Witam w prezentacji na temat całki nieoznaczonej
albo inaczej mówiąc funkcji pierwotnej.
Zacznijmy od małej powtórki
na temat pochodnych.
Chcę obliczyć pochodną d/dx.
To tylko operator różniczkowania.
Gdybym miał zróżniczkować wyrażenie
x do kwadratu- jest to łatwe jeśli pamiętasz
prezentację o pochodnych.
Po prostu bierzemy wykładnik.
Będzie on nowym współczynnikiem przy zmiennej x, prawda?
Właściwie to mnożymy go przez stary współczynnik, ale
w tym przypadku stary współczynnik to 1, więc 2 razy 1 daje 2.
I bierzemy zmienną x.
Teraz nowy wykładnik jest o jeden mniejszy
niż poprzedni wykładnik.
Mamy więc 2x do potęgi pierwszej, czyli po prostu 2x.
A więc to było łatwe.
Mając teraz y równe x do kwadratu, wiemy już, że
w każdym punkcie tej krzywej jej nachylenie jest równe 2x.
A gdybyśmy chcieli odwrócić pytanie?
Powiedzmy, że chcielibyśmy rozpocząć od 2x i stwierdzić,
pochodną jakiego wyrażenia jest 2x.
Cóż, znamy już odpowiedź na to pytanie, prawda?
Ponieważ przed chwilą obliczyliśmy pochodną x do kwadratu
i otrzymaliśmy 2x.
Przypuśćmy jednak, że nie wiemy tego z góry.
Prawdopodobnie dałoby się to rozwiązać z pomocą intuicji,
w jaki sposób można zrobić operację podobną jak przed chwilą,
w jaki sposób można to odwrócić.
Więc w tym przypadku notacja-- wiemy, że odpowiedź to x do kwadratu--
ale notacja wskazująca, że chodzi nam o znalezienie wyrażenia,
którego pochodną jest 2x-- powiedzmy, że 2x
jest pochodną y.
Więc 2x jest pochodną y.
Mamy zatem
y jest równe- i teraz podam pewną bardzo wyszukaną
notację i wyjaśnię, dlaczego używamy
tej właśnie notacji w kilku kolejnych prezentacjach.
W tym miejscu wystarczy tylko wiedzieć, co ta notacja oznacza,
co się pod nią kryje- a w istocie jest to przeciwieństwo różniczkowania
lub- inaczej mówiąc-znajdowanie funkcji pierwotnej, lub całka nieoznaczona.
Możemy więc powiedzieć, że y jest równe
całce nieoznaczonej z 2x dx.
Wyjaśnię, czym jest ta zakręcona linia i co to jest dx,
ale wszystko co musisz teraz wiedzieć, to że gdy widzisz tę zakręconą linię,
i to dx i coś pomiędzy nimi, wszystko co masz zrobić,
to znaleźć funkcję pierwotną, czyli taką,
której pochodną jest wyrażenie przed dx.
Później wyjaśnię, dlaczego jest to nazywane
całką nieoznaczoną.
W zasadzie ta notacja będzie dużo bardziej zrozumiała,
gdy pokażę, co to jest całka oznaczona.
Na razie przyjmijmy po prostu,
że całka nieoznaczona--którą właśnie tu narysowałem
jako mały zawijas-- to funkcja pierwotna.
A więc y jest równe funkcji pierwotnej
lub całce nieoznaczonej z wyrażenia 2x.
A więc czemu jest równe y?
Coż, y jest oczywiście równe x do kwadratu.
Pozwól, że zadam pytanie.
Czy y jest równe dokładnie x do kwadratu?
Bo wyznaczyliśmy pochodną i oczywiście
pochodna z x do kwadratu to 2x.
Ale jaka jest pochodna wyrażenia
x do kwadratu plus 1?
Cóż, pochodna z x do kwadratu to wciąż 2x.
Jaka jest pochodna 1?
Tak, pochodna jedynki to 0, więc mamy 2x plus 0
lub po prostu 2x.
Podobnie, jaka jest pochodna x do kwadratu plus 2?
Pochodna x do kwadratu plus 2
to znów 2x plus 0.
Zauważ więc, że pochodna wyrażenia x do kwadratu plus
dowolna stała to 2x.
Stąd y może być równe x do kwadratu plus jakakolwiek stała.
By oznaczyć dowolną stałą, piszemy duże C w tym miejscu.
Więc mamy x do kwadratu plus C.
Spotkasz wielu nauczycieli, którzy ocenią Twoje rozwiązanie jako błędne,
jeśli zapomnisz dodać stałą C podczas
wyznaczania całki nieoznaczonej.
