WEBVTT

00:00:00.750 --> 00:00:03.210
Witam w prezentacji na temat całki nieoznaczonej

00:00:03.210 --> 00:00:04.430
albo inaczej mówiąc funkcji pierwotnej.

00:00:04.430 --> 00:00:06.750
Zacznijmy od małej powtórki

00:00:06.750 --> 00:00:07.270
na temat pochodnych.

00:00:07.270 --> 00:00:10.700
Chcę obliczyć pochodną d/dx.

00:00:10.700 --> 00:00:13.450
To tylko operator różniczkowania.

00:00:13.450 --> 00:00:16.700
Gdybym miał zróżniczkować wyrażenie

00:00:16.700 --> 00:00:20.140
x do kwadratu- jest to łatwe jeśli pamiętasz

00:00:20.140 --> 00:00:21.860
prezentację o pochodnych.

00:00:23.400 --> 00:00:24.640
Po prostu bierzemy wykładnik.

00:00:24.640 --> 00:00:27.100
Będzie on nowym współczynnikiem przy zmiennej x, prawda?

00:00:27.100 --> 00:00:29.040
Właściwie to mnożymy go przez stary współczynnik, ale

00:00:29.040 --> 00:00:32.310
w tym przypadku stary współczynnik to 1, więc 2 razy 1 daje 2.

00:00:32.310 --> 00:00:35.130
I bierzemy zmienną x.

00:00:35.130 --> 00:00:37.170
Teraz nowy wykładnik jest o jeden mniejszy

00:00:37.170 --> 00:00:38.460
niż poprzedni wykładnik.

00:00:38.460 --> 00:00:41.930
Mamy więc 2x do potęgi pierwszej, czyli po prostu 2x.

00:00:41.930 --> 00:00:42.580
A więc to było łatwe.

00:00:42.580 --> 00:00:46.000
Mając teraz y równe x do kwadratu, wiemy już, że

00:00:46.000 --> 00:00:50.240
w każdym punkcie tej krzywej jej nachylenie jest równe 2x.

00:00:50.240 --> 00:00:52.040
A gdybyśmy chcieli odwrócić pytanie?

00:00:52.040 --> 00:00:55.720
Powiedzmy, że chcielibyśmy rozpocząć od 2x i stwierdzić,

00:00:55.720 --> 00:01:07.330
pochodną jakiego wyrażenia jest 2x.

00:01:07.330 --> 00:01:09.420
Cóż, znamy już odpowiedź na to pytanie, prawda?

00:01:09.420 --> 00:01:10.755
Ponieważ przed chwilą obliczyliśmy pochodną x do kwadratu

00:01:10.755 --> 00:01:12.170
i otrzymaliśmy 2x.

00:01:12.170 --> 00:01:14.680
Przypuśćmy jednak, że nie wiemy tego z góry.

00:01:14.680 --> 00:01:18.170
Prawdopodobnie dałoby się to rozwiązać z pomocą intuicji,

00:01:18.170 --> 00:01:21.070
w jaki sposób można zrobić operację podobną jak przed chwilą,

00:01:21.070 --> 00:01:23.450
w jaki sposób można to odwrócić.

00:01:23.450 --> 00:01:27.830
Więc w tym przypadku notacja-- wiemy, że odpowiedź to x do kwadratu--

00:01:27.830 --> 00:01:31.870
ale notacja wskazująca, że chodzi nam o znalezienie wyrażenia,

00:01:31.870 --> 00:01:35.920
którego pochodną jest 2x-- powiedzmy, że 2x

00:01:35.920 --> 00:01:39.410
jest pochodną y.

00:01:39.410 --> 00:01:43.050
Więc 2x jest pochodną y.

00:01:46.150 --> 00:01:47.270
Mamy zatem

00:01:47.270 --> 00:01:51.260
y jest równe- i teraz podam pewną bardzo wyszukaną

00:01:51.260 --> 00:01:55.990
notację i wyjaśnię, dlaczego używamy

00:01:55.990 --> 00:01:59.500
tej właśnie notacji w kilku kolejnych prezentacjach.

00:01:59.500 --> 00:02:01.680
W tym miejscu wystarczy tylko wiedzieć, co ta notacja oznacza,

00:02:01.680 --> 00:02:03.925
co się pod nią kryje- a w istocie jest to przeciwieństwo różniczkowania

00:02:03.925 --> 00:02:06.070
lub- inaczej mówiąc-znajdowanie funkcji pierwotnej, lub całka nieoznaczona.

