0:00:00.620,0:00:02.780
Хайде да решим една[br]наистина интересна задача.

0:00:02.780,0:00:07.720
Имаме у = х и у = х^2 – 2х.

0:00:07.840,0:00:10.960
Ще завъртим тази областта[br]между графиките на тези две функции.

0:00:11.020,0:00:13.277
Това е тази област ето тук.

0:00:13.277,0:00:15.610
Но няма да я завъртим[br]около оста х,

0:00:15.610,0:00:19.360
а ще я завъртим около[br]хоризонталната права у = 4.

0:00:19.360,0:00:21.454
Значи завъртаме около[br]тази права.

0:00:21.454,0:00:23.870
Ако направим това,[br]ще получим тяло, подобно на това.

0:00:23.870,0:00:26.550
Нарисувах го предварително,[br]така че да го направя хубаво.

0:00:26.550,0:00:30.210
Както виждаш, прилича[br]на някаква саксия,

0:00:30.210,0:00:32.060
която има дупка на дъното.

0:00:32.060,0:00:34.520
Сега ще се опитаме[br]да използваме

0:00:34.520,0:00:36.395
метода на пръстена, който

0:00:36.395,0:00:37.800
е вариант на метода на диска.

0:00:37.800,0:00:39.790
Да си представим един пръстен.

0:00:39.790,0:00:42.350
Да вземем някаква[br]стойност на х.

0:00:42.350,0:00:45.520
Нека да е това х ето тук.

0:00:45.520,0:00:47.750
Нека да е това х ето тук.

0:00:47.750,0:00:49.980
Сега ще завъртим тази област.

0:00:50.160,0:00:54.090
Ще има някаква дебелина, dх.

0:00:54.090,0:00:55.010
Това е fх.

0:00:55.010,0:00:57.700
Ще го завъртим около[br]правата у = 4.

0:00:57.840,0:01:02.580
Когато го чертая тук, има[br]някаква дебелина.

0:01:02.580,0:01:05.472
Когато завъртим около това,[br]вътрешният радиус

0:01:05.472,0:01:07.680
ще прилича на вътрешния[br]радиус на пръстена.

0:01:07.680,0:01:12.040
Ще изглежда ето така.

0:01:12.200,0:01:13.900
После външният радиус[br]на пръстена

0:01:13.900,0:01:17.420
ще се определя от х^2 – 2х.

0:01:17.420,0:01:21.780
Ще изглежда...

0:01:21.780,0:01:23.703
старая се максимално –

0:01:23.703,0:01:28.040
ще изглежда приблизително така.

0:01:28.040,0:01:30.800
И нашият пръстен, разбира се,[br]ще има някаква дебелина.

0:01:30.810,0:01:32.250
Ще начертая тази дебелина.

0:01:32.250,0:01:35.950
Ще има дебелина dх.

0:01:35.950,0:01:39.940
Това е най-добрият ми[br]опит да покажа тази дебелина.

0:01:39.940,0:01:42.970
Това е дебелината на пръстена.

0:01:42.970,0:01:45.440
Сега ще направя основата на [br]пръстена малко по-ясна,

0:01:45.440,0:01:47.230
ще използвам това зелено.

0:01:47.230,0:01:52.140
Основата на пръстена ще[br]бъде ето това нещо.

0:01:52.300,0:01:57.060
Всичко това ще бъде[br]основата на пръстена.

0:01:57.060,0:01:59.350
Ако можем да намерим [br]обема на един от тези пръстени

0:01:59.350,0:02:01.210
за дадена стойност на х, тогава

0:02:01.210,0:02:03.240
можем да сумираме всички[br]обеми на всички пръстени

0:02:03.240,0:02:05.919
за всяко х в този интервал.

0:02:05.919,0:02:07.710
Да видим какъв ще бъде[br]интегралът

0:02:07.710,0:02:09.990
и в следващото видео може би

0:02:09.990,0:02:13.820
ще се впуснем[br]и ще изчислим този интеграл.

0:02:13.820,0:02:15.964
Да видим какъв[br]е обемът на този пръстен.

0:02:15.964,0:02:17.630
Като разглеждаме обема[br]на пръстена,

0:02:17.630,0:02:21.280
ние всъщност разглеждаме[br]площта на основата на пръстена.

0:02:21.500,0:02:26.500
Площта на "основата" –[br]слагам основа в кавички,

0:02:26.510,0:02:28.380
на колко ще е равна?

0:02:28.380,0:02:30.670
Площта на основата на пръстена...

0:02:30.670,0:02:32.880
Ако това не беше пръстен,[br]ако беше монета,

0:02:32.880,0:02:35.441
и от нея извадим[br]площта на тази част,

0:02:35.441,0:02:36.440
която изрязваме.

0:02:36.440,0:02:40.620
Площта на пръстена, ако[br]няма отвор в средата,

0:02:40.740,0:02:48.140
щеше да е пи по квадрата[br]на външния радиус.

0:02:48.140,0:02:51.080
Щеше да е пи по [br]квадрата на радиуса,

0:02:51.090,0:02:52.950
който можем да наречем[br]външен радиус.

0:02:52.950,0:02:55.320
Но понеже това е пръстен,[br]трябва да извадим

0:02:55.320,0:02:57.030
площта на вътрешния кръг.

0:02:57.030,0:03:05.500
Значи минус пи по квадрата[br]на вътрешния радиус.