Możesz teraz powiedzieć: OK Sal, pokazałeś mi jakąś notację,
przypomniałeś, że pochodna dowolnej stałej to 0,
ale to nie pomaga mi wcale w wyznaczaniu
całki nieoznaczonej.
Cóż, pomyślmy teraz o bardziej
systematycznym sposobie wyznaczania
całki nieoznaczonej.
Pozwól, że to wyczyszczę.
Myślę, że bardziej wyrazisty kolor uczyni to ciekawszym.
Powiedzmy y jest równe całce nieoznaczonej z--
podam w tym miejscu coś ciekawego.
Powiedzmy całka nieoznaczona z x do sześcianu dx.
Chcemy więc znaleźć funkcję, której pochodna
to x do potęgi trzeciej.
Jak możemy to zrobić?
Intuicyjnie czujesz pewnie, że będzie to prawdopodobnie
coś razy x to którejś potęgi, prawda?
No więc zapiszmy y równa się A razy x do potęgi n-tej.
Teraz jaka jest pochodna dy/dx?
Nayczyliśmy się tego w module na temat pochodnych.
Bierzesz wykładnik i mnożysz go przez współczynnik.
A więc mamy A razy n.
Następnie mamy x do potęgi n-1.
W tej sytuacji to wyrażenie jest równe x do sześcianu,
czyli pochodnej y.
To jest równe x do sześcianu.
Teraz musimy znaleźć A i n.
Cóż, łatwo jest odgadnąć n.
n-1 jest równe 3.
To oznacza, że n równa się 4.
Ile wynosi A?
Mamy A razy n równa się 1, bo jedynka
jest początkowym współczynnikiem.
Więc n razy A to 1.
Jeśli n to 4, to A musi być równe 1/4.
Więc korzystając tylko z definicji pochodnej,
znaleźliśmy y.
y jest równe 1/4 razy x do potęgi czwartej.
Być może zaczynasz już dostrzegać pewien wzór.
W jaki sposób z x do sześcianu otrzymaliśmy
1/4 razy x do czwartej?
Cóż, zwiększyliśmy wykładnik o 1 i jakikolwiek jest ten nowy
wykładnik, mnożymy to przez 1 przez jego odwrotność.
Pomyślmy, czy można zapisać tu jakąś ogólną regułę.
Och, i oczywiście plus C.
Oblałbym ten ogzamin.
Sformułujmy ogólną regułę: gdy mamy całkę nieoznaczoną z--
już użyliśmy A, więc weźmy B--
B razy x do potęgi n-tej dx.
Jaka jest ta całka?
To jest symbol całki.
Reguła mówi, że zwiększam wykładnik przy x o 1, więc
będzie to x do potęgi n plus 1.
I następnie mnożę to przez odwrotność tej liczby.
Więc razy 1 przez n plus 1.
I oczywiście cały czas mam tutaj to B.
Pewnego dnia pokażę bardziej ścisły dowód
dlaczego to B
zostawiamy tu i przemnażamy.
Właściwie nie muszę ściśle tego pokazywać, jeśli tylko
pamiętasz jak się różniczkuje- po prostu
mnożysz to przez wykładnik minus 1.
Stąd tutaj mnożymy współczynnik przez
1 przez wykładnik plus 1.
To po prostu operacja odwrotna.
Zróbmy więc szybko jakiś przykład.
Mamy jeszcze chwilę.
Myślę, że przykłady naprawdę
wszystko wyjaśniają.
Chcemy znaleźć całkę nieoznaczoną z
5 razy x do potęgi siódmej dx.
Więc biorę wykładnik i zwiększam go o 1.
Dostaję x do potęgi ósmej, następnie mnożę współczynnik
przez odwrotność nowego wykładnika.
Mamy więc 5/8 razy x do potęgi ósmej.
Jeśli mi nie wierzysz, wyznacz pochodną tego wyrażenia.
Wyznacz pochodną d/dx z 5/8 x do ósmej.
Mnożysz 8 przez 5/8.
To daje 5 x do-- teraz nowy wykładnik to
8 minus 1-- 5 razy x do potęgi siódmej.
Och, i oczywiście plus C.
Nie zapominajmy dodać stałej C.
Myślę, że masz teraz wyczucie, jak to działa.
W następnej prezentacji pokażę garść innych
przykładów a także pokażę jak można
odwrócić regułę łańcuchową.
Później nauczymy się całkować przez części, co
w istocie jest odwróceniem reguły różniczkowania iloczynu.
Do zobaczenia w następnej prezentacji