Witam w prezentacji na temat całki nieoznaczonej albo inaczej mówiąc funkcji pierwotnej. Zacznijmy od małej powtórki na temat pochodnych. Chcę obliczyć pochodną d/dx. To tylko operator różniczkowania. Gdybym miał zróżniczkować wyrażenie x do kwadratu- jest to łatwe jeśli pamiętasz prezentację o pochodnych. Po prostu bierzemy wykładnik. Będzie on nowym współczynnikiem przy zmiennej x, prawda? Właściwie to mnożymy go przez stary współczynnik, ale w tym przypadku stary współczynnik to 1, więc 2 razy 1 daje 2. I bierzemy zmienną x. Teraz nowy wykładnik jest o jeden mniejszy niż poprzedni wykładnik. Mamy więc 2x do potęgi pierwszej, czyli po prostu 2x. A więc to było łatwe. Mając teraz y równe x do kwadratu, wiemy już, że w każdym punkcie tej krzywej jej nachylenie jest równe 2x. A gdybyśmy chcieli odwrócić pytanie? Powiedzmy, że chcielibyśmy rozpocząć od 2x i stwierdzić, pochodną jakiego wyrażenia jest 2x. Cóż, znamy już odpowiedź na to pytanie, prawda? Ponieważ przed chwilą obliczyliśmy pochodną x do kwadratu i otrzymaliśmy 2x. Przypuśćmy jednak, że nie wiemy tego z góry. Prawdopodobnie dałoby się to rozwiązać z pomocą intuicji, w jaki sposób można zrobić operację podobną jak przed chwilą, w jaki sposób można to odwrócić. Więc w tym przypadku notacja-- wiemy, że odpowiedź to x do kwadratu-- ale notacja wskazująca, że chodzi nam o znalezienie wyrażenia, którego pochodną jest 2x-- powiedzmy, że 2x jest pochodną y. Więc 2x jest pochodną y. Mamy zatem y jest równe- i teraz podam pewną bardzo wyszukaną notację i wyjaśnię, dlaczego używamy tej właśnie notacji w kilku kolejnych prezentacjach. W tym miejscu wystarczy tylko wiedzieć, co ta notacja oznacza, co się pod nią kryje- a w istocie jest to przeciwieństwo różniczkowania lub- inaczej mówiąc-znajdowanie funkcji pierwotnej, lub całka nieoznaczona. Możemy więc powiedzieć, że y jest równe całce nieoznaczonej z 2x dx. Wyjaśnię, czym jest ta zakręcona linia i co to jest dx, ale wszystko co musisz teraz wiedzieć, to że gdy widzisz tę zakręconą linię, i to dx i coś pomiędzy nimi, wszystko co masz zrobić, to znaleźć funkcję pierwotną, czyli taką, której pochodną jest wyrażenie przed dx. Później wyjaśnię, dlaczego jest to nazywane całką nieoznaczoną. W zasadzie ta notacja będzie dużo bardziej zrozumiała, gdy pokażę, co to jest całka oznaczona. Na razie przyjmijmy po prostu, że całka nieoznaczona--którą właśnie tu narysowałem jako mały zawijas-- to funkcja pierwotna. A więc y jest równe funkcji pierwotnej lub całce nieoznaczonej z wyrażenia 2x. A więc czemu jest równe y? Coż, y jest oczywiście równe x do kwadratu. Pozwól, że zadam pytanie. Czy y jest równe dokładnie x do kwadratu? Bo wyznaczyliśmy pochodną i oczywiście pochodna z x do kwadratu to 2x. Ale jaka jest pochodna wyrażenia x do kwadratu plus 1? Cóż, pochodna z x do kwadratu to wciąż 2x. Jaka jest pochodna 1? Tak, pochodna jedynki to 0, więc mamy 2x plus 0 lub po prostu 2x. Podobnie, jaka jest pochodna x do kwadratu plus 2? Pochodna x do kwadratu plus 2 to znów 2x plus 0. Zauważ więc, że pochodna wyrażenia x do kwadratu plus dowolna stała to 2x. Stąd y może być równe x do kwadratu plus jakakolwiek stała. By oznaczyć dowolną stałą, piszemy duże C w tym miejscu. Więc mamy x do kwadratu plus C. Spotkasz wielu nauczycieli, którzy ocenią Twoje rozwiązanie jako błędne, jeśli