00:02:06.070 --> 00:02:10.340
Możemy więc powiedzieć, że y jest równe

00:02:10.340 --> 00:02:14.350
całce nieoznaczonej z 2x dx.

00:02:14.350 --> 00:02:17.220
Wyjaśnię, czym jest ta zakręcona linia i co to jest dx,

00:02:17.220 --> 00:02:20.690
ale wszystko co musisz teraz wiedzieć, to że gdy widzisz tę zakręconą linię,

00:02:20.690 --> 00:02:24.700
i to dx i coś pomiędzy nimi, wszystko co masz zrobić,

00:02:24.700 --> 00:02:28.370
to znaleźć funkcję pierwotną, czyli taką,

00:02:28.370 --> 00:02:30.060
której pochodną jest wyrażenie przed dx.

00:02:30.060 --> 00:02:32.550
Później wyjaśnię, dlaczego jest to nazywane

00:02:32.550 --> 00:02:33.340
całką nieoznaczoną.

00:02:33.340 --> 00:02:36.350
W zasadzie ta notacja będzie dużo bardziej zrozumiała,

00:02:36.350 --> 00:02:39.970
gdy pokażę, co to jest całka oznaczona.

00:02:39.970 --> 00:02:42.000
Na razie przyjmijmy po prostu,

00:02:42.000 --> 00:02:44.000
że całka nieoznaczona--którą właśnie tu narysowałem

00:02:44.000 --> 00:02:47.450
jako mały zawijas-- to funkcja pierwotna.

00:02:47.450 --> 00:02:52.350
A więc y jest równe funkcji pierwotnej

00:02:52.350 --> 00:02:56.150
lub całce nieoznaczonej z wyrażenia 2x.

00:02:56.150 --> 00:02:57.270
A więc czemu jest równe y?

00:02:57.270 --> 00:03:02.210
Coż, y jest oczywiście równe x do kwadratu.

00:03:02.210 --> 00:03:03.220
Pozwól, że zadam pytanie.

00:03:03.220 --> 00:03:06.830
Czy y jest równe dokładnie x do kwadratu?

00:03:06.830 --> 00:03:08.660
Bo wyznaczyliśmy pochodną i oczywiście

00:03:08.660 --> 00:03:10.575
pochodna z x do kwadratu to 2x.

00:03:10.575 --> 00:03:14.320
Ale jaka jest pochodna wyrażenia

00:03:14.320 --> 00:03:15.880
x do kwadratu plus 1?

00:03:21.090 --> 00:03:24.500
Cóż, pochodna z x do kwadratu to wciąż 2x.

00:03:24.500 --> 00:03:26.100
Jaka jest pochodna 1?

00:03:26.100 --> 00:03:28.460
Tak, pochodna jedynki to 0, więc mamy 2x plus 0

00:03:28.460 --> 00:03:30.540
lub po prostu 2x.

00:03:30.540 --> 00:03:37.570
Podobnie, jaka jest pochodna x do kwadratu plus 2?

00:03:37.570 --> 00:03:39.050
Pochodna x do kwadratu plus 2

00:03:39.050 --> 00:03:42.620
to znów 2x plus 0.

00:03:42.620 --> 00:03:45.200
Zauważ więc, że pochodna wyrażenia x do kwadratu plus

00:03:45.200 --> 00:03:47.890
dowolna stała to 2x.

00:03:47.890 --> 00:03:52.390
Stąd y może być równe x do kwadratu plus jakakolwiek stała.

00:03:52.390 --> 00:03:55.420
By oznaczyć dowolną stałą, piszemy duże C w tym miejscu.

00:03:55.420 --> 00:03:56.960
Więc mamy x do kwadratu plus C.

00:03:56.960 --> 00:03:59.100
Spotkasz wielu nauczycieli, którzy ocenią Twoje rozwiązanie jako błędne,

00:03:59.100 --> 00:04:01.600
jeśli zapomnisz dodać stałą C podczas

00:04:01.600 --> 00:04:03.340
wyznaczania całki nieoznaczonej.

