det x i (n - 1).

0:05:42.820,0:05:46.810
Vel, her vil det si at x i tredje er

0:05:46.810,0:05:50.330
dette uttrykket, det er den deriverte av y.

0:05:50.330,0:05:52.500
Dette er lik x i tredje.

0:05:52.500,0:05:58.220
Så hvis dette er lik x i tredje, [br]hva er a og hva er n?

0:05:58.220,0:06:00.360
Vel, n er lett å finne.

0:06:00.360,0:06:02.670
n minus 1 er lik 3.

0:06:02.670,0:06:07.430
Så da er n lik 4.

0:06:07.430,0:06:10.190
Og hva er a lik?

0:06:10.190,0:06:14.770
Vel, a ganger n er lik 1, [br]fordi vi bare har en 1

0:06:14.770,0:06:18.410
i denne koeffisienten. Denne en koeffisient lik 1.

0:06:18.410,0:06:20.255
Så a ganger n er lik 1.

0:06:20.255,0:06:23.210
Hvis n er lik 4, må a være lik 1/4.

0:06:23.210,0:06:26.206
.

0:06:26.206,0:06:30.780
Så ved å bruke denne definisjonen på [br]den deriverte, har vi nå

0:06:30.780,0:06:33.340
funnet ut hva y er lik.

0:06:33.340,0:06:41.620
y er lik 1/4 x i fjerde.

0:06:41.620,0:06:44.220
Jeg tror du kan se et mønster her.

0:06:44.220,0:06:46.230
Vel hvordan kom vi fra x i tredje til

0:06:46.230,0:06:47.640
1/4 x i fjerde?

0:06:47.640,0:06:51.940
Vel, vi økte eksponenten med 1, og den nye

0:06:51.940,0:06:56.050
eksponenten multipliserer vi med 1[br]delt på den nye eksponenten.

0:06:56.050,0:06:59.920
Kan vi lage en generell regel her?

0:06:59.920,0:07:02.870
.

0:07:02.870,0:07:05.810
Ja selvfølgelig, pluss C.

0:07:05.810,0:07:08.360
Jeg hadde strøket på denne prøven.

0:07:08.360,0:07:13.260
Vi lager en generell regel. [br]Hvis jeg har integralet til--

0:07:13.260,0:07:18.210
vel, siden vi allerede har [br]en a, la oss si b

0:07:18.210,0:07:23.670
ganger x i nte dx.

0:07:23.670,0:07:24.650
Hva er dette integralet?

0:07:24.650,0:07:27.420
Dette er et integraltegn.

0:07:27.420,0:07:33.630
Min nye regel er, jeg øker [br]eksponenten til x med 1, så

0:07:33.630,0:07:36.880
det blir x i (n pluss 1).

0:07:36.880,0:07:40.980
Og så multipliserer jeg x med [br]den inverse av dette tallet.

0:07:40.980,0:07:45.380
Så ganger 1 delt på (n pluss 1).

0:07:45.380,0:07:47.580
Og selvfølgelig hadde jeg [br]denne b hele tiden.

0:07:47.580,0:07:50.310
Og en dag skal jeg gjøre et bedre bevis

0:07:50.310,0:07:53.520
for hvorfor denne b[br]bare skal multipliseres.

0:07:53.520,0:07:56.490
for hvorfor denne b[br]bare skal multipliseres.

0:07:56.490,0:07:59.390
Egentlig trenger vi ikke et [br]bedre bevis hvis du bare

0:07:59.390,0:08:04.030
husker hvordan vi deriverer, [br]du bare multipliserer denne

0:08:04.030,0:08:05.830
med eksponenten minus 1.

0:08:05.830,0:08:10.190
Så her multipliserer vi [br]koeffisienten med 1 over

0:08:10.190,0:08:11.530
eksponenten pluss 1.

0:08:11.530,0:08:13.630
Det er bare den inverse operasjonen.

0:08:13.630,0:08:16.460
Så la oss ta et par raske eksempler.

0:08:16.460,0:08:18.820
Jeg har litt tid igjen.

0:08:18.820,0:08:22.420
Jeg synes at eksempler, [br]i hvert fall for meg,

0:08:22.420,0:08:23.200
er best for forståelsen.

0:08:23.200,0:08:25.520
Vi vil løse integralet

0:08:25.520,0:08:31.310
5 x i syvende dx.

0:08:31.310,0:08:35.850
Vel, jeg tar eksponenten [br]og øker den med en.

0:08:35.850,0:08:39.910
Så får jeg x i åttende, og deretter [br]multipliserer jeg koeffisienten

0:08:39.910,0:08:42.100
med 1 delt på nye eksponenten.

0:08:42.100,0:08:45.920
Så det blir 5/8 x i åttende.

0:08:45.920,0:08:48.250
Og hvis du ikke tror meg, [br]kan du derivere denne.

0:08:48.250,0:08:56.740
Finn den deriverte d/dx av 5/8 x i åttende.

0:08:56.740,0:08:59.970
Du multipliserer 8 med 5/8.

0:08:59.970,0:09:04.450
Vel det er lik 5 x i-- [br]og den nye eksponenten

0:09:04.450,0:09:08.600
blir 8 minus 1 -- 5 x i syvende.

0:09:08.600,0:09:10.880
Og selvfølgelig, pluss C.

0:09:10.880,0:09:13.090
Jeg må ikke glemme pluss C.

0:09:13.090,0:09:15.680
Jeg håper du nå forstår litt av [br]hvordan dette fungerer.

0:09:15.680,0:09:17.990
I den neste presentasjonen [br]vil jeg gjøre mange eksempler,

0:09:17.990,0:09:19.960
og jeg vil også vise deg [br]hvordan du går

0:09:19.960,0:09:21.320
motsatt vei.

0:09:21.320,0:09:23.270
Og deretter vil vi lære integrasjon av deler,

0:09:23.270,0:09:25.720
som bare er å reversere produktregelen.

0:09:25.720,0:09:26.330
Ser deg i den neste presentasjonen.

0:09:26.330,0:09:27.900
.