zapomnisz dodać stałą C podczas wyznaczania całki nieoznaczonej. Możesz teraz powiedzieć: OK Sal, pokazałeś mi jakąś notację, przypomniałeś, że pochodna dowolnej stałej to 0, ale to nie pomaga mi wcale w wyznaczaniu całki nieoznaczonej. Cóż, pomyślmy teraz o bardziej systematycznym sposobie wyznaczania całki nieoznaczonej. Pozwól, że to wyczyszczę. Myślę, że bardziej wyrazisty kolor uczyni to ciekawszym. Powiedzmy y jest równe całce nieoznaczonej z-- podam w tym miejscu coś ciekawego. Powiedzmy całka nieoznaczona z x do sześcianu dx. Chcemy więc znaleźć funkcję, której pochodna to x do potęgi trzeciej. Jak możemy to zrobić? Intuicyjnie czujesz pewnie, że będzie to prawdopodobnie coś razy x to którejś potęgi, prawda? No więc zapiszmy y równa się A razy x do potęgi n-tej. Teraz jaka jest pochodna dy/dx? Nayczyliśmy się tego w module na temat pochodnych. Bierzesz wykładnik i mnożysz go przez współczynnik. A więc mamy A razy n. Następnie mamy x do potęgi n-1. W tej sytuacji to wyrażenie jest równe x do sześcianu, czyli pochodnej y. To jest równe x do sześcianu. Teraz musimy znaleźć A i n. Cóż, łatwo jest odgadnąć n. n-1 jest równe 3. To oznacza, że n równa się 4. Ile wynosi A? Mamy A razy n równa się 1, bo jedynka jest początkowym współczynnikiem. Więc n razy A to 1. Jeśli n to 4, to A musi być równe 1/4. Więc korzystając tylko z definicji pochodnej, znaleźliśmy y. y jest równe 1/4 razy x do potęgi czwartej. Być może zaczynasz już dostrzegać pewien wzór. W jaki sposób z x do sześcianu otrzymaliśmy 1/4 razy x do czwartej? Cóż, zwiększyliśmy wykładnik o 1 i jakikolwiek jest ten nowy wykładnik, mnożymy to przez 1 przez jego odwrotność. Pomyślmy, czy można zapisać tu jakąś ogólną regułę. Och, i oczywiście plus C. Oblałbym ten ogzamin. Sformułujmy ogólną regułę: gdy mamy całkę nieoznaczoną z-- już użyliśmy A, więc weźmy B-- B razy x do potęgi n-tej dx. Jaka jest ta całka? To jest symbol całki. Reguła mówi, że zwiększam wykładnik przy x o 1, więc będzie to x do potęgi n plus 1. I następnie mnożę to przez odwrotność tej liczby. Więc razy 1 przez n plus 1. I oczywiście cały czas mam tutaj to B. Pewnego dnia pokażę bardziej ścisły dowód dlaczego to B zostawiamy tu i przemnażamy. Właściwie nie muszę ściśle tego pokazywać, jeśli tylko pamiętasz jak się różniczkuje- po prostu mnożysz to przez wykładnik minus 1. Stąd tutaj mnożymy współczynnik przez 1 przez wykładnik plus 1. To po prostu operacja odwrotna. Zróbmy więc szybko jakiś przykład. Mamy jeszcze chwilę. Myślę, że przykłady naprawdę wszystko wyjaśniają. Chcemy znaleźć całkę nieoznaczoną z 5 razy x do potęgi siódmej dx. Więc biorę wykładnik i zwiększam go o 1. Dostaję x do potęgi ósmej, następnie mnożę współczynnik przez odwrotność nowego wykładnika. Mamy więc 5/8 razy x do potęgi ósmej. Jeśli mi nie wierzysz, wyznacz pochodną tego wyrażenia. Wyznacz pochodną d/dx z 5/8 x do ósmej. Mnożysz 8 przez 5/8. To daje 5 x do-- teraz nowy wykładnik to 8 minus 1-- 5 razy x do potęgi siódmej. Och, i oczywiście plus C. Nie zapominajmy dodać stałej C. Myślę, że masz teraz wyczucie, jak to działa. W następnej prezentacji pokażę garść innych przykładów a także pokażę jak można odwrócić regułę łańcuchową. Później nauczymy się całkować przez części, co w istocie jest odwróceniem reguły różniczkowania iloczynu. Do zobaczenia w następnej prezentacji