00:04:03.340 --> 00:04:07.360
Możesz teraz powiedzieć: OK Sal, pokazałeś mi jakąś notację,

00:04:07.360 --> 00:04:10.880
przypomniałeś, że pochodna dowolnej stałej to 0,

00:04:10.880 --> 00:04:14.640
ale to nie pomaga mi wcale w wyznaczaniu

00:04:14.640 --> 00:04:15.270
całki nieoznaczonej.

00:04:15.270 --> 00:04:18.950
Cóż, pomyślmy teraz o bardziej

00:04:18.950 --> 00:04:21.200
systematycznym sposobie wyznaczania

00:04:21.200 --> 00:04:23.480
całki nieoznaczonej.

00:04:23.480 --> 00:04:24.540
Pozwól, że to wyczyszczę.

00:04:30.440 --> 00:04:33.615
Myślę, że bardziej wyrazisty kolor uczyni to ciekawszym.

00:04:36.300 --> 00:04:45.300
Powiedzmy y jest równe całce nieoznaczonej z--

00:04:45.300 --> 00:04:47.220
podam w tym miejscu coś ciekawego.

00:04:47.220 --> 00:04:54.350
Powiedzmy całka nieoznaczona z x do sześcianu dx.

00:04:54.350 --> 00:04:58.510
Chcemy więc znaleźć funkcję, której pochodna

00:04:58.510 --> 00:05:01.470
to x do potęgi trzeciej.

00:05:01.470 --> 00:05:02.620
Jak możemy to zrobić?

00:05:02.620 --> 00:05:05.540
Intuicyjnie czujesz pewnie, że będzie to prawdopodobnie

00:05:05.540 --> 00:05:10.420
coś razy x to którejś potęgi, prawda?

00:05:10.420 --> 00:05:19.116
No więc zapiszmy y równa się A razy x do potęgi n-tej.

00:05:19.116 --> 00:05:27.910
Teraz jaka jest pochodna dy/dx?

00:05:27.910 --> 00:05:29.390
Nayczyliśmy się tego w module na temat pochodnych.

00:05:29.390 --> 00:05:32.320
Bierzesz wykładnik i mnożysz go przez współczynnik.

00:05:32.320 --> 00:05:34.480
A więc mamy A razy n.

00:05:37.890 --> 00:05:42.820
Następnie mamy x do potęgi n-1.

00:05:42.820 --> 00:05:46.810
W tej sytuacji to wyrażenie jest równe x do sześcianu,

00:05:46.810 --> 00:05:50.330
czyli pochodnej y.

00:05:50.330 --> 00:05:52.500
To jest równe x do sześcianu.

00:05:52.500 --> 00:05:58.220
Teraz musimy znaleźć A i n.

00:05:58.220 --> 00:06:00.360
Cóż, łatwo jest odgadnąć n.

00:06:00.360 --> 00:06:02.670
n-1 jest równe 3.

00:06:02.670 --> 00:06:07.430
To oznacza, że n równa się 4.

00:06:07.430 --> 00:06:10.190
Ile wynosi A?

00:06:10.190 --> 00:06:14.770
Mamy A razy n równa się 1, bo jedynka

00:06:14.770 --> 00:06:18.410
jest początkowym współczynnikiem.

00:06:18.410 --> 00:06:20.255
Więc n razy A to 1.

00:06:20.255 --> 00:06:23.210
Jeśli n to 4, to A musi być równe 1/4.

00:06:26.206 --> 00:06:30.780
Więc korzystając tylko z definicji pochodnej,

00:06:30.780 --> 00:06:33.340
znaleźliśmy y.

00:06:33.340 --> 00:06:41.620
y jest równe 1/4 razy x do potęgi czwartej.

00:06:41.620 --> 00:06:44.220
Być może zaczynasz już dostrzegać pewien wzór.

00:06:44.220 --> 00:06:46.230
W jaki sposób z x do sześcianu otrzymaliśmy

00:06:46.230 --> 00:06:47.640
1/4 razy x do czwartej?

00:06:47.640 --> 00:06:51.940
Cóż, zwiększyliśmy wykładnik o 1 i jakikolwiek jest ten nowy

00:06:51.940 --> 00:06:56.050
wykładnik, mnożymy to przez 1 przez jego odwrotność.

00:06:56.050 --> 00:06:59.920
Pomyślmy, czy można zapisać tu jakąś ogólną regułę.

00:07:02.870 --> 00:07:05.810
Och, i oczywiście plus C.