0:03:05.500,0:03:07.000
Така че трябва само да намерим

0:03:07.000,0:03:11.160
външния и вътрешния радиус,[br]тези двата радиуса.

0:03:11.160,0:03:12.710
Да помислим върху това.

0:03:12.710,0:03:19.971
Значи външният радиус[br]ще е равен на колко?

0:03:19.971,0:03:21.470
Можем да го видим ето тук.

0:03:21.470,0:03:23.610
Това е външният радиус,[br]който също така

0:03:23.610,0:03:27.770
е равен на този тук.

0:03:27.770,0:03:31.520
Това е разстоянието между[br]у = 4 и функцията, която

0:03:31.520,0:03:33.760
дефинира външната [br]част на тялото.

0:03:33.760,0:03:41.700
Това практически е[br]тази височина тук,

0:03:41.700,0:03:45.280
тя е равна на 4 – (х^2 – 2х).

0:03:45.280,0:03:48.680
Просто намирам разстоянието[br]или височината между тези две функции.

0:03:48.900,0:03:52.140
Другият радиус ще бъде[br]4 пъти това,

0:03:52.140,0:03:55.100
минус (х^2 – 2х),[br]което е просто

0:03:55.100,0:03:58.520
4 – х^2 + 2х.

0:03:58.520,0:04:04.780
А колко е вътрешният[br]радиус?

0:04:05.080,0:04:06.830
На колко е равен?

0:04:06.830,0:04:11.550
Това ще бъде разстоянието[br]между

0:04:11.550,0:04:13.480
у = 4 и у = х.

0:04:13.480,0:04:18.880
Значи ще бъде 4 – х.

0:04:19.080,0:04:22.810
За да намерим площта[br]на основата на

0:04:22.810,0:04:27.090
един от тези пръстени за[br]дадено х, трябва...

0:04:27.090,0:04:30.290
като можем да изнесем[br]пред скоби пи...

0:04:30.290,0:04:34.680
ще бъде пи по[br]квадрата на външния радиус,

0:04:34.680,0:04:36.540
който е целият този израз[br]на квадрат.

0:04:36.540,0:04:41.830
Ще бъде (4 – х^2 + 2х)^2

0:04:41.830,0:04:43.280
минус пи по вътрешния радиус,

0:04:43.280,0:04:44.780
всъщност ние изнесохме[br]пред скоби пи,

0:04:44.780,0:04:46.810
минус квадрата на[br]вътрешния радиус.

0:04:46.810,0:04:51.800
Значи минус (4 – х)^2.

0:04:51.800,0:04:57.650
Това ни дава площта[br]на основата

0:04:57.650,0:04:59.280
на един от тези пръстени.

0:04:59.280,0:05:01.700
За да намерим обема[br]на един от тези пръстени,

0:05:01.700,0:05:07.340
трябва да умножим това[br]по дебелината, по dх.

0:05:08.000,0:05:10.800
За да намерим обема[br]на цялото това тяло,

0:05:10.800,0:05:14.250
трябва само да сумираме[br]обемите на тези пръстени

0:05:14.250,0:05:16.680
за всяка стойност на х.[br]Да го направим.

0:05:16.820,0:05:19.040
Ще сумираме обемите[br]на всички пръстени

0:05:19.050,0:05:21.300
за всяко х ще вземем границата,[br]когато клонят към нула.

0:05:21.300,0:05:23.490
Но първо да съставим вярно [br]нашия интеграл.

0:05:23.490,0:05:26.260
Какви са тези...[br]интересува ни цялата тази област

0:05:26.260,0:05:28.840
между точките на пресичане[br]на графиките на двете функции.

0:05:28.840,0:05:30.620
Да определим интервала.

0:05:30.620,0:05:32.203
За да определим интервала,

0:05:32.203,0:05:39.820
определяме кога у = х пресича[br]у = х^2 – 2х.

0:05:39.980,0:05:41.620
Ще използвам различен цвят.

0:05:41.620,0:05:49.260
Търсим само кога[br]х = х^2 – 2х.

0:05:49.360,0:05:51.420
Кога двете функции са равни?

0:05:51.420,0:05:53.030
Това означава, че...

0:05:53.030,0:05:58.040
ако извадим х от двете страни,

0:05:58.040,0:06:02.180
получаваме кога[br]х^2 – 3х е равно на 0.

0:06:02.190,0:06:05.260
Можем да изнесем пред скоби[br]х отдясно.

0:06:05.260,0:06:09.530
Получаваме х(х – 3) = 0.

0:06:09.530,0:06:12.310
Това произведение е равно на[br]нула, когато

0:06:12.310,0:06:13.350
поне един от членовете е нула.

0:06:13.350,0:06:18.380
Значи х може да е равно на 0,[br]или (х – 3) може да е равно на 0.

0:06:18.380,0:06:21.280
Значи х е равно на 0 или на 3.

0:06:21.280,0:06:25.660
Значи тук х е равно на 0, [br]а ето тук х е равно на 3.

0:06:25.840,0:06:27.100
Така получихме интервала.

0:06:27.100,0:06:30.260
Интервалът е от х = 0 до х = 3,

0:06:30.260,0:06:32.850
за да сметнем обема.

0:06:32.850,0:06:36.620
В следващото видео[br]ще сметнем интеграла.