..
Velkommen til presentasjonen av ubestemte integraler
eller den antideriverte.
Vi starter med repetisjon av den
deriverte.
Så hvis jeg tar d/dx.
Det er bare derivasjonssymbolet.
Hvis jeg skulle derivere uttrykket x i andre
- denne er enkel, hvis du husker derivasjonsvideoen.
Vel, dette er ganske lett.
Du tar bare eksponenten.
Som blir den nye koeffisienten.
Du multipliserer den med den gamle koeffisienten,
men her er den gamle koeffisienten 1, så 2 ganger 1 er lik 2.
Og så tar du variabelen 2x.
Og så blir den nye eksponenten en mindre enn
den gamle eksponenten.
Så det blir 2x i første eller bare 2x.
Det var lett.
Hvis jeg hadde y lik x i andre, vet vi nå at stigningstallet til et
punkt på den kurven ville være 2 x.
Så hva om vi ønsket å gå den andre veien?
Hvis vi begynte med 2 x, og jeg spurte
Hva er 2x den deriverte av?
Vel, vi vet svaret på dette spørsmålet, ikke sant?
Fordi vi deriverte x i andre
og det ble 2x.
Men tenk om vi ikke allerede visste dette.
Du vet det kanskje allikevel,
når du deriverer sånn vi nettopp gjorde,
hvordan du da kan gå motsatt vei.
Så var det notasjonen-- vi vet det er x i andre--
men notasjonen når vi finner hva 2x er den deriverte av,
la oss si 2x er den deriverte av y.
Så 2x er den deriverte av y.
Vi fjerner dette.
Så vi kan si.
Vi kan si at y er lik-- og nå får du se en
ganske fancy notasjon, og jeg skal forklare hvorfor
vi bruker denne notasjonen i en senere presentasjon.
Men du må vite hva notasjonen betyr
eller hva du da skal gjøre,
altså finne den antideriverte eller det ubestemte integralet.
Så vi kan si at y er lik det ubestemte
integralet 2x dx.
Og jeg skal forklare hva denne krokete linja her er og dx,
men det du må vite er at når du ser den krokete linja
og denne dx, og så noe i mellom, så vil de
at du finner den antideriverte av dette uttrykket.
Og jeg skal forklare senere hvorfor dette kalles
det ubestemte integralet.
Og denne notasjonen gir mye mer mening
når jeg viser deg hva et bestemt integral er.
Men foreløbig er et
ubestemt integral--som jeg tegnet her, en slags
krokete linje--det er den antideriverte.
Så y er lik den antideriverte,
eller det ubestemte integralet til uttrykket 2x.
Så hva er y lik?
y er åpenbart lik x i andre.
La meg stille deg et spørsmål.
Er y bare lik x i andre?
Vi deriverte, og den deriverte
av x i andre er 2x.
Men hva er den deriverte av x i andre - hva er den
deriverte av x i andre pluss 1?
..
Vel, den deriverte av x i andre er fortsatt 2x.
Hva er den deriverte av 1?
Riktig, den deriverte av 1 er 0, så det er 2x pluss
0, eller bare 2x.
Og tilsvarende, hva er den deriverte av x i andre pluss 2?
Vel, den deriverte av x i andre pluss 2 er
også 2x pluss 0.
Så merk deg at den deriverte av x i andre pluss
en konstant er 2x.
Så egentlig er y lik x i andre pluss en konstant.
Og istedet for en konstant, setter vi en stor C der.
Så x i andre pluss C.
Og du vil møte mange lærere som gir deg
minus hvis du glemmer å sette pluss C når du regner
et ubestemt integral.
Så sier du, Sal, OK, du har vist meg noen notasjoner,
du har minnet meg på at den deriverte av alle konstanter
er 0, men dette hjelper meg ikke med å løse
et ubestemt integral.
La oss finne en systematisk måte
for å løse et
ubestemt integral.
Jeg fjerner dette.
..
Jeg tror at en tøffere farge kan gjøre dette mer interessant.
.
La oss si at y er lik det ubestemte integralet--
Jeg må gjøre det mer interessant.
La oss si det ubestemte integralet av x i tredje dx.
Vi ønsker å finne funksjonen som har
x i tredje som derivert.
Hvordan finner vi den?
Din intuisjon sier kanskje at det må være
noe ganger x i noe, ikke sant?
La oss si at y er lik x i nte.
Så hva er dy/dx, eller den deriverte av y i nte.
Vi husker dette fra derivasjonsdelen.
Du tar eksponenten og multipliserer den med koeffisienten.
Så det er a ganger n.
.
Og da er det x i (n - 1).
Vel, her vil det si at x i tredje er
dette uttrykket, det er den deriverte av y.
Dette er lik x i tredje.
Så hvis dette er lik x i tredje, hva er a og hva er n?
Vel, n er lett å finne.
n minus 1 er lik 3.
Så da er n lik 4.
Og hva er a lik?
Vel, a ganger n er lik 1, fordi vi bare har en 1
i denne koeffisienten. Denne en koeffisient lik 1.
Så a ganger n er lik 1.
Hvis n er lik 4, må a være lik 1/4.
.
Så ved å bruke denne definisjonen på den deriverte, har vi nå
funnet ut hva y er lik.
y er lik 1/4 x i fjerde.
Jeg tror du kan se et mønster her.
Vel hvordan kom vi fra x i tredje til
1/4 x i fjerde?
Vel, vi økte eksponenten med 1, og den nye
eksponenten multipliserer vi med 1 delt på den nye eksponenten.
Kan vi lage en generell regel her?
.
Ja selvfølgelig, pluss C.
Jeg hadde strøket på denne prøven.
Vi lager en generell regel. Hvis jeg har integralet til--
vel, siden vi allerede har en a, la oss si b
ganger x i nte dx.
Hva er dette integralet?
Dette er et integraltegn.
Min nye regel er, jeg øker eksponenten til x med 1, så
det blir x i (n pluss 1).
Og så multipliserer jeg x med den inverse av dette tallet.
Så ganger 1 delt på (n pluss 1).
Og selvfølgelig hadde jeg denne b hele tiden.
Og en dag skal jeg gjøre et bedre bevis
for hvorfor denne b bare skal multipliseres.
Egentlig trenger vi ikke et bedre bevis hvis du bare
husker hvordan vi deriverer, du bare multipliserer denne
med eksponenten minus 1.
Så her multipliserer vi koeffisienten med 1 over
eksponenten pluss 1.
Det er bare den inverse operasjonen.
Så la oss ta et par raske eksempler.
Jeg har litt tid igjen.
Jeg synes at eksempler, i hvert fall for meg,
er best for forståelsen.
Vi vil løse integralet
5 x i syvende dx.
Vel, jeg tar eksponenten og øker den med en.
Så får jeg x i åttende, og deretter multipliserer jeg koeffisienten
med 1 delt på nye eksponenten.
Så det blir 5/8 x i åttende.
Og hvis du ikke tror meg, kan du derivere denne.
Finn den deriverte d/dx av 5/8 x i åttende.
Du multipliserer 8 med 5/8.
Vel det er lik 5 x i-- og den nye eksponenten
blir 8 minus 1 -- 5 x i syvende.
Og selvfølgelig, pluss C.
Jeg må ikke glemme pluss C.
Jeg håper du nå forstår litt av hvordan dette fungerer.
I den neste presentasjonen vil jeg gjøre mange eksempler,
og jeg vil også vise deg hvordan du går
motsatt vei.
Og deretter vil vi lære integrasjon av deler,
som bare er å reversere produktregelen.
Ser deg i den neste presentasjonen.
.