Gəlin maraqlı bir məsələni həll edək.
y bərabərdir x və y bərabərdir
x kvadratı çıx 2x şəklində funksiyalarımız var.
Bu iki funksiya arasındakı hissəni
fırlatmağa çalışırıq.
Buranı.
Ancaq onu x oxu ətrafında deyil,
y bərabərdir 4 üfüqi xətti ətrafında
fırladırıq.
Fırlatsaq, fiqur bu şəkildə olacaq.
Bunu əvvəldən çəkmişdim, amma daha səliqəli çəkə bilərdim.
Bu, ortasında deşik olan
vaza oxşayır.
Bundan istifadə edərək məsələni həll edəcəyik.
Bunu disk metodunun başqa bir
versiyası kimi fırlanma metodu
da adlandıra bilərik.
Burada
bir x-miz
var.
Bu hissəni
fırladırıq.
Bu, bizə dərinliyi verir, yəni dx-i.
Bu, dx-dir.
Bunu y bərabərdir 4 düz xətti
ətrafında fırladırıq.
Təsəvvür etsək, burada dərinlik əmələ gəlir.
Bunu fırladanda
bu şəkildə
daxili radius əmələ gəlir.
Fırlanmanın xarici radiusu isə
x kvadratı çıx 2x-in ətarfında yaranır.
Bu şəkildə-- bacardığım qədər
yaxşı çəkməyə çalışıram-- bu şəkildə
olacaq.
Sözsüz ki, fırlanmadan dərinlik əmələ gəlir.
Gəlin onu çəkim.
Burada dx dərinliyi yaranır.
Dərinliyini çalışa bildiyim qədər yaxşı çəkdim.
Bu, halqanın dərinliyidir.
Halqanın səthini bir az aydın çəkək.
Yaşıl rənglə çəkək.
Halqanın səthi bütöv
bu hissə
olacaq.
Əgər verilən x üçün bu halqalardan
birinin həcmini tapmaq istəsək,
intervalda bütün x-lər üçün
halqaların hamısını toplamalıyıq.
Görək inteqralı qura bilirikmi?
Növbəti videoda bir az da
irəliləyib inteqralı hesablayacağıq.
Halqanın həcmini
tapaq.
Bunun üçün, əvvəlcə,
halqanın səthini tapaq.
Halqanın "səthi"-- səth sözünü dırnaqda yazaq-- nəyə
bərabər olacaq?
O, halqanın sahəsinə
bərabər olacaq.
Daha sonra ondan kəsdiyimiz
hissənin sahəsini çıxaq.
Əgər
ortada deşik olmasaydı,
o, pi vur xarici radiusun kvadratına
bərabər olardı.
Bu, xarici radiusdur.
Ondan bu daxili
çevrənin sahəsini çıxmalıyıq.
Çıx pi vur daxili radiusun kvadratı.
Burada sadəcə xarici və daxili
radiusları tapmalıyıq.
Fikirləşək.
Xarici radius nəyə bərabər olacaq?
Onu burada təsvir edə bilərik.
Bu, xarici radiusdur.
Buna bərabər olacaq.
Bu məsafə y bərabərdir
4 və kənardakı funksiya arasındadır.
Mahiyyətcə, bu, hündürlükdür.
Bu da 4 çıx x kvadratı çıx 2x-ə bərabər olacaq.
Sadəcə bu iki funksiya arasındakı
məsafə, yaxud hündürlüyü tapırıq.
Xarici radius 4 çıx
x kvadratı çıx 2x-ə bərabərdir.
Bu da 4 çıx x kvadratı üstəgəl 2x-ə bərabərdir.
Daxili radius
nəyə bərabərdir?
Bu da y bərabərdir 4 və
y bərabərdir x arasındakı məsafəyə bərabərdir.
Bu, 4 çıx x olacaq.
Əgər verilən x üçün bu halqalardan birinin səthinin
sahəsini tapmaq istəyiriksə, o,-- pi-ni
mötərizə xaricinə çıxara bilərik-- bu,
pi vur xarici radiusun kvadratı,
yəni bu hissənin kvadratı.
4 çıx x kvadratı üstəgəl 2x-in kvadratı çıx
pi, vur daxili radius-- pi-ni
mötərizə xaricinə çıxardıq-- çıx
daxili radiusun kvadratı.
4 çıx x kvadratı.
Bu, bizə bu halqalardan birinin
səthinin sahəsini verir.
Əgər bu halqalardan birinin həcmini tapmaq istəyiriksə,
bunu dərinliyə vurmalıyıq, yəni dx-ə.
Əgər bütöv bu fiqurun həcmini tapmaq istəyiriksə,
hər bir x üçün bütün bu halqaları
toplamalyıq.
Gəlin edək.
Bu halqaları hər bir x üçün
toplayacağıq. Limit 0-a yaxınlaşır.
Ancaq intervalı tapmalıyıq.
Funksiyaların kəsişdiyi nöqtələr arasındakı
hissəyə diqqət yetirək.
İntervalı
tapaq.
y bərabərdir x və y bərabərdir
x kvadratı çıx 2x funksiyaları harada kəsişir?
Başqa rəngdən istifadə edək.
x x kvadratı çıx 2x-ə
nə vaxt bərabər olur?
Bu iki funksiya nə vaxt biri-birinə bərabərdir?
Hər iki tərəfdən
x-i çıxsaq,
k kvadratı çıx 3x bərabərdir 0 əldə edirik.
Sağ tərəfdən x-i mötərizə xaricinə çıxara bilərik.
Deməli, x vur x çıx 3 bərabərdir 0 alınır.
Hər iki vuruğu 0-a bərabər etsək,
bunlardan biri 0-a bərabər olmalıdır.
x bərabərdir 0-a, yaxud, x çıx 3
bərabərdir 0-a.
x 0-dır. Burada isə
x 3-dür.
Deməli, intervalımızı tapdıq.
x bərabərdir 0-dan x bərabərdir 3-ə
həcmi alırıq.
Növbəti videoda
bu inteqralı hesablayacağıq.