00:07:05.810 --> 00:07:08.360
Oblałbym ten ogzamin.

00:07:08.360 --> 00:07:13.260
Sformułujmy ogólną regułę: gdy mamy całkę nieoznaczoną z--

00:07:13.260 --> 00:07:18.210
już użyliśmy A, więc weźmy B--

00:07:18.210 --> 00:07:23.670
B razy x do potęgi n-tej dx.

00:07:23.670 --> 00:07:24.650
Jaka jest ta całka?

00:07:24.650 --> 00:07:27.420
To jest symbol całki.

00:07:27.420 --> 00:07:33.630
Reguła mówi, że zwiększam wykładnik przy x o 1, więc

00:07:33.630 --> 00:07:36.880
będzie to x do potęgi n plus 1.

00:07:36.880 --> 00:07:40.980
I następnie mnożę to przez odwrotność tej liczby.

00:07:40.980 --> 00:07:45.380
Więc razy 1 przez n plus 1.

00:07:45.380 --> 00:07:47.580
I oczywiście cały czas mam tutaj to B.

00:07:47.580 --> 00:07:50.310
Pewnego dnia pokażę bardziej ścisły dowód

00:07:50.310 --> 00:07:53.520
dlaczego to B

00:07:53.520 --> 00:07:56.490
zostawiamy tu i przemnażamy.

00:07:56.490 --> 00:07:59.390
Właściwie nie muszę ściśle tego pokazywać, jeśli tylko

00:07:59.390 --> 00:08:04.030
pamiętasz jak się różniczkuje- po prostu

00:08:04.030 --> 00:08:05.830
mnożysz to przez wykładnik minus 1.

00:08:05.830 --> 00:08:10.190
Stąd tutaj mnożymy współczynnik przez

00:08:10.190 --> 00:08:11.530
1 przez wykładnik plus 1.

00:08:11.530 --> 00:08:13.630
To po prostu operacja odwrotna.

00:08:13.630 --> 00:08:16.460
Zróbmy więc szybko jakiś przykład.

00:08:16.460 --> 00:08:18.820
Mamy jeszcze chwilę.

00:08:18.820 --> 00:08:22.420
Myślę, że przykłady naprawdę

00:08:22.420 --> 00:08:23.200
wszystko wyjaśniają.

00:08:23.200 --> 00:08:25.520
Chcemy znaleźć całkę nieoznaczoną z

00:08:25.520 --> 00:08:31.310
5 razy x do potęgi siódmej dx.

00:08:31.310 --> 00:08:35.850
Więc biorę wykładnik i zwiększam go o 1.

00:08:35.850 --> 00:08:39.910
Dostaję x do potęgi ósmej, następnie mnożę współczynnik

00:08:39.910 --> 00:08:42.100
przez odwrotność nowego wykładnika.

00:08:42.100 --> 00:08:45.920
Mamy więc 5/8 razy x do potęgi ósmej.

00:08:45.920 --> 00:08:48.250
Jeśli mi nie wierzysz, wyznacz pochodną tego wyrażenia.

00:08:48.250 --> 00:08:56.740
Wyznacz pochodną d/dx z 5/8 x do ósmej.

00:08:56.740 --> 00:08:59.970
Mnożysz 8 przez 5/8.

00:08:59.970 --> 00:09:04.450
To daje 5 x do-- teraz nowy wykładnik to

00:09:04.450 --> 00:09:08.600
8 minus 1-- 5 razy x do potęgi siódmej.

00:09:08.600 --> 00:09:10.880
Och, i oczywiście plus C.

00:09:10.880 --> 00:09:13.090
Nie zapominajmy dodać stałej C.

00:09:13.090 --> 00:09:15.680
Myślę, że masz teraz wyczucie, jak to działa.

00:09:15.680 --> 00:09:17.990
W następnej prezentacji pokażę garść innych

00:09:17.990 --> 00:09:19.960
przykładów a także pokażę jak można

00:09:19.960 --> 00:09:21.320
odwrócić regułę łańcuchową.

00:09:21.320 --> 00:09:23.270
Później nauczymy się całkować przez części, co

00:09:23.270 --> 00:09:25.720
w istocie jest odwróceniem reguły różniczkowania iloczynu.

00:09:25.720 --> 00:09:26.330
Do zobaczenia w następnej prezentacji